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高中数学必修2综合测试题


高中数学必修 2 综合测试题
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

卷I
(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( )

?


?

图(1)

A

B

C

D

2、直线 l : 3 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? 为
A 、 30 ;
?




C 、1 2 0 ;
?

B 、 60 ;

?

D 、1 5 0 。

?

3、边长为 a 正四面体的表面积是 (
A、


C 、

3 4

a ;

3

B 、

3 12

a ;

3

3 4

a ;

2

D 、 3a 。

2

4、对于直线 l : 3 x ? y ? 6 ? 0 的截距,下列说法正确的是 (
A 、在 y 轴上的截距是 6;



B 、在 x 轴上的截距是 6; D 、在 y 轴上的截距是 ? 3 。

C 、在 x 轴上的截距是 3;

5、已知 a // ? , b ? ? ,则直线 a 与直线 b 的位置关系是 (
A 、平行; B 、相交或异面;
C 、异面;


D 、平行或异面。

6、 已知两条直线 l1 : x ? 2 a y ? 1 ? 0, l 2 : x ? 4 y ? 0 , l1 // l 2 , 且 则满足条件 a 的值为 (
A 、?
1 2





B 、

1 2



C 、 ?2 ;

D 、2 。

E 7、 在空间四边形 A B C D 中, , F , G , H 分别是 A B , B C , C D , D A 的中点。 A C ? B D ? a , 若

且 A C 与 B D 所成的角为 6 0 ,则四边形 E F G H 的面积为 (

?



第 1 页 共 10 页

A、

3 8

a ;

2

B 、

3 4

a ;

2

C 、

3 2

a ;

2

D 、 3a 。

2

8、已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 ,则圆心 P 及半径 r 分别为 (
2 2


10 ; 10 。

A 、圆心 P ? 1, 3 ? ,半径 r ? 1 0 ;

B 、圆心 P ? 1, 3 ? ,半径 r ? D 、圆心 P ? 1, ? 3 ? ,半径 r ?

C 、圆心 P ? 1, ? 3 ? ,半径 r ? 1 0 ;

9、下列叙述中错误的是 (



A 、若 P ? ? ? ? 且 ? ? ? ? l ,则 P ? l ; B 、三点 A , B , C 确定一个平面;

C 、若直线 a ? b ? A ,则直线 a 与 b 能够确定一个平面;
D 、若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? 。

10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 (
A 、两条平行直线;
C 、两条相交直线;


B 、一点和一条直线; D 、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上, 则这个球的表面积是 (
A 、 2 5? ;


B 、 5 0? ;
C 、 1 2 5? ;

D 、都不对。

12、四面体 P ? A B C 中,若 P A ? P B ? P C ,则点 P 在平面 A B C 内的射影点 O 是 ? A B C 的 ( )
B 、内心;
C 、垂心;

A 、外心;

D 、重心。

高中数学必修 2 综合测试题
第 2 页 共 10 页

卷 II
(非选择题 共 90 分)

一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上)
13、圆柱的侧面展开图是边长分别为 2 a , a 的矩形,则圆柱的体积为 ;

14、命题:一条直线与已知平面相交,则面内不过该交点的直线与已知直线为异面直线。 用符号表示为 15、点 M ? 2,1 ? 直线 l : 3 x ? y ? 2 3 ? 0 的距离是 16、已知 a , b 为直线, ? , ? , ? 为平面,有下列三个命题: (1) a // ? ? b // ? ,则 a // b ; (2) a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; (3) a // b , b ? ? ,则 a // ? ; (4) a ? b , a ? ? ,则 b // ? ; 其中正确命题是 。 ; ;

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分)如下图(2),建造一个容积为 1 6 m ,深
2m
3

为 2 m ,宽为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底的造价为
1 2 0 元 / m ,池壁的造价为 80 元 / m ,求水池的总造价。
2m
2 2

18、 (本小题满分 12 分)如下图(3),在四棱锥 P ? A B C D 中,

图(2)
四边形 A B C D 是平行四边形, M , N 分别是 A B , P C 的中点,

第 3 页 共 10 页

求证: M N // ?平 面 P A D 。 P N D

C

A

M

B

图(3)
19、 (本小题满分 12 分)如下图(4) ,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, (1)画出二面角 A ? B1C ? C 1 的平面角; (2)求证:面 B B1 D D 1 ? 面 A B1C
D

C

A

B

D1

C1

A1

B1

20、 (本小题满分 12 分)光线自点 M ? 2, 3 ? 射到点 N ? 1, 0 ? 后被 x 轴反射,求该光线及反射 光线所在的直线方程。 (请用直线的一般方程表示解题结果) 21、 (本小题满分 12 分)已知三角形 ? A B C 的三个顶点是 A ? 4, 0 ? , B ? 6, 7 ? , C ? 0, 8 ? (1) 求 B C 边上的高所在直线的方程; (2) 求 B C 边上的中线所在直线的方程。

图(4)

22、 (本小题满分 14 分)如下图(5) ,在三棱锥 A ? B C D 中,O , E 分别是 B D , B C 的中点,

第 4 页 共 10 页

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ?

2 。

(1) 求证: A O ? 平面 B C D ; (2) 求异面直线 A B 与 C D 所成角的余弦值; (3) 求点 E 到平面 A C D 的距离。 A

D

O

B

E

C

图(5)

第 5 页 共 10 页

高中数学必修 2 综合测试题 (答案卷)
一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 A

5 D

6 C

7 A

8 D

9 B

10 D

11 B

12 A

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上) 13、 15、
a
3

?
1 2

或 ;

a

3

2?



14、 a ? ? ? P , ? b ? ? ,且 P ? b ,则 a 与 b 互为异面直线; 16、 (2) 。

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分)如下图(2),建造一个容积为 1 6 m ,深为 2 m ,宽为 2 m 的长方体无 盖水池,如果池底的造价为 1 2 0 元 / m ,池壁的造价为 80 元 / m ,求水池的总造价。 解:分别设长、宽、高为 a m , b m , h m ;水池 的总造价为 y 元
2m
? V ? abh ? 16, h ? 2, b ? 2 ,
? a ? 4 m —————————————3 分
2 2
3

2m

则有 S 底 ? 4 ? 2 ? 8 m ————————6 分
2

图(2)

S 壁 ? 2 ? ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 4 m —————9 分
2

y ? S 底 ? 120 ? S 壁 ? 80 ? 120 ? 8 ? 80 ? 24 ? 2880 (元)————————————12 分

18、 (本小题满分 12 分)如下图(3),在四棱锥 P ? A B C D 中,四边形 A B C D 是平行四边形,
M , N 分别是 A B , P C 的中点,求证: M N // ?平 面 P A D 。

P
E

证明:如图,取 P D 中点为 E ,连接 A E , E N ———1 分 N
? E , N 分别是 P D , P C 的中点

D

C
第 6 页 共 10 页

A

M

B

图(3)

? E N //

1 2

DC

———————————————4 分
? A M // 1 2 D C ——————7 分

? M 是 A B 的中点

? E N // A M
? A E // M N

? 四边形 A M N E 为平行四边形

—9 分

———————————————11 分
? M N ? 面 A P D ? M N// ?平 面 P A D ————————12 分 。

又? A E ? 面 A P D

19、 (本小题满分 12 分)如下图(4) ,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,
D

C

( 1 ) 画 出 二 面 角 A ? B1 C ? C 1 的 平 面 角 ; (2)求证:面 B B1 D D 1 ? 面 A B1C

A

B

解: (1)如图,取 B1C 的中点 E ,连接 A E , E C 1 。
E

? A C , A B1 , B1C 分别为正方形的对角线 C1 ? A C ? A B1 ? B1 C
? E 是 B1C 的中点

D1

A1

B1

图(4)

? A E ? B1 C

——————————————2

分 又? 在正方形 B B1C 1C 中
? E C 1 ? B1C ——————————————3 分
? ? A E C 1 为二面角 A ? B1C ? C 1 的平面角。

—————————————————4 分
? D1 D ? AC

(2) 证明: ? D1 D ? 面 A B C D , A C ? 面 A B C D 又? 在正方形 A B C D 中
? D1 D ? B D ? D
? AC ? BD

—————6 分

—————————————————8 分 ———————————————10 分 ——————————————12 分

? A C ? 面 D D 1 B1 B
? 面 B B 1 D D 1 ? 面 A B1 C

又? A C ? 面 A B1C

20、 (本小题满分 12 分)光线自点 M ? 2, 3 ? 射到点 N ? 1, 0 ? 后被 x 轴反射,求该光线及反射 光线所在的直线方程。 (请用直线的一般方程表示解题结果)

第 7 页 共 10 页

y
l2 l1

解: 如图, 设入射光线与反射光线分别为 l1 与 l 2 ,
? M ? l1 , N ? l1

M

? 2, 3 ?

由 直 线 的 两 点 式 方 程 可 知 :
l1 : y?0 x ?1 ? 3?0 2 ?1

——3 分 ——————4 分

?2

?1

化简得:l1 : 3 x ? y ? 3 ? 0 x

0

N ? 1, 0 ?

其中 k 1 ? 3 , 由光的反射原理可知: ? 1 ? ? 2
? k 2 ? ? k 1 ? ? 3 , ? N ? l 2 —————8 分 又

由直线的点斜式方程可知:
l2 : y ? 0 ? ? 3 ? x ? 1 ?

—————————————————————————10 分 ——————————————————————12 分

化简得: l 2 : 3 x ? y ? 3 ? 0

21、 (本小题满分 12 分)已知三角形 ? A B C 的三个顶点是 A ? 4, 0 ? , B ? 6, 7 ? , C ? 0, 8 ? (1) 求 B C 边上的高所在直线的方程; (2) 求 B C 边上的中线所在直线的方程。 y 解: (1)如图,作直线 A D ? B C ,垂足 为点 D 。

? 0, 8 ? C

E ? x0 , y0 ? D B ? 6, 7 ?

k BC ?

7?8 6?0

? ?

1 6

—————2 分
1 k BC ? 6 4分

? BC ? AD

? k AD ? ?

由直线的点斜式方程可知直线 A D 的方程 为: 0
A ? 4, 0 ?

x

y ? 0 ? 6? x ? 4?

化简得: (2)如图,取 B C 的中点 E ? x 0 , y 0 ? ,连接 A E 。
0?6 ? x ? ?3 ? 0 ? 2 由中点坐标公式得 ? ,即点 E 8 ? 7 15 ?y ? ? ? 0 ? 2 2

y ? 6 x ? 2 4 ——6 分

? 15 ? ? 3, ? 2 ? ?

———————————9 分

第 8 页 共 10 页

由直线的两点式方程可知直线 A E 的方程为: 化简得: y ?
5 2 x ? 10

?0 ? 2 x?4 3?0 y?0

15

——————————11 分

——————————————————————————12 分

22、 (本小题满分 14 分)如下图(5) ,在三棱锥 A ? B C D 中,O , E 分别是 B D , B C 的中点,
CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ?

2 。

(1) 求证: A O ? 平面 B C D ; (3) 求点 E 到平面 A C D 的距离。 A

(2) 求异面直线 A B 与 B C 所成角的余弦值;

(1) 证明: 连接 O C
? AO ? BD

? B O ? D O A? , B

AD

———————————1 分

D
O

? BO ? DO , BC ? CD
? CO ? BD

—————————————2

B

E

C

分 在 ? A O C 中,由已知可得: A O ? 1, C O ? 而 A C ? 2,? A O ? C O ? A C
2 2 2

图(5)

3,

? ? A O C ? 9 0 ,即 A O ? O C

?

———————4 分 ——————————————————5 分 ( 2 ) 解 : 取 AC 的 中 点 M , 连 接

? BD ? OC ? O ? AO ? 平 面 BCD

A

OM , ME,OE

由 E 为 B C 的中点知
M
M E // A B , O E // D C
D

? 直线 O E 与 E M 所成的锐角就是异面直线
A B 与 C D 所成的角。

O

——————6 分
AB ? 2 2

B

E

C 在 ? O M E 中, E M ?
OE ? 1 2 DC ? 1

1 2



图(5)

? O M 是 R t ? A O C 斜边 A C 上的中线

? OM ?

1 2

AC ? 1

——————————————————————————8 分
第 9 页 共 10 页

? co s ? O E M ?

2 4

———————————————————————————10 分

(3)解:设点 E 到平面 A C D 的距离为 h 。
? V E ? ACD ? V A ?CDE

———————————————————————— ———12 分

?

1 3

h ? S ? ACD ?

1 3

? A O ? S ? CDE
1 2 ? 2? 2 ?? ? ? 2 ? ? ? ?
2 2

在 ? A C D 中, C A ? C D ? 2, A D ?

2

? S ? ACD ?

?

2?

7 2

而 A O ? 1, S ? C D E ?
A O ? S ? CDE S ? ACD

1 2

?

3 4

?2 ?
2

3 2

?h ?

?

21 7

? 点 E 到平面的距离为

21 7

————————————————————————14 分

第 10 页 共 10 页


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