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高中数学奥赛教程集-动点轨迹方程的求法(ks5u高考资源网)


学科: 学科:奥数 教学内容: 教学内容:动点轨迹方程的求法

一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简 整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时. 例 1(1994 年全国)已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C: x 2 + y 2 = 1 ,动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数 λ (λ

> 0 ) (如图) ,求动点 M 的轨迹方程,说明它表 示什么曲线. 解:设 M(x,y) ,直线 MN 切圆 C 于 N, 则有

MN MQ

=λ,
2 2



MO ON MQ
x2 + y 2 1

=λ,
=λ.

( x 2) 2 + y 2

整理得 (λ2 1) x 2 + (λ2 1) y 2 4λ2 x + (1 + 4λ2 ) = 0 ,这就是动点 M 的轨迹方 程. 若 λ = 1 ,方程化为 x =

5 5 ,它表示过点 ( ,0) 和 x 轴垂直的一条直线; 4 4

若λ≠1,方程化为 x- (

2λ2 2 1 + 3λ2 2λ2 )+ y2 = 2 ,它表示以 ( 2 ,0) 为圆心, λ2 1 (λ 1) 2 λ 1

1 + 3λ2

λ2 1

为半径的圆.

二、代入法 若动点 M(x,y)依赖已知曲线上的动点 N 而运动,则可将转化后的动点 N 的坐标入 已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点 M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般 用于两个或两个以上动点的情况. ,B 例 2 (1986 年全国)已知抛物线 y 2 = x + 1 ,定点 A(3,1) 为抛物线上任意一点,

点 P 在线段 AB 上,且有 BP:PA=1:2,当点 B 在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程,并指 出这个轨迹为哪种曲线. 解:设 P ( x, y ), B ( x1 , y1 ) ,由题设,P 分线段 AB 的比 λ = ∴

AP = 2, PB

x=

3 + 2 x1 1 + 2 y1 ,y = . 1+ 2 1+ 2 3 3 3 1 x , y1 = y . 2 2 2 2

解得 x1 =

又点 B 在抛物线 y 2 = x + 1 上,其坐标适合抛物线方程, ∴

3 1 3 3 ( y ) 2 = ( x ) + 1. 2 2 2 2

整理得点 P 的轨迹方程为

1 2 1 ( y ) 2 = ( x ), 3 3 3
其轨迹为抛物线. 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方 程.此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现. 例 3 (1986 年广东)若动圆与圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 4 外切且与直线 x=2 相切,则动圆圆 心的轨迹方程是 (A) y 2 12 x + 12 = 0 (B) y 2 + 12 x 12 = 0 (C) y 2 + 8 x = 0 (D) y 2 8 x = 0 解:如图,设动圆圆心为 M,由题意,动点 M 到定圆圆心(-2,0)的距离等于它到 定直线 x=4 的距离,故所求轨迹是以(-2,0)为焦点,直线 x=4 为准线的抛物线,并且 p=6,顶点是(1,0) ,开口向左,所以方程是 y 2 = 12( x 1) .选(B) . 例 4 (1993 年全国)一动圆与两圆 x 2 + y 2 = 1 和 x 2 + y 2 8 x + 12 = 0 都外切,则动 圆圆心轨迹为 (A)抛物线 (B)圆 (C)双曲线的一支 (D)椭圆 解:如图,设动圆圆心为 M,半径为 r,则有

MO = r + 1, MC = r + 2, MC MO = 1.
动点 M 到两定点的距离之差为 1,由双曲线定义知,其轨迹是以 O、C 为焦点的双曲线 的左支,选(C) . 四、参数法 若动点 P(x,y)的坐标 x 与 y 之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的 制约,则可求出 x、y 关于另一变量的参数方程,再化为普通方程. 例 5 (1994 年上海)设椭圆中心为原点 O,一个焦点为 F(0,1) ,长轴和短轴的长度 之比为 t. (A)求椭圆的方程; (2)设经过原点且斜率为 t 的直线与椭圆在 y 轴右边部分的交点为 Q,点 P 在该直线 上,且

OP OQ

= t t 2 1 ,当 t 变化时,求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

解: (1)设所求椭圆方程为

y2 x2 + = 1(a>b>0). a 2 b2

a 2 b 2 = 1, 由题意得 a = t, b
2 t2 a = 2 . t 1 b 2 = 1 . t 2 1 t 2 (t 2 1) x 2 + (t 2 1) y 2 = t 2 .
(2)设点 P ( x, y ), Q ( x1 , y1 ), 解方程组

解得

所以椭圆方程为

t 2 (t 2 1) x12 + (t 2 1) y12 = t 2 , y1 = tx1 ,
1 , x1 = 2(t 2 1) t y = . 1 2(t 2 1)





OP OQ

= t t 2 1 和

OP OQ
t 2 , ,

=

x x1



t x = 2 x = 或 2 y = t , y = 2

t2 2

其中 t>1. 消去 t,得点 P 轨迹方程为

x2 =

2 2 y( x > ) 2 2 2 2 y( x < ). 2 2
2

和x =
2

其轨迹为抛物线 x =

2 2 2 2 y 在直线 x = 右侧的部分和抛物线 x = y 在直线 2 2 2

x=

2 在侧的部分. 2

五、交轨法 一般用于求二动曲线交点的轨迹方程. 其过程是选出一个适当的参数, 求出二动曲线的 方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程. 例 6 (1985 年全国)已知两点 P ( 2,2), Q (0,2) 以及一条直线 ι :y=x,设长为 2 的线 段 AB 在直线 λ 上移动,求直线 PA 和 QB 交点 M 的轨迹方程. 解:PA 和 QB 的交点 M(x,y)随 A、B 的移动而变化,故可设 A(t , t ), B (t + 1, t + 1) , 则

t 2 ( x + 2)(t ≠ 2), t+2 t 1 QB: y 2 = x(t ≠ 1). t +1
PA: y 2 = 消去 t,得 x 2 y 2 + 2 x 2 y + 8 = 0. 当 t=-2,或 t=-1 时,PA 与 QB 的交点坐标也满足上式,所以点 M 的轨迹方程是

x 2 y 2 + 2 x 2 x 2 y + 8 = 0.
以上是求动点轨迹方程的主要方法, 也是常用方法, 如果动点的运动和角度有明显的关 系,还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程.但无论用何方法,都要注意所求轨迹方程中 变量的取值范围.


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