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广西省南宁市2015届高中毕业班第二次适应性测试数学(理)试题 扫描版含答案


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2015 年南宁市高中毕业班第二次适应性测试

数 学(理)参考答案
1.D 2. B 提 3.A 4. A 5. A 6. D 7. C 8 .D 示 9. D 10. C

2015. 3 11.B

12. B :

s

A?
2

s
2

A?

i

B? ?s

A

i

B ?n

i

C? ?

? cos 2 A sin 2 B

? sin 2 A(1 ? cos 2B) ? sin 2B(1 ? cos 2 A)
1 1 .即 sin A sin B sin C ? , 8 2

? 2sin 2 A sin B ? 2sin 2B sin A ? 4sin A sin B(cos A sin B ? cos B sin A) ? 4sin A sin B sin C ?
又S ?

1 1 1 R2 ab sin C ? ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin C ? 2 R 2 ? ? ? [1, 2] ,则 4 ? R 2 ? 8 2 2 8 4 b?c b?c ? 8 R 3 sin A sin B sin C ? a a


(b ? c)bc ? abc ?

R3 ?

b?c ? R3 恒 成 立 , a

(b ? c)bc ? 8
13.

? 3

14 .

3

15 .

9 4

16 . k ?

2 3 或k ? 3 8

解析:依题设得椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 , 直 线 AB,EF 的 方 程 分 别 为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . 如 图 , 设 4

D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 ,且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ,
故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k 2

.①由 ED ? 6DF 知

y B O E D

F A x

1 5 10 ; x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2
由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ?
2 化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ?

2 2 10 .所以 , ? 1 ? 2k 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2

2 3 或k ? . 3 8

17. 解:(Ⅰ) 设数列 {an } 的公比为 q , ∵ 2a1 , a3 , 3a2 成等差数列,∴ 2a1 ? 3a2 ? 2a3 , (1 分)
2a1 ? 3a1q ? 2a1q 2 ,

………………………1 分

………………………1 分

(2 分)

-5-

1 2q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? ? . 2
(3 分) ∵ q ? 0,? q ? 2. 分(4 分) ∵ a1 ? 2 ,∴数列 {an } 的通项公式 an ? a1qn?1 分(5 分)
? 2n , n ? N .

………………………1 分

……………………… 1

………………………1

………………………1

分(6 分) (Ⅱ) ∵ bn ? (n ? 2)log2 an ? n(n ? 2) 分(7 分) ∴
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

………………………1

…………………………2

分(9 分)
Tn ? 1 1 1 1 ? ? ..... ? ? b1 b2 bn ?1 bn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ..... ? ( ? )?( ? )?( ? )] ………………1 2 3 2 4 3 5 n?2 n n ?1 n ? 1 n n?2
分(10 分)

1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2
…………………1 分(11 分)
? 3 2n ? 3 ? . 4 2( n 2 ? 3n ? 2)

……………………………………

…1 分(12 分) 18. 解: (Ⅰ)设样本总数为 n, ∵ 由频率分布直方图可知:次数在[100,110)间的频率为 0.014×10=0.14, ………………………1 分(1 分) ∴
7 ? 0.14 ,解得 n=50 n

人. …………………1分(2分)

(Ⅱ)记抽中不达标学生的事件为 C,抽中达标学生的事 件为 B,抽中优秀学生的事件为 A. P(C)=0.006×10+0.014×10=0.2;……………………1分(3分) P(B)=0.028×10+0.022×10=0.50;……………………1分(4分) P(A)=1-P(B)-P(C)=0.30. ………………………1分(5分) (Ⅲ)∵在高一年级中随机抽取 2 名学生的成绩和 X=10,15,20,25,30………………………………1 分(6 分) 2 ∴ P(X=10)=0.2 × 0.2=0.04 ; P(X=15)=2 × 0.2 × 0.5=0.2 ; P(X=20)=0.5 +2 × 0.2 ×
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0.3=0.37; 2 P(X=25)=2×0.3×0.5=0.3; P(X=30)=0.3 =0.09. [对一个给1分,但不超过4分]……… 4分(10 分) X P 10 0.04 15 0.2 20 0.37 25 0. 3 30 0.09

∵E(X)=0.04×10+0.2×15+0.37×20+0.3×25+0.09×30 ………………………1 分(11 分) ∴E(X)=21 . ……………………1 分(12 分) 19. 解:(Ⅰ)取 F 为线段 BP 中点,取 PC 的中点为 O ,连 FO , DO ,…………………2分 (2分) ∵ F , O 分别为 BP , PC 的中点,? FO ∥

1 BC .∵ ABCD 为平行四边形, ED ∥ BC ,且 2

1 BC , 2 ∴ FO ∥ ED 且 ED = FO ,∴四边形 EFOD 是平行四边形. DE ?
1分(3分) ∴ EF ∥ DO . 1分(4分) ∵ EF ? 平面 PDC ,∴ EF ∥平面 PDC . 1分(5分)

……………………… ……………………… ……………………

(Ⅱ)以 DC 为 x 轴,过 D 点做 DC 的垂线为 y 轴,DA 为 z 轴建立空间直角坐标系…………… 1分(6分) ∵ D(0,0,0), C (2,0,0), B(2,0,3) , P(?2, 2 3,0), A(0,0,3), 1分(7分) ∵ ……………………



2 2 1 4 2 3, 2) . ……………1 3. ? 1), ? F ( , F ( x, y, z ) BF ? ( x ? 2, y, z ? 3) ? BP ? (? , 3 3 3 3 3
分(8 分)

2 2 AF ? ( , 3, ?1) .设平面 PBC 的法向量 n1 ? (a, b, c) , 3 3
则?

? ?n1 ? CB ? 0, ? ?n1 ? PC ? 0,

? ?3 z ? 0 , ? ? ? 4 x ? 2 y3?



0 ,

………………………1

分(9 分) 令 y ? 1, 可得 n1 ? ( 分(10 分)

3 ,1, 0). 2

………………………1

-7-

cos AF , n1 ?
分(11 分)

AF ? n1 | AF | ? | n1 |

………………………1

?

6 21 6 21 , ∴直线 AF 与平面 PBC 所成的角的正弦值为 . 35 35

………………………1

分(12 分) 20. 解: (Ⅰ) 解法一: 设 A( x1 , y1 ) , 把 y ?k x B( x2 , y2 ) , 得 x1 ? x2 ? 分(1分)

? 2 代入 y ? 2x2 得 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 ,
………………………1

k . 2

? k k2 ? x1 ? x2 k N ? ,? 点的坐标为 ? , ? . ∵ xN ? xM ? 2 4 ?4 8 ?
(2分) ∵ y ? 4 x,
'

………………………1分

∴ y' |

x?

k 4

?k ,

………………………1

分(3分) 即抛物线在点 N 处的切线的斜率为 k . 分(4分) ∵直线 l : y ? kx ? 2 的的斜率为 k ,∴ l ∥ AB . 分(5分)
2 解法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x2 得 2 x ? kx ? 2 ? 0 ,

………………………1

……………………1

得 x1 ? x2 ? 分(1分)

k . 2

………………………1

∵ xN ? xM ? (2分)

? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , ? . 2 4 ?4 8 ?

…… …………………1分

设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?

k2 k? ? ? m? x ? ? , 8 4? ?
………………………1

2 将 y ? 2 x 代入上式得 2 x ? mx ?
2

mk k 2 ? ?0, 4 8

分(3分) 直线 l 与抛物线 C 相切, ?? ? m ? 8 ?
2

? mk k 2 ? ……… ? ? ? m2 ? 2mk ? k 2 ? (m ? k )2 ? 0 , 8 ? ? 4

1分(4分)
-8-

? m ? k ,即 l ∥ AB . ]
分(5分)

………………………1

(Ⅱ)假设存在实数 k ,存在实数 k 使 AB 为直径的圆 M 经过点 N .

M 是 AB 的中点,? | MN |?
分(6分) 由(Ⅰ)知

1 | AB | . 2

………………………1

yM ?

1 1 1 ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? 2 ? kx2 ? 2) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4] 2 2 2
………………………1

? k2 1 ? k2 ? ? ? 4? ? ? 2 2? 2 ? 4
分(7分)

MN ? x 轴, ? | MN |?| yM ? yN |?
(8分) ∵ | AB |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2 2

k2 k 2 k 2 ? 16 ?2? ? . ………………………1分 4 8 8

………………………1分(9

分)

1 2 ?k? ? 1 ? k ? ? ? ? 4 ? (?1) ? k ? 1 ? k 2 ? 16 . 2 ?2?
2

2

………………………1分(10

分)

k 2 ? 16 1 2 ? k ? 1 ? k 2 ? 16 ,∴ k ? ?2 , 8 4
使存在实数 k ? ?2 使 AB 为直径的圆 M 经过点 N . 分) 21.解: (Ⅰ) 分) ∵当 x ≥0 时, 1 ? x ≥ ………………………2 分(12

f ' ( x) ? 2(1 ? x) ?

2 . x ?1

………………………1 分(1

2 1 ,∴ f ' ( x ) ? 2(1 ? x) ? 在 [0,e ? 1] 上有 f ' ( x) ≥0, x?2 x ?1
………………………………………………………1 分

f ( x) ? (1 ? x)2 ? 2ln(1 ? x) 在 [0,e ? 1] 上单调递增,
(2 分)

f ( x) |max ? f (e ?1) ? e2 ? 2 .
分(3 分)

………………………………………1

∵关于 x 的不等式 f ( x) ? m ≥0 在 [0,e ? 1] ( e 是自然对数底数)上有实数解, ∴ f ( x) |max ≥ m ,即 m ≤ e ? 2 .
2

……………………………………1

分(4 分)

-9-

(Ⅱ)∵ g ( x) ? f ( x) ? x2 ?1 ? 2 x ? 2ln(1 ? x), ∴ g ' ( x) ? 2(1 ? 分(5分) ∵ g ' ( x) ? 2(1 ? 1分(6分)

1 ) . ……………………1 x ?1

1 ) 在 (?1, 0) 上 g ' ( x) ? 0, 在 (0, ??) 上 g ' ( x) ? 0 , ……………………… x ?1
………………………………………………… ………………….. 1

g ( x) |min ? g (0) ? 0 .
分(7分) ∵ x 的方程 g ( x) ? p 至少有一个解,∴ 分(8分)

p ≥0, p 最小值为 0.

…………………………1

(Ⅲ)证明:∵由(Ⅱ)可知 g ( x) ? 0 在 (?1,??) 上恒成立, ∴ ln(1 ? x) ? x , 当且仅当 x ? 0 时等号成立. 分(9 分) ∵令 x ? 分(10 分) ∴取 n ? 1,2,3,...,所得不等式相加得 ln( n ? 1) ? 1 ? …………………………………1

1 1 1 1 * , n ? N , x ? (0,1) ,有 ln(1 ? ) ? ,即 ln( n ? 1) ? ln n ? ,………………2 n n n n

1 1 1 ? ? ... ? (n ? N * ) .………………………. 1 2 3 n

分(12 分) 22. 解:(Ⅰ)∵ CD 为半圆 O 的切线, AD ⊥ CD , ∴ OC ∥ AE ,∠ EAC =∠ ACO . ……………………2分(2分) ∵ OC ? OA ,∴∠ ACO =∠ OAC . ………………………2分(4分) 即 AC 平分∠ BAD . ………………………1分(5分) (Ⅱ)∵ A, B, C, E 共圆,∴∠ ABC ? ∠ CED .………………………1分(6分) ∵ CD 为半圆 O 的切线,∴ ∠ BAC ? ∠ ECD .………………………1分(7分) ∵ ?ABC ~ ?CDE , ………………………1分(8分) ∴

BC AB ? . DE BC

……………………………………………………………………………1 分(9分)

∵ BC ? EC , AB ? 4 , DE ? 1 ,∴ BC ? 2 .……………………………………1 分(10 分)

? x2 y 2 ? x ? 2 cos ? , ? ? 1 ,………………1 分(1 分) 23. 解:(Ⅰ) ∵椭圆 C : ? 的普通方程为 4 3 ? ? y ? 3 sin ? ,
∴ F (?1, 0) . ∵直线 l : ? 分). ∵ ? ? k? , k ? Z , ∴ tan ? ? 0.
- 10 -

………………………1 分(2 分) ……………………… 1 分(3

? x ? m ? t cos? , 的普通方程为 y ? tan ? ( x ? m) , ? y ? t sin ? ,

………………………1 分(4

分) ∵ 0 ? tan ? (?1 ? m), ∴ m ? ?1 . 分) ………………………1 分(5

? x ? ?1 ? t cos ? , x2 y 2 ? ? 1 ,并整理, (Ⅱ) 将直线的参数方程 ? 代入椭圆 C 的普通方程 4 3 ? y ? t sin ? ,
得 (3cos2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? 6t cos ? ? 9 ? 0 . 分) 设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 , t2 (7 分) 则 | FA | ? | FB |? | t1t2 | = ……………………………………………………1 分(8 分) ........................................................... 1 分(9 分) ………………………1 分 ………………………1 分(6

9 9 ? 2 3cos ? ? 4sin ? 3 ? sin 2 ?
2

当 sin ? ? ?1 时 | FA | ? | FB | 最小值为 ∵ ? m ? a ? ?1 , m ? a ? 5 , ∴ a ? 2, m ? 3 .

24. 解:(Ⅰ)∵ | x ? a | ≤ m ,∴ ?m ? a ≤ x ≤ m ? a .

9 . 4

……………………………………………….. 1 分(10 分) ………………………1 分(1 分)

………………………1 分(2 分) ………………………………………………………………………………2 分(4 分) …………………………….. 1 分(5 分)

(Ⅱ) f ( x) ? t ≥ f ( x ? 2) 化为 | x ? 2 | ?t ?| x | . 当 x ? (??, 0) 时, 2 ? x ? t ? ? x , 2 ? t ? 0, ∵ 0 ?

t ? 1, ∴ x ? (??, 0) ;………… 1 分(6 分) 2 t t 当 x ? [0, 2) 时, 2 ? x ? t ? x , x ? 1 ? , 0 ? x ? 1 ? , 2 2 t t ∵ 1 ? 1 ? ? 2, ∴ 0 ? x ? 1 ? ; …………………………………………………1 分(7 分) 2 2
当 x ?[2, ??), 时,x ? 2 ? t ? x, t ? 2 , ∵当 0≤ t <2 时, ∴ x?? ; 当 t =2 时 x ?[2, ??), ……1 分(8 分) ∴若 0≤ t <2 时原不等式的解集为 ? ? ?, 分)

? ?

t ? ? 1 ;当 t =2 时 x ?[2, ??), ……………………2分(10 2 ? ?

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