当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学奥赛教程集-函数通性训练题(ks5u高考资源网)


学科: 学科:奥数 教学内容: 教学内容:函数通性训练题

【能力训练】 能力训练】 A级 选择题 ★★1.若 a>0,a≠1,F(x)是一奇函数,则 G(x) = F(x)( (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数
1 + )是 ( ) a 1 2 (D)奇偶性与 a 有关
x

1

★★

2.设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数。已知当 x∈[2, 3] 时,f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是( ) (A)f(x)=x+4 (C)f(x)=3-|x+1| (B)f(x)=2-x (D)f(x)=2+|x+1|

★★★3.设 f(x),g(x)是定义在(-∞,+∞)上的两个函数,对任意实数 x,y 满足 f(x+y)+(x-y)=2f(x)g(x),若 f(0)=0,但 f(x)不恒等于 0,则 (A)f(x),g(x)都是奇函数 (B)f(x),g(x)都是偶函数 (C)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 (D)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数。 ★★4.奇函数 y=f(x)有反函数 y = f -1 ( x) ,函数 y = f -1 ( x) 在[0,+∞]上是减函数,则 上是 ( ) (A)是增函数 (B)是减函数 (C)有时是增函数,有时是减函数 (D)有时是增函数,有时是减函数,有时是常数函数。 ★★5.函数 y=f(x-a)与函数 y=f(a-x)的图象间的关系是 ( ) (A)关于 y 轴对称 (C)关于直线 x=2a 对称 填空题
1 1 ★★6.函数 f(x)对一切实数 x 都满足 f ( + x) = f ( x) ,并且方程 f(x)=0 有三个实 2 2

(B)关于 x 轴对称 (D)关于直线 x=a 对称

根,这三个实根的和是________. ★★★★7.设奇函数 y=f(x)的定义域为 R,f(1)=2,且对任意 x1 , x 2 ∈ R ,都有
f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ), 当 x>0 时,f(x)是增函数,则函数 y = -f 2 ( x) 在这间[-3,-2]上

的最大值是______. ★★8.定义域是实数域的奇函数 f(x),对任意实数 x 都有 f(x)=f(x+2)则 f(2)+f(4)+f(6)+…+f(1992)+f(1994)=_____。

★★★★9.设函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且单调递增,满足 f(2)=1, f(xy)=f(x)+f(y) (1)证明:f(1)=0 f(1)=0。 (2)求 f(4)。 (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的范围。 (4)举出一个符合上述要求的函数 f(x)。 B级 ★★★10. 设函数 f(x)对任一实数 x 满足 f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x), f(0)=0。 且 求证:f(x)在[-30,30]上至少有 13 个零点,且 f(x)是以 10 为周期的函数。 ★★★★11.函数 f 1 (x) = sinx和f 2 (x) = sinπx 的最小正周期分别为 2π和 2。证明
f(x)=sinx+sinπx 不是周期函数。 ★★★★12.证明:若函数 y=f(x)在 R 上的图解关于点 A(a, y 0 ) 和直线 x=b(b>a)皆对 称,则 f(x)为周期函数。 ★★★★13.设 f 是一个从实数集 R 映射到自身的函数,并且对任何 x∈R 均有|f(x)| 13 1 1 ≤1,以及 f(x + ) + f ( x) = f ( x + ) + f ( x + ). 42 6 7 证明:f 是周期函数,即存在一个非零实数 C,使得对任何 x∈R,成立 f(x+C)=f(x).

参考答案 【能力训练】 能力训练】

A级
★1.B。

, 故 G(x)是偶数。

2.C。当 x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3].f(x)=f(x+22)=f(x+4);当 x∈[-3,-2]时,
由于 f(x)为偶函数∴f(x)=-x,∴当 x∈[-1,0]时,f(x)=f(x-2)= -(x-2)= -x+2.

3.D。令 x=0,f(-y)=-f(y) ;又将-y 代换成 y,f(x-y)+f(x+y)=2f(x)g(-y),∴ g(-y)=g(y) 4.A。如果一个函数存在反函数,那么它们的单调状况相同。 5.D。设 (x 0 , y 0 )是y = f(x-a) 图 象上任意一点,则

y 0 = f(x 0-a) = f[a-(2a-x 0 )], ∴点( 2a x 0 , y 0 )在y = f (a x)的图象上; 反之也成立.

6.y=f(x)的图象关于 x =

1 1 1 对称,其中一根必是 ,另两根之和是 2 × = 1 。故所有实 2 2 2

根之和是 1.5。 7.令 x 1 = x 2 = 0, f(0) = 0, 由 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,故在(-∞,0) 上也为增函数, f(2)=f(1+1)=2f(1)=4, 且 用定义易知,y = f 2 ( x)在(∞,0) 上为增函数。 故[-3,
-2]上的最大值是 f 2 (2) = 16. 8.f(x)为 R 上的奇函数, f(0)=0,且 f(0)=f(2)=f(4)=…=f(1994)=0,故原式为 0。 9. (1)取 x=1,y=2,得 f(2)=f(12)=f(1)+f(2).∴f(1)=0 (2)f(4)=f(2)+f(2)=2. (3)f(x)+f(x+3)=f[x(x-3)]≤2=f(4), 所以

x 3x ≤ 4,1 ≤ x ≤ 4, 但x 3>0, 故3<x ≤ 4.
2

(4)可取 f(x) = log 2 x .

B级
10.f(x)关于 x=2 和 x=7 对称。 f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0,f(10)=f(7+3)=f(7-3)=f(4)=0,于是(0,10]上至少有 两个零点。 f(x+10)=f(7+3+x)=f(7-3-x)=f(4-x)=f(2+2-x)=f(2-2+x)=f(x),∴f(x)以 10 为周期。f(-30)=f(-30+3×10)=f(0)=0.综上,f(x)在[-30,30]上至少有 13 个零点。 11.反证,若周期为 T,则 sin(x+T)+sin(π(x+T))=sinx+sinπx ∴ sin
πT π T 2x + T 2 x +πT cos = sin cos 2 2 2 2 ①

存在 x 0 ∈ R, 使得 cos

2 x 0 +πT π 2x + T = 0, 而 cos 0 ≠ 0, 将 2 2

代入①, sin ∴

T = 0, 于是对 2

每 个 x ∈ R , sin

πT 2 x +πT π πT cos ≡ 0, 由 于 , 故 sin ≡ 0, , 2 2 2 T πT T πT ∴ sin = 0, sin ≡ 0, = kπ , = mπ k , m ∈ Z , 于是 kπ=m,矛盾。 , 2 2 2 2 12. 提示 4 (b-a) 是它的一个周期, 由已知有 f(a + x)-y 0 = y 0-f(a-x) ① f(b+x)=f(b 反复利用①、②,可证 f[x+4(b-a)]=f(x) 13.

-x)②,

① 同样,有

② 由①、②

即 对所有π∈N 成立。 又∵f(x)有界,故只有 f(x+1)-f(x)=0. ∴f(x+1)=f(x),f(x)为周期函数。


相关文章:
高中数学奥赛教程集-函数通性训练题(ks5u高考资源网)
高中数学奥赛教程集-函数通性训练题(ks5u高考资源网) 备考联赛的学习资料备考联赛的学习资料隐藏>> 学科: 学科:奥数 教学内容: 教学内容:函数通性训练题 【能力训...
高中数学奥赛教程集-函数奥赛竞赛练习(ks5u高考资源网)
高中数学奥赛教程集-函数奥赛竞赛练习(ks5u高考资源网)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。备考联赛的学习资料函数奥赛竞赛练习一、选择题 1. (2000 年北京市中学生...
高中数学奥赛教程集-集合(一)(ks5u高考资源网)
高中数学奥赛教程集-集合(一)(ks5u高考资源网)_高三数学_数学_高中教育_教育专区...专题推荐 高中数学奥赛教程集-函数... 高中数学奥赛教程集-动点... 高中数学...
高中数学奥赛教程集-动点轨迹方程的求法(ks5u高考资源网)
高中数学奥赛教程集-函数奥... 8页 1财富值 高中数学奥赛教程集-函数通......高中数学奥赛教程集-动点轨迹方程的求法(ks5u高考资源网) 备考联赛的学习资料备考...
高考资源网(ks5ucom)
高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 www.ks5u.com -1- 版权所有@高考...2007年高考数学试题分类... 50页 免费 高中生物学生常见易错知... 6页 免费...
高一数学竞赛集合与函数试题训练
高一数学竞赛集合与函数试题训练_理学_高等教育_教育专区。高一数学竞赛集合与函数试题训练: ,值域为 [2a, 2b] , 6.已知函数 f ( x) = x ? 2 | x | ...
2007年高考数学试题分类汇编-数列(ks5u高考资源网)
2007年高考数学试题分类汇编-数列(ks5u高考资源网)_高考_高中教育_教育专区。2007年高考数学试题分类汇编-数列(ks5u高考资源网)重庆文 (1)在等比数列{an}中,a2=...
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数_学科竞赛_高中教育_教育...定理 19 三角方程的解集,如果 a∈ (-1,1),...
高考资源网(ks5ucom)
高考资源网(ks5u)地理学习... 1页 免费 2010年高考全国卷二理综试... 14页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处...
2007年高考数学试题分类汇编-导数(ks5u高考资源网)
2007年高考数学试题分类汇编-导数(ks5u高考资源网) ...(20)(安徽文 本小题满分 14 分) 设函数 f(x)...(湖北理 本小题满分 13 分) 已知定义在正实数集...
更多相关标签:
ks5u高考资源网 | ks5u高考资源网数学 | ks5u高考资源网题库 | ks5u高考资源网首页 | 高考资源网 ks5u.com | ks5u高考资源网账号 | ks5u高考资源网怎么登 | 高考奥赛对接训练 |