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高中数学北师大版必修五课件:1.1正弦定理(共18张PPT)


第二章 解三角形 1.1 正弦定理 问题提出 三角形的边与角之间有什么关系? 1、角的关系 2、边的关系 A ? B ? C ? 180 ? a?b?c, a?b? c 3、边角关系 大角对大边 问题提出 在直角三角形ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c, C=900 ,则有: A c b a sinA= ,sinB= c , sinC=1= . c c c b a b c ? ? ∴ sin A sin B sin C C a B 那么对于非直角三角形,这一关系式是否成立呢? 分析理解 如图,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角 ???? y轴上的射影为 ??? ? ’. 坐标系???? ,C点在 C ? 即 ?向量 AC与BC在y轴上的射影均为|OC|, ??? ? ?? ? ? | OC|=|AC |cos(A-90? )=b sin A ??? ? ?? ? ? | OC|=|BC |sin B =a sin B C c ? a sin B ? b sin A a b 即 ? sin A sin B a c 同理, ? sin A sin C y C’ a B x b O (A) a b c ? ? ? sin A sin B sin C 正弦定理:在一个三角形中,各边与它所对角的正弦 的比相等, 即 a b c ? ? sin A sin B sin C 利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问 题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角。 例1:某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,其一角已破损. 现测得如下数据:BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm, B=45O, C=120O.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到 0.01cm)? 分析 如图,将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中已知 BC的长及角B与C,可以通过正弦定理求AB,AC的长. 解 将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中, BC=2.57cm, B=45O, C=120O D E A A=180O-(B+C)=15O B C AC BC ? ? , sin B sin A BC sin B 2.57 sin 45? ? AC ? ? , sin A sin15? 利用计算器算得 AC ? 7.02(cm). 同理, AB ? 3.15(cm). 答 原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm. 例2:台风中心位于某市正东方向300km处,正以40km/h的速 度向西北方向移动,距离台风中心250km范围内将会受其影响. 如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影 响持续多长时间(结果精确到0.1h)? N D C1 C2 A B 分析 如图,设该市在点A,台风中心从点B向西北方向移 动,AB=300km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A的 距离不大于250km时,该市受台风影响. 解 设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动,该市位于点B 正西方向300km处的点A. 假设经过t h,台风中心到达点C,则在△ABC中 AB=300km,AC=250km,BC=40t km,B=45O,由正弦定理. AC AB BC ? ? , sin B sin C sin A 知 解得 当 AB sin B 300sin 45? 3 sin C ? ? ? 2


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