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高中立体几何中的线面关系证明题


1.已知边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面外有一 点 P, PA ? 平面 ABCD,且 PA ? 2 ,E 是 PC 上 的一点. (I)求证:AB//平面 PCD; (II)求证:平面 BDE ? 平面 PAC ; (III)线段 PE 为多长时, PC ? 平面 BDE ? B
A

P

E

D

C

2.如图,矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直,

MB ∥ NC , MN ? MB .
(Ⅰ) 求证:平面 AMB ∥平面 DNC ; (Ⅱ)若 MC ? CB ,求证 BC ? AC .
A

D

N M

C B

3. 如图在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA 垂直底面 ABCD ,垂足为点 A , PA ? AB ? 2 , 点 M , N 分 别是 PD , PB 的中点. (I)求证: PB // 平面ACM ; (II)求证: MN ? 平面 PAC ; (III)求四面体 A ? MBC 的体积.

1

4. 如 图四 棱锥 P ? ABCD 中 , 底面 ABCD 是 平 行四 边形 , ?ACB ? 90 , PA ? 平 面
0

A B C D, PA ? BC ? 1 , AB ? 2 , F 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: DA ? 平面 PAC ; ( Ⅱ ) 试在线段 PD 上确定一点 G ,使 CG ∥ 平面 PAF ,并求三棱锥 A - CDG 的体积.

P

A

D

B

F

C

5.如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,Q 是棱 PA 上的动点. (Ⅰ)若 Q 是 PA 的中点,求证:PC//平面 BDQ; P (Ⅱ)若 PB=PD,求证:BD⊥CQ;
Q

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 PA=PC,PB=3, ∠ABC= 60? ,求四棱锥 P-ABCD 的体积.
A D

B

C

2

6.如图,四棱锥 E ? ABCD 中, EA ? EB , AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD . (Ⅰ)求证: AB ? ED ; (Ⅱ)线段 EA 上是否存在点 F ,使 DF // 平面 BCE ?若存在,求出 在,说明理由.

EF ;若不存 EA
E

B C D

A

7.如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA= PD, ?BAD ? 60? ,E 是 AD 的 中点,点 Q 在侧棱 PC 上. (I)求证:AD ? 平面 PBE; (Ⅱ)若 Q 是 PC 的 中点,求证:PA∥平面 BDQ; (Ⅲ)若 VP?BCDE ? 2VQ ?ABCD ,试求

CP 的值. CQ

3

8.如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点, 且满足 AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A 1EF 的位置 ,使 平面 A 1 EF ? 平面

EFB ,连结 A1B , A1P .(如图 2 )
(Ⅰ)若 Q 为 A 1B 中点,求证: PQ ∥平面 A 1EF ; (Ⅱ)求证: A1E ? EP
A

A1

Q

E F

B
E

P

C

F

B

P

C

9.已知菱形 ABCD 中,AB=4, ?BAD ? 60 (如图 1 所示) ,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 翻折,使点 C 翻折到点 C1 的位置(如图 2 所示) ,点 E,F,M 分别是 AB,DC1,BC1 的中 点. (Ⅰ)证明:BD //平面 EMF ; (Ⅱ)证明: AC1 ? BD ; (Ⅲ)当 EF ? AB 时,求线段 AC1 的长.
A
D C1

D

C
F M

图1

B

A

E

B

图2

4


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