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函数概念与基本初等函数Ⅰ


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必修 1 第2章

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函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.6 函数模型及其应用

重难点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结 合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. 考纲要求:

①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同 函数类型增长的含义; ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模 型)的广泛应用. 经典例题:1995 年我国人口总数是 12 亿.如果人口的自然年增长率控制在 1.25%,问哪一年我国人口总数将 超过 14 亿.

当堂练习: 1.某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数: T(t)=t -3t+60,时间单位是小时,温度单位是 ?C ,当 t=0 表示中
3

午 12:00,其后 t 值取为正,则上午 8 时的温度是( A.8 ?C B.112 ?C

) C.58 ?C D.18 ?C

2.某商店卖 A、B 两种价格不同的商品,由于商品 A 连续两次提价 20%,同时商品 B 连续两次降价 20%,结果 都以每件 23.04 元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升、不降的情况相比较,商店盈利 的情况是:( A.多赚 5.92 元 ) B.少赚 5.92 元 C.多赚 28.92 元 D.盈利相同

3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是 1.10 元;如果自己生产,则每月 的固定成本将增加 800 元,并且生产每个配件的材料和劳力需 0.60 元,则决定此配件外购或自产的转折点是 ( )件(即生产多少件以上自产合算) B.1200 C.1400 D.1600 A.1000

4.在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据. x y
X

-2.0 0.24

-1.0 0.51

0 1

1.00 2.02

2.00 3.98 )

3.00 8.02

则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a,b 为待定系数) ( A.y=a+b B.y=a+bx C.y=a+logbx

D.y=a+b/x
2

5.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3000+20x-0.1x (0<x<240,x∈N), 若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 )

6.购买手机的“全球通”卡,使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50 元,在市内通话时每分钟 另收话费 0.40 元;购买“神州行”卡,使用时不收“基本月租费”,但在市内通话时每分钟话费为 0.60 元.若某用户每月手机费预算为 120 元,则它购买_________卡才合算. 7.某商场购进一批单价为 6 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商场决定提高销售价格。 经试验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能卖 360 件,若按 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件, -1-

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假定每月销售件数 y (件)是价格 x (元/件)的一次函数。试求 y 与 x 之间的关系式 在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为 每月的最大利润是 .

时,才能时每月获得最大利润.

8. 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差. 如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出 100 元的广告费,所得的销 售额是 1000 元.问该企业应该投入 广告费,才能获得最大的广告效应. 9.商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价为 20 元,茶杯每只定价 5 元,该店制定了两种优惠办法:(1)买 一只茶壶送一只茶杯;(2)按总价的 92%付款;某顾客需购茶壶 4 只,茶杯若干只(不少于 4 只).则当购 买茶杯数 时, 按(2)方法更省钱. . 10.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为 40cm 和 60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的 直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是 11.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服 用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量 y 与时间 t 之间 近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾 病有效,假若某病人一天中第一次服药时间为上午 7:00,问 一天中怎样安排服药的时间(共 4 次)效果最佳.

6

y(微克)

O

1

10 t(小时)

12.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为公 共交通车,已知如果该列火车每次拖 4 节车厢,能来回 16 次;如果每次拖 7 节车厢,则能来回 10 次.每日来 回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢一次能载客 110 人,问:这列火车每天来回多少次,每次 应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数.

13.市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析,发现有如下规律:该商品的价格 每上涨 x%(x>0),销售数量就减少 kx% (其中 k 为正常数).目前,该商品定价为 a 元, 统计其销售数量 为 b 个. (1)当 k=

1 2

时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额达到最大.

(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时 k 的取值范围.

14.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 l 万件,1.2 万件,1.3 万件.为了估测以后每 -2-

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个月的产量,以这三个月的产品数量为依据.用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系,模拟函数 可以选用二次函数或函数 y ? ab ? c (其中 a,b,c 为常数).已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请
x

问用以上哪个函数作为模拟函数较好.并说明理由.

§2.6 函数模型及其应用 经典例题:解:设 x 年后我国人口总数为 y,则有 y=12·(1+0.0125) ,依题意,得 y>14, 即 12·(1+0.0125) >14,即(1+0.0125) >
x x x

14 12



两边取对数,得 xlg1.0125>lg14-lg12.所以 x>

lg14 ? lg12 lg1.125

≈12.4.

答:13 年后,即 2008 年我国人口总数将超过 14 亿. 当堂练习: 1.A ; 2. C ; 3. D ;4. A ;5. C ; 6. 神州行; 7. y= -10x+560,31, 6250; 8. 2500; 9. 大于 34; 10. 600 cm ; 11.
2

0 ? t ?1 ?6 t ? (1)依题得, y ? ? 2 20 ?? 3 t ? 3 1 ? t ? 10 ?
20 3

(2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时,则 ? 2 t1 ? 3
? 2 t2 ? 3
20 3

? 4 ? t1 ? 4 ,因而第二次服药应在 11:00; 设第

三 次 服 药 在 第 一 次 服 药 后 t2 小 时 , 则 此 时 血 液 中 含 药 量 应 为 两 次 服 药 量 的 和 , 即 有
? 2 (t2 ? 4) ? 3
20 3 20 3

? 4, 解得 t2=9 小时,故第三次服药应在 16:00;设第四次服药在第一次后 t3 小时
20 3

( t3>10 ) , 则 此 时 第 一 次 服 进 的 药 已 吸 收 完 , 此 时 血 液 中 含 药 量 应 为 第 二 、 三 次 的 和 ,
? 2 (t2 ? 4) ? 3 ? 2 (t2 ? 9) ? 3 ? 4, 解得 t3=13.5 小时,故第四次服药应在 20:30.

12.设每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意,y=kx+b,且当 x=4 时,y=16;当 x=7 时,y=10.解得:k=-2,

b=24,∴y=-2x+24. 由题意,每次挂车厢最多时,营运人数最多,设每日拖挂 W 节车厢,则 W=2xy=2x(-
2x+24)=-4x +48x=-4(x-6) +144, ∴当 x=6 时,Wmax=144,此时,y=12,最多营运 15840 人. 13.解:依题意, 价格上涨 x%后, 销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1-kx%)= (1)取 k=
2 2

ab

[-kx +100(1-k)x+10000] .

2

10000 1 2
(2)因为 y= ,y=

ab 10000 ab

[-

1 2

x2+50x+10000],∴x = 50, 即商品价格上涨 50%时, y 最大为
2

[-kx +100(1-k)x+10000],此二次函数开口向下,对称轴为 x=

ab. 8 50(1 ? k )

9

,在适

10000
-3-

k

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50(1 ? k ) k

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当涨价过程中, 销售总金额不断增加, 即要求此函数当自变量 x 在{x|x>0}的一个子集中增大时, 也增大. y 所以 >0,解之 0<k<1.

?p ? q ? r ?1 ? p ? ? 0.05 ? ? 14.设二次函数为 y=px +qx+r,则 ? 4 p ? 2 q ? r ? 1.2 ? ?q ? 0.35 , ?9 p ? 3q ? r ? 1.3 ?r ? 0.7 ? ?
2

所以 y ? ?0.05 x ? 0.35 x ? 0.7 ,当 x=4 时, y=1.3;
2

? ab ? c ? 1 ? a ? ?0.8 1 x ? 2 ? 对于函数 y ? ab ? c ,由 ? ab ? c ? 1.2 ? ?b ? 0.5 ,所以 y ? ?0.8 ? ( ) ? 1.4 ,当 2 ? ab 3 ? c ? 1.3 ?c ? 1.4 ? ?
x

x=4 时, y=1.35,显

然,用函数 y ? ?0.8 ? ( ) ? 1.4 作为模拟函数较好.
x

1

2

-4-


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