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G高一数学竞赛试题


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周口中英文学校 2012—2013 学年高一 数学竞赛试题(命题

:高一数学组)
一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

1.设 A ? ?x ? 1 ? x ? ?? , B ? ?x ? x ? a? ,若 A ? B ,则 a 的取值范围是(
线



A. a ? 2

B. a ? 1

C. a ? 1 )
1

D. a ? 2

2.用分数指数幂表示 a 3 a a ,正确的是(
4 3

A. a 3

B. a 4

C. a 12 )
3? ? C. ? ? ?, ? 4? ?

D. a

?

1 4

3.函数 y ? log 0.5 ? 4 x ? 3? 的定义域是( A. ?1,???
?3 ? B. ? ,?? ? ?4 ?


?3 ? D. ? ,1? ?4 ?

4.函数 f ( x) ? log0.6 (?3x ? 2) 的单调递增区间为( A. ?? ?,1? B. ?? ?,???


?2 ? D. ? ,?? ? ?3 ?

2? ? C. ? ? ?, ? 3? ?

? 21? x , x ? 1 5.设函数 f ( x ) ? ? ,则满足 f ( x ) ? 2 的 x 的取值范围是( ) 1 ? log2 x, x ? 1 ? A. ?? 1,2? B. ?0,2? C. ?1,??) D. ?0,???


7 函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 ?0,??? 时,函数 f (x ) 单调递减,则不 1 等式 f (1) ? f ( ) ? 0 的解集是( ) x A. ?x x ? 0? B. ?x ? 1 ? x ? 1? C x x ? ?1或x ? 1 D ?x ? 1 ? x ? 1且x ? 0? 1 a 1 b 8 已知 a ? b, ab ? 0 给出下列不等式:① a 2 ? b 2 ,② 2a ? 2b ,③ ( ) ? ( ) ,④ 3 3

?

?

a 3 ? b 3 ,其中一定成立的个数是 (

1

1

)

A.1 B.2 C.3 D.4 9 在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,现将这堆货物的三种视图画了出来, 如图.你能根据三视图, 清点正方体箱的个数是( ) A、9 C、 7 B、8 D. 6

10 设函数 y ? loga (ax2 ? x ? a) 的定义域是 R 时,a 的取值范围为集合 M;它的值域 是 R 时,a 的取值范围为集合 N,则下列表达式中正确的是 A. N ? M B. M ? N ? R C. M ? N ? ? D. M ? N

11 已知如图:长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,交于顶点 A 的三 条棱长别为 AD=3,AA1=4,AB=5。一天,小强观察到在 A 处 有一只蚂蚁,发现顶点 C1 处有食物,于是它沿着长方体的表面 爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短路程是( A、 5 2 B 、 74 C、 4 5 D、 )

3 10

= 12 已知函数 f (x) 是 R 上的偶函数,对 x ∈ R 恒有 f ( x + 6) f ( x) + f (3) 成立,若 f (4) = 1,则 f (2008) 等于

A. 2008

B. 2

C. 1

D. 0

二填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上)

?3x ? 2 ( x ? 1) 13 已知函数 f ( x) ? ? 2 若 f [ f (0)] ? 4a ,则实数 a ? . x ? ax ( x ? 1) ? g 14 若 函 数 y ? f (2 x ) 的 定 义 域 是 ?? 1,1? , 则 函 数 y ? f ( l o 2 x) 的 定 义 域 是
__________. 15 若 log a 2 ? logb 2 ,则① 1 ? a ? b ,② 0 ? a ? 1 ? b ,③ 0 ? a ? b ? 1 ,④ 1 ? b ? a , ⑤ 0 ? b ? 1 ? a ,⑥ 0 ? b ? a ? 1 中可能正确的有 . 16 已 知 关 于 x 的 函 数 y ? loga ?2 ? ax? 在 ?0,1? 上 是 减 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 是 .
三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? ? x ?2 ? x ? 5? , B ? ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? . (1)当 m ? 3 时,求集合 A ? B , A ? B ; (2)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围.

18 设 f(x)是定义在实数集上的函数,对任意实数 x,y 均有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且 x>0 时,f(x)<0,f(2)=-1. (1)证明函数在定义域上的单调性. (2)解不等式:f(x2)-f(3x)+2>0

19、如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别为 AB、PC 的中点; (1)求证:MN//平面 PAD (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD

1 2 ax + b 是定义在 (- 1,1) 上的奇函数,且 f ( ) = , 2 2 5 1+ x (1)确定函数 f ( x) 的解析式; (2)用定义证明 f ( x) 在 (- 1,1) 上是增函数; (3)解不等式 f (t - 1) + f (t ) < 0 .

20 已知函数 f ( x) =

a 21 已知函数 f(x)=2x+ x,且 f(1)=1 (1)求实数 a 的值,并判断函数 f(x)的奇偶性(要求写出过程) (2)函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并用定义证明

22. 已知幂函数 f ( x) ? x

(2?k )(1? k )

(k ? z ) 满足 f (2) < f (3) 。

(1)求实数 k 的值,并写出相应的函数 f ( x) 的解析式; ( 2 ) 对 于 ( 1 ) 中 的 函 数 f ( x) , 试 判 断 是 否 存 在 正 数 m , 使 函 数
g ( x) ? 1 ? mf ( x) ? (2m ? 1) x ,在区间 ?0,1? 上的最大值为 5。若存在,求出

m 的值;若不存在,请说明理由。


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