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第九课时:两角和与差的正弦、余弦和正切


两角和与差的正弦、余弦和正切
基础梳理:1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β; (4)S(α-β):sin(α-β)=si

n_αcos_β-cos_αsin_β; tan α+tan β tan α-tan β (5)T(α+β):tan(α+β)= ; (6)T(α-β):tan(α-β)= . 1-tan αtan β 1+tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α (3)T2α:tan 2α= . 1-tan2α 3.有关公式的逆用、变形等 1+cos 2α 1-cos 2α (1)tan α± β=tan(α± tan β)(1?tan_αtan_β); (2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 π (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α± α= 2sin?α± ?. cos ? 4? 4.函数 f(α)=acos α+bsin α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ)或 f(α)= a2+b2cos(α-φ), 其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定. 两个技巧 α+β α-β α-β ? β α (1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β= - ; =?α+2?-?2+β?. ? ? ? 2 2 2 (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等. 三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值 代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为 的是( ). 4 A.2cos2 π -1 12 B.1-2sin275° D.sin 15° 15° cos

2tan 22.5° C. 1-tan222.5°

π π 3 3 2tan 22.5° 1 解析 2cos2 -1=cos = ; 1-2sin275° =cos 150° =- ; =tan 45° =1; 15° 15° sin sin cos = 12 6 2 2 1-tan222.5° 2 1 30° .答案 D = 4 sin 2α 2.(2011· 福建)若 tan α=3,则 2 的值等于( ). cos α

A.2 解析

B.3

C.4

D.6

sin 2α 2sin αcos α = =2tan a=2×3=6,故选 D.答案 D cos2 α cos2 α

2 3.已知 sin α= ,则 cos(π-2α)等于( ). 3 A.- 5 3 1 B.- 9 1 C. 9 D. 5 3

4 1 解析 cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2× -1=- .答案 B 9 9 π 1 4.(2011· 辽宁)设 sin?4+θ?= ,则 sin 2θ=( ). ? ? 3 7 A.- 9 1 B.- 9 1 C. 9 7 D. 9

π π 1 7 解析 sin 2θ=-cos?2+2θ?=2sin2?4+θ?-1=2×?3?2-1=- .答案 A ? ? ? ? ? ? 9 5.tan 20° +tan 40° 3tan 20°tan 40° + =________. 解析 ∵tan 60° =tan(20° +40° )= tan 20° +tan 40° , ∴tan 20° +tan 40° =tan 60° (1-tan 20° 40° tan )= 3- 3 1-tan 20° 40° tan 3

tan 20°tan 40° · ,∴原式= 3- 3tan 20° 40° 3tan 20° 40° 3.答案 tan + tan =

考向一 三角函数式的化简
1 2cos4x-2cos2x+ 2 【例 1】?化简 . π ? 2? π ? 2tan?4-x?sin ?4+x? ? 1 1 1 2 -2sin2xcos2x+ ?1-sin22x? cos 2x 2 2 2 1 切化弦,合理使用倍角公式.解 原式= = = = cos 2x. π ? 2?π ? π ? ?π ? π 2 2sin?4-x?cos ?4-x? 2sin?4-x?cos?4-x? sin?2-2x? ? ? ? ? π cos?4-x? ? ? 三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名 称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的 方向. ?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? 【训练 1】 化简: . sin 2α

解 原式=

?2sinαcosα-2sin2α??2sinαcosα+2sin2α? ?cosα-sin α??cosα+sinα?sinα 2?? 2 2? 2 2?? 2 2 2? ? 2 ? 2 2
4sin α α cos cos α 2 2 = α cos cos α 2



?cos2α-sin2α?sinα cos αsin α 2? 2 ? 2 2
α cos cos α 2 =

α =tan . α 2 cos cos α 2

考向二 三角函数式的求值
β α π 1 2 【例 2】?已知 0<β< <α<π,且 cos?α-2?=- ,sin?2-β?= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 3 2 9 α+β ? β α [审题视点] 拆分角: =?α-2?-?2-β?,利用平方关系分别求各角的正弦、余弦. ? ? ? 2 α π π α π π β 解 ∵0<β< <α<π,∴- < -β< , <α- <π∴cos?2-β?= ? ? 2 4 2 2 4 2 α β 5 1-sin2?2-β?= , sin?α-2?= ? ? 3 ? ?

β 4 5 α+β ?? β? ?α ?? ? β? ?α ? ? β? ?α ? 1-cos2?α-2?= ? ? 9 ,∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β??=cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? 1 α+β 49×5 5 4 5 2 7 5 239 =?-9?× + × = ,∴cos(α+β)=2cos2 -1=2× -1=- . ? ? 3 9 3 27 2 729 729 三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系. π 4 1 【训练 2】 已知 α,β∈?0,2?,sin α= ,tan(α-β)=- ,求 cos β 的值. ? ? 5 3 π π π 1 π 解 ∵α,β∈?0,2?,∴- <α-β< ,又∵tan(α-β)=- <0,∴- <α-β<0. ? ? 2 2 3 2 ∴ 1 10 3 10 10 4 3 =1+tan2(α-β)= .cos(α-β)= ,sin(α-β)=- .又∵sin α= ,∴cos α= . 9 10 10 5 5 cos ?α-β?
2

3 3 10 4 ? 10 10? ∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= × + × - = . 5 10 5 ? 10 ? 10

考向三 三角函数的求角问题
1 13 π 【例 3】?已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β. 7 14 2 [审题视点] 由 cos β=cos[α-(α-β)]解决. π π 13 1 π 4 3 解 ∵0<β<α< ,∴0<α-β< .又∵cos(α-β)= ,∵cos α= ,β<α< ,∴sin α= 1-cos2α= 2 2 14 7 2 7 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 3 3 1 13 ,∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= × + 14 7 14

4 3 3 3 1 π π × = .∵0<β< .∴β= . 7 14 2 2 3 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正 π 切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2?,选正、余弦皆可;若角的范 ? ? π π 围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ? π π 【训练 3】 已知 α,β∈?-2,2?,且 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两个根,求 α+β 的值. ? ? 解 由根与系数的关系得: α+tan β=-3 3, αtan β=4, tan tan ∴tan α<0, β<0, tan -π<α+β<0.又 tan(α

+β)=

tan α+tan β -3 3 2π = = 3.∴α+β=- . 3 1-tan αtan β 1-4 考向四 三角函数的综合应用

【例 4】?(2010· 北京)已知函数 f(x)=2cos 2x+sin2x. π (1)求 f?3?的值; ? ? (2)求 f(x)的最大值和最小值. [审题视点] 先化简函数 y=f(x),再利用三角函数的性质求解. π 2π π 3 1 解 (1)f?3?=2cos +sin2 =-1+ =- . ? ? 3 3 4 4 (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,x∈R.∵cos x∈[-1,1],∴当 cos x=± 时,f(x)取最大值 2; 1 当 cos x=0 时,f(x)取最小值-1. 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性 质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再进一步讨论其定义域、值域和 最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. 【训练 4】 已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ? 解:f(x)=2sin xcos x=sin 2x 2π π π π 3 (1)f(x)的最小正周期 T= =π. (2)∵- ≤x≤ ∴- ≤2x≤π.∴- ≤sin 2x≤1. 2 6 2 3 2 ∴f(x)的最大值为 1,最小值为- 3 . 2

难点突破 10——三角函数求值、求角问题策略
面对有关三角函数的求值、化简和证明,许多考生一筹莫展,而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角 问题中的难点和重点,其难点在于:其一,如何牢固记忆众多公式,其二,如何根据三角函数的形式去选 择合适的求值、求角方法. 一、给值求值 一般是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如 α=(α +β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论. π tan x 【示例】? (2011· 江苏)已知 tan ?x+4?=2,则 的值为________. ? ? tan 2x

二、给值求角 “给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得 的函数值结合该函数的单调区间求得角. 1 1 【示例】? (2011· 南昌月考)已知 tan(α-β)= ,tan β=- ,且 α,β∈(0,π),求 2α-β 的值. 2 7

▲三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年高考的必考内容,常在选择题中以条件求值的 形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中,并且成为高考的一个新考查方向. π 【示例】? (2011· 温州一模)已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂直,其中 θ∈?0,2?. ? ? (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cos φ,0<φ< ,求 cos φ 的值. 2


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