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上海市虹口区2015年高三数学一模试卷理科PDF版(含答案)完美编辑


FunshineMaths 峰行数学
虹口区 2014 学年第一学期高三期终教学质量监测试卷
2015.1.8
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1、椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的焦距为 4
9
<

br />.

1? ? 2、在 ? 2 x ? ? 的展开式中,各项系数之和为 x? ?

.

3、若复数 z 满足

zi ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z ? 2?i

. .

4、若正实数 a,b 满足 ab = 32,则 2a ? b 的最小值为

3sin x tan ? ? ? x ?
5、行列式

4 cos x tan(

的最小值为 ? ? x) 2

.

6 、 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分别 为 a、b、c , 若 A ? 75?, B ? 60?, b ? 3 , 则
c?

. .

0 ? x ? ?, ?2sin x, 7、若 f ? x ? ? ? 2 则方程 f ? x ? ? 1 的所有解之和等于 x ? 0, ?x ,

8、 若数列 ?an ? 为等差数列, 且 a1 ? 1, a2 ? a3 ? a4 ? 21 , 则 lim

a1 ? a2 ? ? ? an ? n ?? n2

.

9 、 设 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , 前 n 项 和 为 Sn , 若 Sn ?1 , Sn , Sn ? 2 成 等 差 数 列 , 则
q?

.

10、已知 l1, l2 是分别经过 A ? 2, 1?,B ? 0, 2 ? 两点的两条平行直线,当 l1, l2 之间的距离最大时, 直线 l1 的方程是 .

11、若抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A 、 B 到焦点的距离之和为 6,则线段 AB 的中点到 y 轴的距 离为 .

12 、 10 件产品中有 8 件正品, 2 件次品,从中任取 3 件,则恰好有一件次品的概率 为 .(结果用最简分数表示)

13、右图是正四面体的平面展开图, M 、N 、G 分别为 DE、BE、FE 的中点,则在这个正四 面体中, MN 与 CG 所成角的大小为
A
E

.

y

D

N

D MG B
N

F

M O
C

x

E

C

整理人

谭峰

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14、右图为函数 f ? x ? =A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ?

? ) 的部分图像, M 、N 是它与 x 轴 2

的 两 个 交 点 , D、C 分 别 为 它 的 最 高 点 和 最 低 点 , E ? 0,1? 是 线 段 MD 的 中 点 , 且

???? ? ???? ? ?2 MD ? MN ? ,则函数 f ? x ? 的解析式为 8

.

二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分)每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. 15、设全集 U ? R, A ? x y ? ln ?1 ? x ? , B ? x x ? 1 ? 1 ,则 ? CU A? ? B ? A. ? ?2,1? B. ? ?2,1?

?

?

?

?



).

? ?? a 16、设 a, b 均为非零向量,下列四个条件中,使 ? a
? ? A. a ? ?b ? ? B. a / /b

C. ?1,2 ? D. ?1,2 ? ? b ? ? 成立的必要条件是 ( b
? ? C. a ? 2b

).

? ? ? ? D. a / /b 且 a ? b

4 2 17、关于曲线 C : x ? y ? 1 ,给出下列四个命题:

①曲线 C 关于原点对称; ③曲线 C 围成的面积大于 ? 上述命题中,真命题的序号为

②曲线 C 关于直线 y ? x 对称 ④曲线 C 围成的面积小于 ? ( )

A.①②③

B.①②④

C.①④

D.①③

18 、若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ( ).

1 1 ? x ? 有四个不同交点,则实数 k 的取值范围是 x x

? 1 1? A. ?? ,0, ? ? 8 8?

? 1 1? B. ?? , ? ? 8 8?

? 1 1? C. ? ? , ? ? 8 8?

? 1 1? D. ? ? , ? ? 8 8?

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必 要步骤. 19、 (本题满分 12 分)

?? 2 ? ? ? 3? 已知 cos ? x ? ? ? , x?? , 4 10 ? ? ?2 4

?? ? ? ? ,求 sin ? x ? ? ,sin x,cos 2 x 的值 4? ? ?

整理人

谭峰

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20、 (本题满分 14 分)本题共 2 个小题,每小题 7 分 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥, 且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在 这个球面上,如图,已知圆锥底面面积是这个球面面积的 半径为 r . (1)试确定 R 与 r 的关系,并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比; (2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.
O
3 ,设球的半径为 R ,圆锥底面 16

B

R

O1
A

r

21、 (本题满分 14 分)本题共 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分 已知函数 f ( x) 和 g ( x ) 的图像关于原点对称,且 f ( x) ? x 2 ? x (1)求函数 y ? g ( x ) 的解析式; (2)若 h( x) ? g ( x ) ? m ? f ( x ) ? 3 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 m 的取值范围.

整理人

谭峰

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22、 (本题满分 16 分)本题共 3 小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分. 已知各项均不为零的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 4Sn ? an ? an?1 ? 1? n ? N ? ? ,其中 a1 ? 1 . (1)求证: a1 , a3 , a5 成等差数列; (2)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (3)设数列 ?bn ? 满足 2bn ? 1 ? 等式 2Tn ? log 2 an ?1 恒成立.
1 ? n ? N ? ? ,且 Tn 为其前 n 项和,求证:对任意正整数 n ,不 an

23、 (本题满分 18 分)本题共 3 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 6 分.

x2 y 2 已知 F1、F2 为为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的两个焦点,焦距 F1 F2 =6 ,过左焦点 F1 垂直于 x 轴的 a b
直线,与双曲线 C 相交于 A, B 两点,且 ?ABF2 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的方程; ( 2) 设 T 为直线 x ? 1 上任意一点, 过右焦点 F2 作 TF2 的垂线交双曲线 C 与 P, Q 两点, 求证: 直线 OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点) ; (3)是否存在过右焦点 F2 的直线 l ,它与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 R, S 两点,且 使得 ?F1 RS 的面积为 6 2 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
y A

F1
B

O

F2

x

整理人

谭峰

FunshineMaths 峰行数学 2015 年虹口区高三一模数学试卷理科(参考答案)
一.填空题 1. 2 3 ; 8. 1.5 ; 2. 1; 9. ?2 ; 3. ?5i ; 4. 16; 5. ?5 ; 11. 3; 6. 12.

2;
7 ; 15

7. ? ? 1 ;

10. 2 x ? y ? 3 ? 0 ;

13. arccos 二.选择题 15. C; 三.解答题 19. 解: x ?

3 ; 3

14. y ? 2sin(2 x ?

? ); 4
18. A;

16. B;

17. D;

? 2 7 2 ? ? ? ? ( , ) ,在第一象限,∴ sin( x ? ) ? 1 ? ? ; 4 4 2 4 100 10
? ? ? ? ? ? 4 ? ) ? sin( x ? ) cos ? cos( x ? ) sin ? ; 4 4 4 4 4 4 5
7 ; 25

sin x ? sin( x ?

cos 2 x ? 1 ? 2sin 2 x ? ?
20. (1)解: ? r 2 ?

3 3 ? 4? R 2 , r ? R ; V大 : V小 ? h大 : h小 ? 3 :1 ; 16 2

( 2 )解: (V大 ? V小 ) : V球 ? ( ? r h大 ? ? r h小 ) : 21. (1)解: g ( x ) ? ? x 2 ? x ; (2)解: h( x) ? ( ?1 ? m) x 2 ? (1 ? m) x ? 3 , 当 ?1 ? m ? 0 ,即 m ? ?1 时,对称轴 x ?

1 3

2

1 3

2

4 3 r2 h 3 ? R ? r 2 h小 : R3 ? 2 ? 小 ? ; 3 R R 8

1? m ? ?1 ,∴ ?3 ? m ? ?1 ; 2(m ? 1)

当 ?1 ? m ? 0 ,即 m ? ?1 时, h( x) ? 2 x ? 3 ,符合题意,∴ m ? ?1 ; 当 ?1 ? m ? 0 ,即 m ? ?1 时,对称轴 x ?

1? m 1 ? 1 ,∴ ?1 ? m ? ? ; 2(m ? 1) 3

综上, ?3 ? m ? ?

1 ; 3

22. (1) 解:4S n ? an an ?1 ? 1 ①;4S n ?1 ? an ?1an ? 1 ②; ①-②得 an ?1 ? an ?1 ? 4 , 得证; (2)解:由 a1 ? 1 ,得 a2 ? 3 ,结合第(1)问结论,即可得 {an } 是等差数列; (3)解:根据题意, bn ? log 2

2n 2 4 6 2n , Tn ? log 2 ? ? ? … ? ; 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1

整理人

谭峰

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要证 2Tn ? log 2 an ?1 ? log 2 (2n ? 1) ,即证 当 n ? 1 时, 2 ? 3 成立; 假设当 n ? k 时, 当 n ? k ? 1 时,

2 4 6 2n ? ? ? …? ? 2n ? 1 ; 1 3 5 2n ? 1

2 4 6 2k ? ? ? …? ? 2k ? 1 成立; 1 3 5 2k ? 1

2k ? 2 2 4 6 2k 2k ? 2 2k ? 2 ? ? ? ? …? ? ? 2k ? 1 ? ; 1 3 5 2k ? 1 2 k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

要证

2k ? 2 ? 2k ? 3 ,即证 (2k ? 2)2 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,展开后显然成立, 2k ? 1

所以对任意正整数 n ,不等式 2Tn ? log 2 an ?1 恒成立; 23. (1) c ? 3 ,∵等边三角形,∴ AF2 ? 4 3 , AF1 ? 2 3 , a ? 3 ,∴ (2)解:设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,中点为 T ?( x0 , y0 ) ,然后点差法, 即得

x2 y2 ? ? 1; 3 6

2( x1 ? x2 ) y1 ? y2 1 3 ?1 2 ? ? k PQ ? ? ? ? , ( y1 ? y2 ) x1 ? x2 k PF2 yT yT

∴ kOT ? ?

y0 yT ? ? kOT ,即点 T ? 与点 T 重合,所以 T 为 PQ 中点,得证; x0 1

(3)解:假设存在这样的直线,设直线 l : x ? my ? 3 , R ( xR , yR ) , S ( xS , yS ) 联立 ?

? y ? 2x ? y ? ? 2x 3 2 ?3 2 ? ? 得 yR ? ;联立 ? 得 yS ? ; 1 ? 2 m 1 ? 2 m x ? my ? 3 x ? my ? 3 ? ? ? ?

1 S? F1RS ? ? 6 ? ( y R ? yS ) ? 6 2 ,即 ( y R ? yS ) ? 2 2 ; 2


3 2 3 2 ? ? 2 2 ,该方程无解,所以不存在这样得直线 l 1 ? 2m 1 ? 2m

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谭峰


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