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集合与简易逻辑单元评估检测


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单元评估检测(一)
第一章 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合 A={(1,2),(3,4)},则集合 A 中元素的个数是 ( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ) )

2.(2013·威海模拟)在△ABC 中,“A>B”是“tanA>tanB”的 ( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3.设集合 U={1,2,3,4},M={x∈U|x2-5x+p=0},若 ?U M={2,3},则实数 p 的值为 ( (A)-4 (B)4 (C)-6 (D)6 ) )

4.(2013·沈阳模拟)命题“? x∈R,使 log2x≤0 成立”的否定为 ( (A)? x∈R,使 log2x>0 成立 (B)? x∈R,使 log2x≥0 成立 (C)? x∈R,均有 log2x≥0 成立 (D)? x∈R,均有 log2x>0 成立 5.设非空集合 P,Q 满足 P∩Q=P,则下列结论正确的是 ( )

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(A)? x∈Q,x∈P (C)? x?Q,x∈P

(B)? x?Q,x?P (D)? x∈P,x?Q ( )

6.命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题是 (A)若 a>b,则 a-1≤b-1 (B)若 a≥b,则 a-1<b-1 (C)若 a≤b,则 a-1≤b-1 (D)若 a<b,则 a-1<b-1

7.(2013·天水模拟)已知集合 M={x|lgx2=0},N={x|2-1<2x+1<22,x∈Z},则 M∩N= ( (A){-1,1} (C){0} (B){-1} (D){-1,0} ( ) )

8.(2013·德州模拟)“p∧q 是真命题”是“﹁p 为假命题”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

9.(2013·威海模拟)已知平面α ⊥平面β ,直线 l?β ,则“l⊥α ”是“l∥β ”的 ( (A)充要条件 (C)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 )

10. 给 出 下 列 两 个 命 题 : 命 题 p1:y=ln[(1-x)(1+x)] 为 偶 函 数 ; 命 题 p2: 函 数 y=ln 是奇函数,则下列命题为假命题的是 ( )

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(A)p1∧p2 (C)p1∨p2

(B)p1∨(﹁p2) (D)p1∧(﹁p2) ( )

11.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

12.(2013·营口模拟)以下四个命题:①命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题 为“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”;②若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题;③命题 p: ? x∈R,x2+x+1<0” “ ,则命题 p 的否定为 x∈R,x2+x+1≥0” “? ;④在△ABC 中,A<B 是 sinA<sinB 的充分不必要条件,其中真命题为 ( (A)① (C)①②③ (B)①② (D)①②③④ )

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线 上) 13.(2013·海淀模拟)命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题为 .

14.(2013·长沙模拟)已知命题 p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相反;命题 q: ? x ∈ R, 使 x2-mx-m<0. 若 命 题 “ p ∧ q ” 是 假 命 题 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 . <2},B={x|lo (x2+x+1)>-log2(x2+2)},则图中阴影部 .

15.设全集 U=R,A={x| 分表示的集合为

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16.已知下列四个结论: ①命题“若 p,则 q”与命题“若﹁q,则﹁p”互为逆否命题; ②命题 p:? x∈[0,1], e x ≥1, 命题 q:? x∈R,x2+x+1<0,则 p∨q 为真; ③若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题. ④“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10 分)已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}. 求:(1)A∪B. (2)( ?R A)∩B. 18.(12 分)(2013·新密模拟)已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负实 根,命题 q:不等式 4x2+4(m-2)x+1>0 的解集为 R.若 p∨q 为真命题、p∧q 为假命 题,求实数 m 的取值范围. 19.(12 分)(2013·忻州模拟)A={x| ≤2-x≤4},B={x|x2-3mx+2m2-m-1<0}. (1)当 x∈N 时,求 A 的非空真子集的个数. (2)若 A? B,求实数 m 的取值范围. 20.(12 分)已知 p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若﹁p 是﹁q 的必要而不充 分条件,求实数 m 的取值范围.

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21.(12 分)(能力挑战题)已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0}, B={y|y= x2-x+ ,0≤x≤3}. (1)若 A∩B= ? ,求实数 a 的取值范围. (2)当 a 取使不等式 x2+1≥ax 对任意 x 恒成立的最小值时,求( ?R A)∩B. 22.(12 分)(能力挑战题)设 a,b,c 为△ABC 的三边,探究方程 x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件.

答案解析
1.【解析】选 B.(1,2),(3,4)是元素,故集合 A 中只有两个元素.
? 2. 解析】 D.≧在△ABC 中,A= ,B= ,而 tanA<tanB,? 【 选 “A>B” “tanA>tanB” .

同样 tan <tan ? 不必要条件.

< ,?在△ABC 中,“A>B”是“tanA>tanB”的既不充分也

3.【解析】选 B.≧U={1,2,3,4},
?U M={2,3},?M={1,4},

?方程 x2-5x+p=0 的两个根为 1,4, ?p=1×4=4. 4.【解析】选 D.由存在性命题的否定方法知,“? x∈R,使 log2x≤0 成立”的否 定为“? x∈R,均有 log2x>0 成立”,故选 D. 5.【解析】选 B.P∩Q=P?P? Q,根据子集的意义,任意不属于集合 Q 的元素一定

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不属于其子集 P. 6.【解析】选 C.原命题条件的否定是 a≤b,此为其否命题的条件;原命题结论的 否定是 a-1≤b-1,此为其否命题的结论,故原命题的否命题是“若 a≤b,则 a-1 ≤b-1”. 7.【解析】选 B.集合 M={-1,1},集合 N={-1,0},所以 M∩N={-1}. 8.【解析】选 A.若 p∧q 是真命题, 则 p 真,q 真,于是﹁p 为假命题; 若﹁p 为假命题,则 p 为真命题, 但 q 的真假性不定,无法推出 p∧q 是真命题. 所以“p∧q 是真命题”是“﹁p 为假命题”的充分不必要条件. 9.【解析】选 B.≧l⊥α,α⊥β,?l∥β或 l? β, 又≧l?β,?l∥β. 而 l∥β,α⊥β ? l⊥α, ?“l⊥α”是“l∥β”的充分不必要条件. 10.【思路点拨】根据函数奇偶性的定义判断命题 p1,p2 的真假,然后根据逻辑联 结词的意义判断选项中命题的真假. 【解析】选 D.函数 y=ln[(1-x)(1+x)]的定义域是(-1,1)且满足偶函数的定义, 命题 p1 为真命题;函数 y=ln 的定义域是(-1,1)且满足奇函数的定义,命题 p2 是

真命题.故命题 p1∧p2,p1∨(﹁p2),p1∨p2 均为真命题,只有命题 p1∧(﹁p2)为假命 题. 11.【思路点拨】根据 a,b 取值的正负,结合不等式的性质进行推理,注意使用举 反例的方法.

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【解析】 D.当 0<ab<1 时 a,b 同号,若 a,b 均为正数,则有 b< ,若 a,b 均为负数, 选 则 b> ,故条件不是充分的;当 b< 时,若 b<0,a>0,则一定不满足 0<ab<1,故条件也 是不必要的.故“0<ab<1”是“b< ”的既不充分也不必要条件. 12.【解析】选 C.①正确;②正确;③正确;④错误.在△ABC 中,大边对大角,A<B ?a<b,由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB, 所以 a<b?sinA<sinB,即 A<B?sinA<sinB. 13.【解析】 “若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题为“若 x≤-1 或 x≥1,则 x2≥1”. 答案:若 x≤-1 或 x≥1,则 x2≥1 14.【解析】方程 x2+x-1=0 有两个实数根且两根之积为负值,故两根的符号相反, 命题 p 是真命题,若 p∧q 为假命题,只能是命题 q 为假命题,即其否定是真命题, 即? x∈R,x2-mx-m≥0 为真命题,即Δ=m2+4m≤0,即-4≤m≤0. 答案:[-4,0] 15.【解析】由(x-1)2<1,得 0<x<2,故集合 A={x|0<x<2};由 lo (x2+x+1)> -log2(x2+2)=lo (x2+2), 又 y=lo x 为减函数, 得 0<x2+x+1<x2+2,解得 x<1, 故集合 B={x|x<1}. 图中的阴影部分为集合 A∩( ?U B). A∩( ?U B)={x|0<x<2}∩{x|x≥1} ={x|1≤x<2}. 答案:{x|1≤x<2}(也可以填[1,2)) 16.【解析】根据四种命题的关系,结论①正确;②中命题 p 为真命题、q 为假命

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题,故 p∨q 是真命题,结论②正确;根据或命题的真假判断方法知结论③正确; ④中命题的逆命题是“若 a<b,则 am2<bm2”,这个命题在 m=0 时不成立,结论④不 正确. 答案:①②③ 17.【解析】(1)A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}= {x|2<x<10}. (2)因为 ?R A={x|x<3 或 x≥7}, 所以( ?R A)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}. 18.【解析】命题 p 为真时,实数 m 满足Δ1=m2-4>0 且-m<0,解得 m>2;命题 q 为真 时,实数 m 满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得 1<m<3. p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,等价于 p 真且 q 假或者 p 假且 q 真. 若 p 真且 q 假,则实数 m 满足 m>2 且 m≤1 或 m≥3,解得 m≥3; 若 p 假且 q 真,则实数 m 满足 m≤2 且 1<m<3,解得 1<m≤2. 综上可知,所求 m 的取值范围是(1,2]∪[3,+≦). 19.【解析】化简集合 A={x|-2≤x≤5}, 集合 B={x|(x-m+1)(x-2m-1)<0}. (1)当 x∈N 时,集合 A={0,1,2,3,4,5},即 A 中含有 6 个元素,所以 A 的非空真子 集数为 26-2=62(个). (2)(2m+1)-(m-1)=m+2. ①当 m=-2 时,B= ? ? A; ②当 m<-2 时,2m+1<m-1, 此时 B=(2m+1,m-1),若 B? A,则只要 解得- ≤m≤6,与 m<-2 无公共部

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分,所以 m 的值不存在; ③当 m>-2 时,2m+1>m-1, 此时 B=(m-1,2m+1), 若 B? A,则只要 解得-1≤m≤2,此时 m 满足-1≤m≤2. 综上所述,m 的取值范围是 m=-2 或-1≤m≤2. 20.【解析】≧p:-2≤x≤10, ?﹁p:A={x|x>10 或 x<-2}. 由 q:x2-2x+1-m2≤0(m>0), 解得 1-m≤x≤1+m(m>0), ?﹁q:B={x|x>1+m 或 x<1-m}(m>0). 由﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件可知:B A. ? 或 解得 m≥9.

?满足条件的 m 的取值范围为 m≥9. 【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略 处理此类问题一般有两种策略: 一是直接求出条件与结论,再根据它们的关系求解. 二是先写出命题条件与结论的否定,再根据它们的关系求解. 如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么﹁p 是﹁q 的必要不充分条件;同理,如果 p 是 q 的必要不充分条件,那么﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,如果 p 是 q 的充要条 件,那么﹁p 是﹁q 的充要条件. 21.【解析】由 y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0,得
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(y-a)(y-a2-1)>0, 由于 a2+1-a=(a- )2+ >0, 所以 A=(-≦,a)∪(a2+1,+≦). 集合 B 为函数 y= x2-x+ ,0≤x≤3 的值域,二次函数 y= x2-x+ 的对称轴方程为 x=1, 故在[0,3]上,当 x=1 时函数值最小,当 x=3 时函数值最大,故可得 B=[2,4]. (1)若 A∩B= ? ,则只要 a2+1≥4 且 a≤2 即可,解得 a≤- 或 ≤a≤2,即实数 a 的取值范围是(-≦,- ]∪[ ,2]. (2)不等式 x2+1≥ax 对任意 x 恒成立的充要条件是 a2-4≤0,解得-2≤a≤2,最小 a 值为-2,此时 A=(-≦,-2)∪(5,+≦), ?R A=[-2,5],所以( ?R A)∩B=[2,4]. 22.【思路点拨】设出方程的公共根,消掉这个公共根就可以得到两个方程有公 共根的必要条件,再证明这个条件是充分的即可. 【解析】设 m 是两个方程的公共根,显然 m≠0.由题设知: m2+2am+b2=0 ①, m2+2cm-b2=0 ②, 由①+②得 2m(a+c+m)=0, 所以 m=-(a+c) ③, 将③代入①,得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0, 化简得 a2=b2+c2. 所以所给的两个方程有公共根的必要条件是 a2=b2+c2. 下面证明其充分性. 因为 a2=b2+c2,所以方程 x2+2ax+b2=0,

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即 x2+2ax+a2-c2=0, 它的两个根分别为 x1=-(a+c)和 x2=c-a; 同理,方程 x2+2cx-b2=0 的两根分别为 x3=-(a+c)和 x4=a-c. 因为 x1=x3,所以方程 x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有公共根. 综上所述,方程 x2+2ax+b2=0 与方程 x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件是 a2=b2+c2.

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