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高中数学 第二章2.1 函数及其表示(共74张PPT)


数学

R A(文)

§2.1 函数及其表示
第二章 函数与基本初等函数 I

基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数的基本概念 (1)函数的定义
难点正本 疑点清源

1.函数的三要素
函数的三要素是:定义域、值域 和对应关系. 值域是由函数的定

义域和对应关系所确定的. 两个 函数的定义域和对应关系完全 一致时,则认为两个函数相等.

数集 设 A,B 是非空的_____,如
果按照某种确定的对应关系 任意 f,使对于集合 A 中的______ 一个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定 ________的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记 y=f(x),x∈A 作______________.
基础知识 题型分类

2.函数与映射
(1)函数是特殊的映射,其特殊 性在于集合 A 与集合 B 只能是 非空数集, 即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射. (2)映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数 集,则这个映射便不是函数.
思想方法 练出高分

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要点梳理
(2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做 自变量,x 的取值范围 A 叫做函
难点正本 疑点清源

1.函数的三要素
函数的三要素是:定义域、值域 和对应关系. 值域是由函数的定 义域和对应关系所确定的. 两个 函数的定义域和对应关系完全 一致时,则认为两个函数相等.

定义域 与 数的_______; x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 值域 显 {f(x)|x∈A}叫做函数的______.
然,值域是集合 B 的子集. 定义域 (3) 函 数 的 三 要 素 : ________ 、

2.函数与映射
(1)函数是特殊的映射,其特殊 性在于集合 A 与集合 B 只能是 非空数集, 即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射. (2)映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数 集,则这个映射便不是函数.
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值域 对应关系 __________和______.
(4) 函数的表示法 表示函数的常用方法有: 图象法 列表法 解析法 _______、________、________.
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要点梳理
2. 映射的概念 设 A, B 是两个非空集合,如果按 某一个确定的对应关系 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 唯一确定 x,在集合 B 中都有_________ 的元素 y 与之对应,那么就称对 应 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 映射 的一个______. 3. 函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有 待定系数法 换元法 ____________、_______、配凑 法、消去法.
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难点正本 疑点清源

1.函数的三要素
函数的三要素是:定义域、值域 和对应关系. 值域是由函数的定 义域和对应关系所确定的. 两个 函数的定义域和对应关系完全 一致时,则认为两个函数相等.

2.函数与映射
(1)函数是特殊的映射,其特殊 性在于集合 A 与集合 B 只能是 非空数集, 即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射. (2)映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数 集,则这个映射便不是函数.
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要点梳理
4. 常见函数定义域的求法 不等于零 (1)分式函数中分母___________. (2)偶次根式函数被开方式

难点正本 疑点清源

3.函数的定义域
(1)解决函数问题, 函数的定义域 必须优先考虑; (2)求复合函数 y=f(t),t=q(x) 的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a,b), 则解不等式得 a<q(x)<b 即可求 出 y=f(q(x))的定义域; ②若 y=f(g(x))的定义域为(a, b),则求出 g(x)的值域即为 f(t) 的定义域.

大于或等于0 _______________. (3)一次函数、二次函数的定义域 R 为___.
(4)y=ax (a>0 且 a≠1),y=sin x, y=cos x,定义域均为___. R (5)y=tan x 的定义域为

? ? π ? ? ?x|x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ____________________________. ? ? ? ?

(6)函数 f(x)=xa 的定义域为{x|x∈ R 且 x≠0}.
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思想方法

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基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案 -1 ①② [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] D B

解析

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 函数的概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 有以下判断:
?1 ? |x| (1)f(x)= x 与 g(x)=? ?-1 ?

?x≥0? ?x<0?

表示同一函数; (2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+ 1 是同一函数; (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则
? ?1?? f?f?2??=0. ? ? ??

其中正确判断的序号是________.
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题型一 函数的概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 有以下判断:
?1 ? |x| (1)f(x)= x 与 g(x)=? ?-1 ?

?x≥0? ?x<0?

可从函数的定义、定义域和 值域等方面对所给结论进行 逐一分析判断.

表示同一函数; (2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+ 1 是同一函数; (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则
? ?1?? f?f?2??=0. ? ? ??

其中正确判断的序号是________.
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题型分类·深度剖析
题型一 函数的概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 有以下判断:
?1 ? |x| (1)f(x)= x 与 g(x)=? ?-1 ?

?x≥0? ?x<0?

|x| 对于(1),由于函数 f(x)= x 的定义 域为{x|x∈R 且 x≠0},而函数 g(x)
?1 ? =? ?-1 ?

?x≥0? 的定义域是 R, ?x<0? (2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 所以二者不是同一函数; 的交点最多有 1 个; 对于(2), x=1 不是 y=f(x)定义 若 2 2 (3)f(x)=x -2x+1 与 g(t)=t -2t+ 域的值,则直线 x=1 与 y=f(x) 的图象没有交点,如果 x=1 是 y 1 是同一函数; ? ?1?? =f(x)定义域内的值,由函数定义 (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. 可知, 直线 x=1 与 y=f(x)的图象 ? ? ?? 其中正确判断的序号是________. 只有一个交点,即 y=f(x)的图象 与直线 x=1 最多有一个交点;
表示同一函数;
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题型分类·深度剖析
题型一 函数的概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 有以下判断:
?1 ? |x| (1)f(x)= x 与 g(x)=? ?-1 ?

?x≥0? ?x<0?

对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、值 域和对应关系均相同,所以 f(x) 和 g(t)表示同一函数;

表示同一函数; (2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+ 1 是同一函数; (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则
? ?1?? f?f?2??=0. ? ? ??

?1? ?1 ? ?1? 对于(4),由于 f?2?=?2-1?-?2?=0, ? ? ? ? ? ?

所以

? ?1?? f?f?2??=f(0)=1. ? ? ??

综上可知,正确的判断是(2)(3).

其中正确判断的序号是________.
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题型分类·深度剖析
题型一 函数的概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 有以下判断:
?1 ? |x| (1)f(x)= x 与 g(x)=? ?-1 ?

?x≥0? ?x<0?

对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、值 域和对应关系均相同,所以 f(x) 和 g(t)表示同一函数;

表示同一函数; (2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+ 1 是同一函数; (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则
? ?1?? f?f?2??=0. ? ? ??

?1? ?1 ? ?1? 对于(4),由于 f?2?=?2-1?-?2?=0, ? ? ? ? ? ?

所以 f

? ? ?f ? ? ?

1 2

?? ??=f(0)=1. ??

综上可知,正确的判断是(2)(3).

(2)(3) 其中正确判断的序号是________.
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题型分类·深度剖析
题型一 函数的概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 有以下判断:
?1 ? |x| (1)f(x)= x 与 g(x)=? ?-1 ?

?x≥0? ?x<0?

表示同一函数; 函数的三要素:定义域、值域、对应关系.这三要素不是独立的,值 (2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 域可由定义域和对应关系唯一确定;因此当且仅当定义域和对应关系 的交点最多有 1 个; 都相同的函数才是同一函数.特别值得说明的是,对应关系是就效果 (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+ 而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中 1 是同一函数; 的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是 ? ?1?? 否相同)不是指形式上的.即对应关系是否相同,不能只看外形,要看 (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ?? 本质;若是用解析式表示的,要看化简后的形式才能正确判断. 其中正确判断的序号是________.
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题型分类·深度剖析

变式训练 1 下列各组函数中, 解析 A 中,g(x)=|x|,∴f(x)=g(x). B 中,f(x)=|x|,g(x)=x (x≥0), 表示同一函数的是 ( A ) ∴两函数的定义域不同. A.f(x)=|x|,g(x)= x
2

C 中,f(x)=x+1 (x≠1),g(x)=x+1, ∴两函数的定义域不同.

B.f(x)= x2,g(x)=( x)2 x2-1 C.f(x)= ,g(x)=x+1 x-1 D.f(x)= x+1· x-1, g(x)= x2-1
基础知识 题型分类

D 中, f(x)= x+1· x-1(x+1≥0 且 x-1≥0),f(x)的定义域为{x|x≥1};

g(x)= x2-1(x2-1≥0), g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1}. ∴两函数的定义域不同. 故选 A.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求函数的解析式
(1)已知
?2 ? f?x+1?=lg ? ?

【例 2】

x,

思维启迪

解析

探究提高

求 f(x); (2)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x) =2x+2,求 f(x)的解析式; (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x) 满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 求函数 f(x)的解析式.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 求函数的解析式
(1)已知
?2 ? f?x+1?=lg ? ?

【例 2】

x,

思维启迪

解析

探究提高

求 f(x); (2)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x) =2x+2,求 f(x)的解析式; (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x) 满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 求函数 f(x)的解析式.

求函数的解析式,要在理解函数 概念的基础上,寻求变量之间的 关系.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 求函数的解析式
(1)已知
?2 ? f?x+1?=lg ? ?

【例 2】

x,

思维启迪

解析

探究提高

求 f(x);


2 2 2 2 (1)令 t=x+1, x= 则 , ∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg (x>1). (2)设 y=f(x)是二次函数,方程 t-1 t-1 x-1

(2)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),则 f′(x)=2ax+b=2x+2, f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)

=2x+2,求 f(x)的解析式;

∴a=1,b=2,∴f(x)=x2+2x+c.

(3)定义在(-1,1)内的函数 f(x) 满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),

又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0,c=1,故 f(x)=x2+2x+1. (3)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1). ① ②

求函数 f(x)的解析式. 以-x 代替 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).
2 1 由①②消去 f(-x)得,f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3
基础知识 题型分类 思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 求函数的解析式
(1)已知
?2 ? f?x+1?=lg ? ?

【例 2】

x,

思维启迪

解析

探究提高

求 f(x); (2)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x) =2x+2,求 f(x)的解析式; (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x) 满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 求函数 f(x)的解析式.

函数解析式的求法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可 将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次 函数、二次函数),可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用 换元法,此时要注意新元的取值范围; ?1? (4)消去法:已知关于 f(x)与 f?x?或 f(-x)的表 ? ? 达式, 可根据已知条件再构造出另外一个等式 组成方程组,通过解方程组求出 f(x).

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思想方法

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变式训练 2 给出下列两个条件: (1)f( x+1)=x+2 x; (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出 f(x)的解析式.
解 (1)令 t= x+1,∴t≥1,x=(t-1)2. 则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,∴f(x)=x2-1 (x≥1).
(2)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 又 f(0)=c=3. ∴f(x)=ax2+bx+3,
∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3) =4ax+4a+2b=4x+2.
?4a=4 ? ∴? ?4a+2b=2 ? ?a=1 ? ,∴? ?b=-1 ?

,∴f(x)=x2-x+3.
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题型分类

题型分类·深度剖析
题型三 函数的定义域
思维启迪 解析

ln?x+1? 【例 3】 (1)函数 y= -x2-3x+4 的定义域为______________. (2)若函数 y=f(x)的定义域是 f?2x? [0,2], 则函数 g(x)= 的定义 x-1 域是 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] ( B.[0,1) D.(0,1) )

答案

探究提高

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题型分类·深度剖析
题型三 函数的定义域
思维启迪 解析 答案 探究提高

ln?x+1? 【例 3】 (1)函数 y= -x2-3x+4 的定义域为______________.

函数的定义域是使解析式有意义的
(2)若函数 y=f(x)的定义域是 f?2x? [0,2], 则函数 g(x)= 的定义 x-1 域是 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] ( B.[0,1) D.(0,1) )

自变量的取值集合;抽象函数的定 义域要注意自变量的取值和各个字 母的位置.

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题型三 函数的定义域
思维启迪 解析 答案 探究提高

ln?x+1? 【例 3】 (1)函数 y= -x2-3x+4 的定义域为______________. (2)若函数 y=f(x)的定义域是 f?2x? [0,2], 则函数 g(x)= 的定义 x-1 域是 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] ( B.[0,1) D.(0,1) )

?x+1>0 (1)由? , 2 ?-x -3x+4>0

得-1<x<1.

?0≤2x≤2, (2)依已知有? ?x-1≠0,
解之得 0≤x<1,定义域为[0,1).

故选 B.
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题型分类·深度剖析
题型三 函数的定义域
思维启迪 解析 答案 探究提高

ln?x+1? 【例 3】 (1)函数 y= -x2-3x+4

(-1,1) 的定义域为______________.
(2)若函数 y=f(x)的定义域是 f?2x? [0,2], 则函数 g(x)= 的定义 x-1 域是 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] ( B ) B.[0,1) D.(0,1)

?x+1>0 (1)由? , 2 ?-x -3x+4>0

得-1<x<1.

?0≤2x≤2, (2)依已知有? ?x-1≠0,
解之得 0≤x<1,定义域为[0,1).

故选 B.
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题型分类·深度剖析
题型三 函数的定义域
思维启迪 解析
答案 探究提高

ln?x+1? 【例 3】 (1)函数 y= -x2-3x+4

(1)求函数的定义域,其实质就是以 函数解析式所含运算有意义为准 则,列出不等式或不等式组,然后 求出它们的解集. (2)已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f[g(x)] 的 定 义 域 , 是 指 满 足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围,而已 知 f[g(x)]的定义域是[a, 指的是 b], x∈[a,b].

(-1,1) 的定义域为______________.
(2)若函数 y=f(x)的定义域是 f?2x? [0,2], 则函数 g(x)= 的定义 x-1 域是 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] ( B ) B.[0,1) D.(0,1)

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思想方法

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题型分类·深度剖析
x-4 变式训练 3 (1)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R, mx +4mx+3 ? 3? ?0, ? 4? 则实数 m 的取值范围是_______. ?
解析 f(x)的定义域为 R,即 mx2+4mx+3≠0 恒成立.
①当 m=0 时,符合条件.
②当 m≠0 时,Δ=(4m)2-4× 3<0, m× 3 即 m(4m-3)<0,∴0<m< . 4 ? 3? 综上所述,m 的取值范围是?0,4?. ? ?
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题型分类·深度剖析
变式训练 3 (2)已知 f(x)的定义域是[0,4],则 f(x+1)+
[1,3] f(x-1)的定义域是_______.

?0≤x+1≤4, 解析 由? 得 1≤x≤3. ?0≤x-1≤4
故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3].

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题型四 分段函数
思维启迪 解析 答案

【例 4】 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x)=
?log ?1-x?, ? 2 ? ?f?x-1?-f?x-2?, ?

探究提高

x≤0, x>0,

则 f(2 014)的值为_______.

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题型分类·深度剖析
题型四 分段函数
思维启迪 解析 答案

【例 4】 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x)=
?log ?1-x?, ? 2 ? ?f?x-1?-f?x-2?, ?

探究提高

注意到 2 014 较大,较难代入计算求出 值,所以可通过 x 取较小数值探究函数
x≤0, x>0,

f(x)值的规律性,再求 f(2 014).也可以 先用推理的方法得出 f(x)的规律性,再 求 f(2 014).

则 f(2 014)的值为_______.

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题型四 分段函数
思维启迪 解析 答案

【例 4】 定义在 R 上的函数 f(x)
解析 f(x)= 满足 方法一

探究提高

由已知得 f(-1)=log22=1,f(0)=log21=0,

f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=0, ?log ?1-x?, x≤0, ? 2 ? f(4)=f(3)-f(2)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0, ?f?x-1?-f?x-2?, x>0, ? f(7)=f(6)-f(5)=-1,f(8)=f(7)-f(6)=-1,?,

则 f(x)的值以 6 为周期重复出现,因此,f(2 014)=f(4)=1. 所以 f(2 014)的值为_______.
方法二 ∵x>0 时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1).

两式相加得 f(x+1)=-f(x-2),
∴f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),
∴f(x)的周期为 6. 因此,f(2 014)=f(6×335+4)=f(4)=1.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型四 分段函数
思维启迪 解析 答案

【例 4】 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x)=
?log ?1-x?, ? 2 ? ?f?x-1?-f?x-2?, ?

探究提高

x≤0, x>0,

1 则 f(2 014)的值为_______.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 分段函数
思维启迪 解析 答案

【例 4】 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x)=
?log ?1-x?, ? 2 ? ?f?x-1?-f?x-2?, ?

探究提高

求分段函数的函数值时,应根据所给自 变量的大小选择相应段的解析式求解, 有时每段交替使用求值.若给出函数值 求自变量的值,应根据每一段的解析式 分别求解,但要注意检验所求自变量值 是否符合相应段的自变量的取值范围.

x≤0, x>0,

1 则 f(2 014)的值为_______.

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思想方法

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题型分类·深度剖析

变式训练 4 设函数 f(x) 1 ?2-x,x≤2, 解析 当 x≤2 时,由 f(x)= , ? 4 =? 则满足 ?log81x,x>2, ? 1 -x 得 2 = .解得 x=2. 1 4 f(x)= 的 x 值为 ( C ) 4 1 当 x>2 时,由 f(x)= , 4 A.2 B.3 1 得 log81x= ,解得 x=3. 4 C.2 或 3 D.-2

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 3.分段函数意义理解不清致误
?x2+bx+c?x≤0? ? f(x)=? ?2 ?x>0? ?

典例: 分)设函数 (12

, f(-2)=f(0), 若 f(-1)=-3,

求关于 x 的方程 f(x)=x 的解.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

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思想方法

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题型分类·深度剖析
易错警示 3.分段函数意义理解不清致误
?x2+bx+c?x≤0? ? f(x)=? ?2 ?x>0? ?

典例: 分)设函数 (12

, f(-2)=f(0), 若 f(-1)=-3,

求关于 x 的方程 f(x)=x 的解.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)条件中 f(-2), f(0), f(-1)所适合的解析式是 f(x)=x2+bx+c.所以可 构建方程组求出 b,c 的值. (2)在方程 f(x)=x 中,f(x)用哪个解析式,要进行分类讨论,不能忽视自 变量的限制条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 3.分段函数意义理解不清致误
?x2+bx+c?x≤0? ? f(x)=? ?2 ?x>0? ?

典例: 分)设函数 (12

, f(-2)=f(0), 若 f(-1)=-3,

求关于 x 的方程 f(x)=x 的解.

规 范 解 答 易 错 分 析 温 馨 提 醒 解 当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c,因为 f(-2)=f(0),f(-1)=-3, ??-2?2-2b+c=c ?b=2, 4分 ∴? ,解得? 2 ??-1? -b+c=-3 ?c=-2, ?x2+2x-2?x≤0?, ? 6分 ∴f(x)=? ?2 ?x>0?. ? 8分 当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+2x-2=x, 得 x=-2 或 x=1.由 x=1>0,所以舍去.

当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2, 所以方程 f(x)=x 的解为-2、2.
基础知识 题型分类 思想方法

10分 12分

练出高分

题型分类·深度剖析 题型分类·深度剖析
易错警示 3.分段函数意义理解不清致误
?x2+bx+c?x≤0? ? f(x)=? ?2 ?x>0? ?

典例: 分)设函数 (12

, f(-2)=f(0), 若 f(-1)=-3,

求关于 x 的方程 f(x)=x 的解.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)对于分段函数问题是高考的热点.在解决分段函数问题时,要注意 自变量的限制条件. (2)就本题而言,当 x≤0 时,由 f(x)=x 得出两个 x 值,但其中的 x=1 不符合要求,应舍去此值,勿导致增解.分段函数问题分段求解,但 一定注意各段的限制条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1. 在判断两个函数是否为同一函数时, 要紧扣两点: 一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同.

方 法 与 技 巧 失 误 与 防 范
基础知识

2.定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础 依据, 对函数性质的讨论, 必须在定义域上进行. 3.函数的解析式的几种常用求法:待定系数法、换
元法、配凑法、消去法.
4.分段函数问题要分段求解.
求分段函数应注意的问题: 在求分段函数的值 f(x0)时, 一定要首先判断 x0 属于定义域 的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的值域 应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1 1.(2012· 山东)函数 f(x)= + 4-x2的定义域为 ln?x+1? ( A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2]
解 析

)

B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2]

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1 1.(2012· 山东)函数 f(x)= + 4-x2的定义域为 ln?x+1? ( B ) A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2]
解 析
?x+1>0, ? 由?ln?x+1?≠0, ? 4-x2≥0 ?
基础知识

B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2]

得-1<x≤2,且 x≠0.

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

?x2+1,x≤1, ? 2.(2012· 江西)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3)) ?x,x>1, ? 等于 1 A. 5 ( B.3 2 C. 3 13 D. 9 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

?x2+1,x≤1, ? 2.(2012· 江西)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3)) ?x,x>1, ? 等于 1 A. 5 ( D ) B.3 2 C. 3 13 D. 9

解 析
2 ?2? ?2?2 13 ? ?=? ? +1= , 由题意知 f(3)= ,f 3 3 ? ? ?3? 9 ?2? 13 ∴f(f(3))=f?3?= . 9 ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于 ( A.-2x+1 C.2x-3 B.2x-1 D.2x+7

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于 ( D ) A.-2x+1 C.2x-3 B.2x-1 D.2x+7

解 析
由 g(x)=2x+3,知 f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

4.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图象可能是 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

4.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图象可能是 ( B )

解 析
可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到 答案.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5.已知 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1) =________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5.已知 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1)

6 =________. 解 析
?12+p+q=0 由 f(1)=f(2)=0,得? 2 , ?2 +2p+q=0
?p=-3 ? ∴? ?q=2 ?

,∴f(x)=x2-3x+2.

∴f(-1)=(-1)2+3+2=6.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.已知

?1-x? 1-x2 ? ? f? = ,则 1+x? 1+x2 ? ?

f(x)的解析式为______________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.已知

?1-x? 1-x2 ? ? f? = ,则 1+x? 1+x2 ? ?

2x f(x)= ( x≠-1) f(x)的解析式为______________. 1+x2

解 析
1-x 1-t 令 t= ,由此得 x= , 1+x 1+t
?1-t? ? ?2 1-? 1+t? 2t ? ? f(t)= = 2, ?1-t? 1+t ? ?2 1+? 1+t? ? ?

所以

2x 从而 f(x)的解析式为 f(x)= (x≠- 1). 1+x2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7.若函数 f(x)= 2

x 2 ? 2 ax ? a

? 1的定义域为 R,则 a 的取

值范围为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7.若函数 f(x)= 2

x 2 ? 2 ax ? a

? 1的定义域为 R,则 a 的取

[-1,0] 值范围为________. 解 析
由题意知 2
x 2 ? 2 ax ? a ?1

≥0 恒成立.

∴x2+2ax-a≥0 恒成立, ∴Δ=4a2+4a≤0,∴-1≤a≤0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

8.(10 分)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1. 求函数 f(x)的解析式.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

8.(10 分)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1. 求函数 f(x)的解析式.

解 析
解 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),又 f(0)=0, ∴c=0,即 f(x)=ax2+bx. 又 f(x+1)=f(x)+x+1.
∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1, ? 1 ?a=2 ?2a+b=b+1 1 1 ∴? ,解得? .∴f(x)= x2+ x. 2 2 ?a+b=1 ?b=1 2 ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

9.(12 分)记 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 2 g(x)= 1- 的定义域为集合 N,求: x-1 (1)集合 M、N;(2)集合 M∩N,M∪N.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

9.(12 分)记 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 2 g(x)= 1- 的定义域为集合 N,求: x-1 (1)集合 M、N;(2)集合 M∩N,M∪N.

解 析

? 3? ? ? ?x|x> ?, (1)M={x|2x-3>0}=? 2? ? ?

? ? 2 ? ? N=?x|1-x-1≥0?={x|x≥3 ? ? ? ?

或 x<1};

3 (2)M∩N={x|x≥3},M∪N={x|x<1 或 x> }. 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

?x? ?2? 2+x 1.设 f(x)=lg ,则 f?2?+f?x?的定义域为 2-x ? ? ? ?

(

)

A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2)

B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

?x? ?2? 2+x 1.设 f(x)=lg ,则 f?2?+f?x?的定义域为 2-x ? ? ? ?

( B )

A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2)

B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4)

解 析
2+x ∵ >0,∴-2<x<2. 2-x x 2 ∴-2< <2 且-2<x<2, 2 2 取 x=1,则x=2 不合题意(舍去),
故排除 A,取 x=2,满足题意,排除 C、D,故选 B.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

2.(2011· 福建)已知函数

?2x,x>0, ? f(x)=? ?x+1,x≤0, ?

若 f(a)+ ( )

f(1)=0,则实数 a 的值等于 A.-3 B.-1 C.1

D.3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

2.(2011· 福建)已知函数

?2x,x>0, ? f(x)=? ?x+1,x≤0, ?

若 f(a)+ ( A )

f(1)=0,则实数 a 的值等于 A.-3 B.-1 C.1

D.3

解 析
由题意知 f(1)=21=2.∵f(a)+f(1)=0,
∴f(a)+2=0.
①当 a>0 时,f(a)=2a,2a+2=0 无解;

②当 a≤0 时,f(a)=a+1,
∴a+1+2=0,∴a=-3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

3.设

?x2,|x|≥1, ? f(x)=? ?x,|x|<1, ?

g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值 ( )

域是[0,+∞),则 g(x)的值域是 C.[0,+∞) D.[1,+∞)

A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

3.设

?x2,|x|≥1, ? f(x)=? ?x,|x|<1, ?

g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值 ( C )

域是[0,+∞),则 g(x)的值域是 C.[0,+∞) D.[1,+∞)

A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞)

解 析
f(x)的图象如图.
g(x)是二次函数,且 f(g(x))的值域是 [0,+∞), ∴g(x)的值域是[0,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

4 . (2012· 苏 ) 函 数 f(x) = 1-2log6x 的 定 义 域 为 江 ________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

4 . (2012· 苏 ) 函 数 f(x) = 1-2log6x 的 定 义 域 为 江
(0, 6] ________.

解 析
要使函数 f(x)= 1-2log6x有意义,

?x>0, 则? ?1-2log6x≥0.
解得 0<x≤ 6.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

5.对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b= ?a ?a≤b? ? ? ,则函数 f(x)= log 1 (3x-2)*log2x 的值 ?b ?a>b? 2 ? 域为___________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

5.对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b= ?a ?a≤b? ? ? ,则函数 f(x)= log 1 (3x-2)*log2x 的值 ?b ?a>b? 2 ?

(-∞,0] 域为___________.
? ?log2 1 ?x≥1? 3x-2 ? 1 f(x)=log2 *log2x=? . 3x-2 2 ? ? <x<1? ?log2x 3 ? 1 2 2 ∴当 x≥1 时, ≤1, f(x)≤0; <x<1 时, 2 <f(x)<0. 当 log 3 3 3x-2 ∴f(x)的值域为(-∞,0].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

6. (2011· 江苏)已知实数 a≠0, 函数

?2x+a,x<1, ? f(x)=? ?-x-2a,x≥1. ?

若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为______.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

6. (2011· 江苏)已知实数 a≠0, 函数

3 - 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为______. 4

?2x+a,x<1, ? f(x)=? ?-x-2a,x≥1. ?

解 析
当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,所以 f(1-a)=-(1-a)-2a =-1-a;f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 3 因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,所以 a=- . 4
当 a>0 时,1-a<1,1+a>1,所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2 -a;f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 3 因为 f(1-a)=f(1+a),所以 2-a=-3a-1,所以 a=- 2 3 (舍去).综上,满足条件的 a 的值为- . 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2
2

专项能力提升
4
5

3

6

7

7.(13 分)已知 f(x)=x

?x-1,x>0 ? -1,g(x)=? ?2-x,x<0 ?

.

(1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2
2

专项能力提升
4
5

3

6

7

7.(13 分)已知 f(x)=x

?x-1,x>0 ? -1,g(x)=? ?2-x,x<0 ?

.

(1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式.

解 析

解 (1)∵g(2)=1,∴f(g(2))=f(1)=0, ∵f(2)=3,∴g(f(2))=g(3)=2. ??x-1?2-1, x>0 ? 2 (2)f(g(x))=(g(x)) -1=? . ??2-x?2-1, x<0 ? ?x2-2x,x>0 ? ∴f(g(x))=? 2 . ?x -4x+3,x<0 ? ?f?x?-1,f?x?>0 ??x2-1?-1,x2-1>0 ? ? g(f(x))=? =? . ?2-f?x?,f?x?<0 ?2-?x2-1?,x2-1<0 ? ?
?x2-2,x>1或x<-1 ? ∴g(f(x))=? ?3-x2,-1<x<1. ?

基础知识

题型分类

思想方法

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