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2015届高考数学总复习第五章 第六节数列的综合问题精讲课件 文


第五章 第六节 数列的综合问题 等差、等比数列知识的综合 【例1】 设 {an}是公比不为 1的等比数列,其前 n 项和为 Sn , 且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列. 自主解答: (1)解析:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1), 由a5,a3,a4成等差数列,得2a3=a5+a4, 即2a1q2=a1q4+a1q3,由a1≠0,q≠0,得q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2. (2)证明:(法一)对任意k∈N+, Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)=ak+1+ak+2+ ak+1=2ak+1+ak+1· (-2)=0, 所以,对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列. 因此,对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列. 点评:求解等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、 等比数列的通项及前 n 项和;分析等差、等比数列项之间 的关系,根据已知条件列出正确的方程或者方程组,求出 数列的基本量,这样过程往往用到转化与化归的思想方 法. 变式探究 1 . (2013· 韶关二模文改编 ) 已知各项均为正数的等比数 列{an}的首项a1=2,Sn为其前n项和,若5S1,S3,3S2成等差数 列,则数列{an}的通项公式是______________. 解析:(1)由点(n,Sn)在曲线f(x)=x2-4x上(x∈N*)知Sn=n2 -4n,当n≥2时an=Sn-Sn-1=n2-4n-=2n-5;当n=1 时,a1 =S1 =- 3,满足上式. ∴数列 {an} 的通项公式为 an =2n-5. (2)由bn=(an+5)· 2n-1得bn=n· 2n, ∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)· 2n-1+n· 2n.① 上式两边乘以2,得2Tn=1×22+2×23+3×24+… +(n-1)· 2n+n· 2n+1,② ①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n· 2n+1, ∴-Tn= -n· 2n+1,即Tn=(n-1)· 2n+1+2. 数列与函数知识的综合 【例2】 (2012· 肇庆二模)数列{an}的前n项和记为Sn,点(n, Sn)在曲线f(x)=x2-4x上(x∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(an+5)· 2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn. 自主解答: 解析:(1)因为5S1,S3,3S2成等差数列, 所以2S3=5S1+3S2, 即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q), 化简得 2q2-q-6=0, 解得:q=2或q=- , 因为数列{an}的各项均为正数,所以q=- 不合题意, 所以{an}的通项公式为:an=2n. 答案:an=2n 点评: 数列与函数的综合问题,一般是通过研究函数的性质、 图象进而解决数列问题. 变式探究 2.(2013· 杭州名校模考 )如图所示,设曲线y= 上的点与x轴 上的点顺次构成等腰直角三角形:△OB1A1,△A1B2A2,…,直 角顶点在曲线y= 上.设An的坐标为(an,0),A0为原点. (1)求a1,并求出an和an-1(n∈N*)之间的关系式; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设bn= (n∈N*), 求数列{bn}的前n项和Sn. 数列与不等式的综合 【例 3】 (201

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