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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列课件2 北师大版必修5


数列

堆放的钢管 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

正整数的的倒数:

1,

1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5

?

2精确到1, 0.1,0.01,0.001, ?的值:

1, 1.4, 1.41,1.414, …,
-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…排成的一列数:

-1, 1,-1, 1, -1, 1, …
1,1,1,1,1,1,…

无穷多个1排成的一列数:

数列的定义 按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的各项依次叫做这个数列的
第1项(或首项)用 a1 表示,

第n项用 an 表示, 第2项用 a2 表示,
数列的一般形式可以写成:

a1 , a2 , a3 , …,a , …, n 简记作: ?an ?

通项公式
例如,数列 1,

1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5

?

?1 ? 可以简记为: ? ? ?n?

例如,数列1,2,3,4,5,6,… 可以简记为: n

??
? ?

例如,数列2,4,6,8,10,12,… 可以简记为:2n

通项公式 例如,数列1,3,5,7,9,11,… 可以简记为: ?2n ? 1? 例如,数列1,10,100,1000,… 可以简记为: 10 n ?1

?

?
?

例如,数列1,-1,1,-1,1,-1,…
可以简记为: ( ?1) n ?1 可以简记为: ?5n?

?

例如,数列5,10,15,20,25,…

通项公式
如果数列 ?an ? 的第n项 an 与n之间的关系可以用一个公

式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。 1. 数列 4,5,6,7,8,9,10.的通项公式是:

an ? n ? 3 (n≤7)
2. 数列 2,4,6,8,… 的通项公式是:

an ? 2n
3. 数列 1,4,7,10,… 的通项公式是:

an ? 3n ? 2

实质:从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个 定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n}) 的函数,当自变量从小到大依 次取值时对应的一列 函数值。

y=f(x)
函数值
自变量

an ? n
通项公式

通项公式: a n与 n之间的函数关系式,通项公 式即相应的函数解析式

注意: (1).不是每一个数列都能写出其通项公式 (如数列3) (2).数列的通项公式不唯一

1. 数列 4,5,6,7,8,9,10.的图象 ● 10 ● 9 8 7 6 5 4
● ● ● ● ●

数列的图象表示

3 2
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. 数列 10 9 8 7 6 5 4


8, 4, 2, 1,

1 , 2

?,

的图象



3 2
1 1 2

● ●





3

4

5

6

7

8

9

10

有穷数列、无穷数列
项数有限的数列叫做有穷数列。 例如:数列 4,5,6,7,8,9,10.

项数无限的数列叫做无穷数列。
例如:数列

1,

1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5

?

按项的大小分: 递增数列 —— a n <a n + 1 递减数列 —— a n >a n + 1

常数列 : a n = a n + 1

摆动数列 : a n -1 <a n 且 a n >a n + 1

数列的例题1

例1 根据数列 ?an ? 的通项公式,写出它的前5项。 n n (1) an ? ( 2) an ? ( ?1) ? n n ?1

1 2 3 4 5 , , . (1) , , 2 3 4 5 6
(2)-1,2,-3,4,-5

数列的例题2

写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
2 2 ? 1 32 ? 1 4 2 ? 1 5 2 ? 1 (2) , , , ; 2 3 4 5
1 1 1 1 (3 ) ? , , ? , ; 1? 2 2 ? 3 3? 4 4 ?5

( 1 ) 1 , 3 , 5 , 7;

( ?1) 2 ? 1 ( ?1) 3 ? 1 ( ?1) 4 ? 1 ( ?1) 5 ? 1 (4) , , , ; 2 2 2 2

an ? 2n ? 1
(?1) n an ? n(n ? 1)

(n ? 1) 2 ? 1 n(n ? 2) an ? ? n ?1 n ?1

(?1) n ?1 ? 1 an ? 2

? 0(n为奇数) an ? ? 1 n为偶数) ??(

例3 已知数列 ?an ? 的第1项是1,以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项。 1
an ? 1 ? an ?1

数列的例题3

a1 ? 1
1 1 3 a3 ? 1 ? ? 1 ? ? a2 2 2

1 1 a2 ? 1 ? ? 1? ? 2 a1 1

1 2 5 a4 ? 1 ? ? 1 ? ? a3 3 3

1 3 8 a5 ? 1 ? ? 1? ? a4 5 5

练习1

数列练习1 根据数列 ?an ? 的通项公式,写出它的前5项。

(2)an ? 10n ? 10,20,30,40,50.

(1)an ? n 2 ? 1,4,9,16,25.
n ?1

(3)an ? 5 ? (?1)
2n ? 1 ( 4) a n ? 2 n ?1

? 5,-5,5,-5,5.
7 9 3 , , , 1, 10 17 2 11 , 26

?

数列练习2

1 1 ? a ? 1 a10 ? 7 (1) an ? 3 343 1000 n ( 2) an ? n( n ? 2)? a7 ? 63 a10 ? 120

根据数列 ?an ? 的通项公式,写出它的第7项与第10项。

( ?1) (3) an ? n
n

n ?1

?

1 a7 ? 7

1 a10 ? ? 10

( 4) an ? ?2 ? 3 ?a7 ? ?125 a10 ? ?1021

数列练习3
练习3 写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

1 1 1 1 (1) ? , ,? , ; 2 4 8 16

?

( ?1) n an ? n 2

1 1 1 1 1 1 1 (2)1 ? , ? , ? , ? ; 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 ? an ? n ? n ? 1 ? n(n ? 1)

数列练习4
例4 观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出 一个通项公式. (1) 2,4,( 6 ),8,10, ( 12 ),14. (2) 2,4,( 8 ),16,32,( 64 ),128,( 256 ) (3) ( 1 ),4,9,16,25,( 36 ),49. (4) ( 5 ),4,3,2,1,( 0 ),-1,( -2 ). (5) 1, 2 ,( 3 ),2,

5 ,( 6 ), (

7)

练习5 根据数列?an ? 的通项公式,写出它的前5项。

数列练习5

1.a1 ? 5, an?1 ? an ? 3. 5,8,11,14,17 2.a1 ? 2, an?1 ? 2an
2,4,8,16,32

3.a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an
3,6,3,-3,-6

1 4.a1 ? 1, an?1 ? an ? an

1,2,5/2,29/10,941/290



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