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立体几何基础训练(含答案)


立体几何完全作业
1.利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是__________.(写出所有正确的序号) ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观 图是正方形;④圆的直观图是椭圆;⑤菱形的直观图是菱形. 2.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 ________. 3.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入 所有可能的几何体前的编号). ①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥; ⑥圆柱. 4.以下命题: ①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥; ②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱; ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; ④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台. 其中正确的命题序号是________. 5.(2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

6. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的 侧视图可能为 ( )

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7. 如图所示,直观图四边形 A′B′C′D′ 是一个底角为 45° ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么 原平面图形的面积是________. 8. 如图所示,在棱长为 4 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是 1 A1B1 上一点,且 PB1= A1B1,则多面体 P—BCC1B1 的体积为________. 4 9.(2011· 上海)若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为 3,3,2 的三角形,则该圆锥的侧面积为________. 10.一个几何体的三视图如图所示,这个几何体的体积是 ( )

25 A. π 3

34 B. π 3

16 C.3+ π 3

16 D.12+ π 3 ( )

11.(2011· 浙江)若直线 l 不平行于平面 α,且 l ? α,则 A.α 内的所有直线与 l 异面 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 12.已知不重合的直线 a,b 和平面 α, ①若 a∥α,b?α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b?α,则 a∥α; ④若 a∥b,a∥α,则 b∥α 或 b?α. 上面命题中正确的是________(填序号). 13.给出下列五个命题: B.α 内不存在与 l 平行的直线 D.α 内的直线与 l 都相交

①若一条直线与一个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行; ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行,则这条直线与这个平面平行; ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平

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行; ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行; ⑤若一条直线与一个平面平行,则这条直线与这个平面内的无数多条直线平行. 其中正确命题的序号是__________. 14.已知平面 α∥平面 β,直线 a?α,有下列说法: ①a 与 β 内的所有直线平行;②a 与 β 内无数条直线平行;③a 与 β 内的任意一条直 线都不垂直.其中真命题的序号是________. 15.直线 a 不平行于平面 α,则下列结论成立的是 A.α 内的所有直线都与 a 异面 C.α 内的直线都与 a 相交 ( B.α 内不存在与 a 平行的直线 D.直线 a 与平面 α 有公共点 )

16.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的位置 关系是 A.l∥α B.l⊥α C.l 与 α 相交但不垂直 ( )

D.l∥α 或 l?α

17. m、n 是空间中两条不同直线,α、β 是两个不同平面,下面有四个命题: ①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n;②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β. 其中,所有真命题的编号是________. 18. 已知平面 α⊥β,α∩β=l,P 是空间一点,且 P 到平面 α、β 的距离分别是 1、2,则点 P 到 l 的距离为________. 19.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 α∥β,m?α,则 m∥β;②若 m∥α,n?α,则 m∥n; ③若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β;④若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β. 其中为真命题的是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ ( )

20. 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 BCE.

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21. 如图所示,已知 ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体, 点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,G 在 BB1 上, 且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点. (1)求证:E、B、F、D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F.

22. 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面 ABE.

23. 如图所示,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,四边形 ABCD 是∠DAB=60° 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 为正三角形,其所在平面 垂直于底面 ABCD.若 G 为 AD 边的中点, 求证:BG⊥平面 PAD.

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24. (2011· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

25.如图,三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=60° , PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点. (1)求异面直线 AE 和 PB 所成的角的余弦值; (2)求三棱锥 A—EBC 的体积.

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参考答案
1.①②④ 7. 2+2 13.③⑤ 2.60° 16 8.. 3 14.② 15.D 3.①②③⑤ 9.3π 16.D 4.③ 10.D 17.①④ 5.D 11.B 18. 5 6.B 12.④ 19.C

20.证明 如图所示. 作 PM∥AB 交 BE 于 M, 作 QN∥AB 交 BC 于 N, 连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB, ∴AE=BD. 又 AP=DQ,∴PE=QB, 又 PM∥AB∥QN, ∴ PM PE QB QN BQ PM QN = = , = ,∴ = , AB AE BD DC BD AB DC

∴PM 綊 QN,即四边形 PMNQ 为平行四边形,∴PQ∥MN. 又 MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE. 21.证明 (1)连接 FG.

∵AE=B1G=1, ∴BG=A1E=2, ∴BG∥A1E,且 BG=A1E ∴A1G∥BE. 又∵C1F=B1G,且 C1F∥B1G ∴四边形 C1FGB1 是平行四边形, ∴FG∥C1B1∥D1A1,且 FG=C1B1=D1A1 ∴四边形 A1GFD1 是平行四边形. ∴A1G∥D1F,∴D1F∥EB,故 E、B、F、D1 四点共面. (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG.

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∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E, ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 22.证明 (1)由四棱锥 P—ABCD 中,

∵PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE?平面 PAC,∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60° , 可得 AC=PA.∵E 是 PC 的中点, ∴AE⊥PC. 由(1),知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD?平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE. 23.证明 连接 PG,BD, ∵△PAD 为正三角形,G 是 AD 的中点, ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PG⊥平面 ABCD. ∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60° , ∴△ABD 是正三角形.∴BG⊥AD. 又 AD∩PG=G,∴BG⊥平面 PAD. 24.证明 (1)如图,在△PAD 中,

因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点, 所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正三角形.
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因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD, BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面 PAD. 25.(1)取 BC 的中点 F,连接 EF,AF,则 EF∥PB, 所以∠AEF 就是异面直线 AE 和 PB 所成角或其补角. ∵∠BAC=60° ,PA=AB=AC=2, PA⊥平面 ABC, ∴AF= 3,AE= 2,EF= 2, 2+2-3 1 cos∠AEF= = . 2× 2× 2 4 1 (2)因为 E 是 PC 中点,所以 E 到平面 ABC 的距离为 PA=1, 2 1 3 3 VA—EBC=VE—ABC= × ×4×1= . 3 4 3

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