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2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示 2.3.2空间向量基本定理 教案(北师大版选修2-1)


§ 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理 ●三维目标 1.知识与技能 (1)了解空间向量基本定理及其意义. (2)掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示. (3)会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量. (4)掌握空间向量长度与夹角的坐标表示. 2.过程与方法 从向量的几何表示到坐标表示,体

会向量的几何和代数的双重特点. 3.情感、态度与价值观 从空间向量的正交分解到空间向量基本定理,体会从特殊到一般的辩证唯物主义观点. ●重点难点 重点:空间向量的正交分解与坐标表示. 难点:向量坐标的确定及空间向量基本定理. 空间向量的标准正交分解与空间向量基本定理是在平面向量的正交分解与平面向量基 本定理的基础上,增加了一维,在学习本节内容时,一要进行类比;二要增强空间意识,最 好借助长方体这个模型来理解有关规律. (教师用书独具) ●教学建议 在前面必修 4 中已学习了平面向量基本定理, 所以将其拓展到空间引出空间共线向量定 理是比较自然的;对于空间向量基本定理,有些学生只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本 质的理解,所以在教学中教师要不断地帮助学生进行反思,这也是改善学生的思维品质,提 升学生的数学能力的一个途径,这一过程是隐性的、长期的,但也是必须的. ●教学流程 创设情境,引出问题:如何用坐标表示空间向量类比,平面向量的 坐标表示空间向量的坐标表示类比,平面向量 基本定理空间向量 基本定理― →通过例题探究用基底表示空间向量的方法― →通过变式领会空间向量基本 定理中唯一性的应用― →归纳总结,形 成 整 体 认 识 课标解读 2.掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表 示,会求向量的坐标.(重点) 3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个 不共面的向量来表示,能够在具体问题中适 当地选取基底.(难点) 1.了解空间向量基本定理及其意义.(重点) 空间向量的标准正交分解与坐 标表示 【问题导思】 → 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=x,AD=y,AA1=z,e1、e2、e3 分别是AB、 → → → AD、AA1的单位向量,试用向量 e1、e2、e3 表示向量AC1. → → → → 【提示】 AC1=AB+BC+CC1=xe1+ye2+ze3. 空间向量的标准正交分解与坐标表示 在给定的空间直角坐标系中,i,j,k 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向上的单位向量,对 于空间任意向量 a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得 a=xi+yj+zk.我们把 a=xi +yj+zk 叫作 a 的标准正交分解,把 i,j,k 叫作标准正交基. (x,y,z)叫作空间向量 a 的坐标,记作 a=(x,y,z),a=(x,y,z)叫作向量 a 的坐标 表示. → 在空间直角坐标系中,点 P 的坐标为(x,y,z),向量OP的坐标也是(x,y,z). 投影 【问题导思】 1.在平面向量中,向量 a 在向量 b 方向上的投影如何求? 【提示】 |a|cos〈a,b〉或 a· b . |b| 2.在平面向量中,非零向量 a 在向量 b 方向上的投影与向量 b 在向量 a 方向上的投影 相等吗? 【提示】 当|a|=|b|或 a⊥b 时,相等;当|a|≠|b|且 a 不垂直于 b 时,不相等. (1)一般地,若 b0 为 b 的单位向量,称 a· b0=|a|cos〈a,b〉为向量 a 在向量 b 上的投 影. 如图 2-3-1

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