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湖北省黄冈市2014届高三数学上学期期末考试试题 理


湖北省黄冈市 2014 届高三数学上学期期末考试试题 理 (扫描版) 新 人教 A 版

1

2

3

4

高三数学(理)期末考试试题答案 一、选择题:CBBCA 二、填空题: 11、 S1 ? S2 ADCAC

12、 12

/>13、 16

14、 3 ? a ? 5

15、

3 2

16、 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

a ? 6a2 ? 2 ? a2 q ? 7 ? a2 ? 2 ? q ?6a2 ? a1 ? 3 ? a3 ? 4 ? ? ?? 17.解答: (1)由已知条件得 ? ?? 1 q ? 2或 ? a1 ? a2 ? a3 ? 7 ? ? a 2 ? a2 q ? a2 ? 7 ? 2 ? q ?
1 ? ? q?2 ? q? 或? ?? 2 ……………………6 分 n ?1 3? n ?an ? 2 ? ? an ? 2
(2)若 ?an ? 是递增数列,则 an?1 ? 2n , bn ? n ? 7 当 1 ? n ? 7 时, b1 ? b2 ? ? ? bn ?
n

??7 ? i ? ?
i ?1 7 i ?1

n

n ?13 ? n ? ; 2 n ? n ? 13? ? 42 2

当 n ? 7 时, b1 ? b2 ? ? ? bn ?

? ? i ? 7 ? ? 2? ? 7 ? i ? ?
i ?1

? n ?13 ? n ? ,1 ? n ? 7 ? ? 2 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? n ? n ? 13? ? 42, n ? 7 ? ? 2
18、解答: (1) f ( x ) ? ? 2 sin ? 2 x ?

………12 分

? ?

??

2 ? ? 6sin x cos x ? 2cos x 4?

?? ? ? 2 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?
所以,函数 f ( x ) 的 T ? ? (2)? f ? A ?

……………………4 分

……………………6 分

? ?

??

5 ? ? 2 2 sin B ? 1 ? 8? 3

? sin B ?

cos B ? 1 6 2 2 1 ,cos B ? ,? cos A ? ? 3 3 2 3

5

?

a b sin A b ? ?a ? ?b ? ?3 sin A sin B sin B 2 cos A

……………12 分

19.【答案】解:(1)由题意可知,样本均值 x ?

18 ? 19 ? 21 ? 22 ? 28 ? 30 ? 23 ………4 分 6

(2)? 样本中成绩高于样本均值的同学共有 2 名,

? 可以估计该小组 12 名同学中优秀同学的人数为: 12 ?
2 (3)? 从该小组 12 名同学中,任取 2 人有 C12 ? 66 种方法, 1 1 而恰有 1 名优秀同学有 C10 C2 ? 20
1 1 C10 C2 20 10 ? ? 2 C12 66 33

2 ?4 6

……………8 分

? 所求的概率为: P ?

………………………12 分

20、解: (1)? ? A , ?

3 2

1 ?A 2

?


3 1 ? 2 ? a, ? ? 2 ? a , 2 2
1 5 ?a? 2 2
……………………2 分

? x ? 1 ? x ? 3 ? ? x ? 1? ? ? x ? 3? ? 2

1 ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ??2 ? a ? 1 ,? ? a ? 1 2 又 a ?N ? a ? 1 ……………………6 分 1 5 (2)? ? a ? 2 2

?

b a?b b b b 2 3 ?1 1 b a 1 a ……9 分 ? ? ? ? ? ? ?? ?2 ? ? 3b a 3b a 3b 3b a 3 3b a 3

? 3 a? ? ? b?0 ? 3 ? 1 时上式取等号 当且仅当 ? 2 ,即 ? 2 ?a ? 3b ?b ? ? 1 ? 3 ?1 ?
又?

1 3 3? 3 5 ? ? ? 2 2 2 3 ?1
b 3? 3 2 3 ?1 1 ,取最小值时 a ? ? 的最小值是 3 2 3b a
………………12 分

所以,

6

其他求法可参照给分. 21、解答:(1)直线 MN : y ? x ? 2 ,设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ?

?y ? x?2 ? x2 ? ? 4 ? 2 p ? x ? 4 ? 0 ? 2 ? y ? 2 px
? x1 ? x2 ? 4 ? 2 p, x1x2 ? 4
? MN ? 1 ? k12 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 1 ? 12 ?

?4 ? 2 p?

2

? 4?4

? 2 ? 4 p 2 ? 16 p ? 4 6

?p?0 ?p ? 2
……………………4 分

(2)设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ?x3 , y3 ?,Q ?x4 , y4 ? 则直线 MD 的方程为: x ?

x1 ? n y ? n ,代入抛物线方程 y 2 ? 2 px , y1

整理得, y 2 ?

2 p ? x1 ? n ? y ? 2 pn ? 0 y1
2 pn y1

? y1 y3 ? ?2 pn ,即 y3 ? ?

从而 x3 ?

? 2 pn 2 2 pn ? 2 pn 2 ,故点 P ? 2 ,? ? y12 y1 ? ? y1 ? 2 pn 2 2 pn ? ,? ? 2 y2 ? ? y2
……………………8 分

同理,点 Q ?

? M , E , N 三点共线

?

y1 y2 ? x1 ? m x2 ? m

? x2 y1 ? y1m ? x1 y2 ? my2

2 y2 y2 y1 ? 1 y2 ? m ? y1 ? y2 ? 2p 2p

整理得 y1 y2 ? ?2mp

7

2 pn 2 pn ? y y ? y ? y ? ?2mp ? y2 ? y1 ? y 4 ? y3 y2 y1 ? ? 1 2 2 2 21 ? 所以, k2 ? 2 2 2 pn x4 ? x3 2 pn n ? 2 px1 ? 2 px2 ? n ? y1 ? y2 ? ? 2 2 y2 y1 ?

?

m ? y2 ? y1 ? m ? k1 n ? x2 ? x1 ? n
…………………………………………13 分

即? ?

k2 m ? k1 n

22、解答: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x x ? ln( x ? 1), x ? ?1 当 x ? ? ?1,0? 时, f ( x) ? ? x ? ln( x ? 1) ,
2

f ?( x ) ? ?2 x ?

1 2 x2 ? 2 x ? 1 ?? ?0, x ?1 x ?1

? f ( x ) 在 ? ?1,0? 上是减函数;当 x ? ? 0, ??? 时, f ( x) ? x 2 ? ln( x ? 1) ,

f ?( x ) ? 2 x ?

1 2 x2 ? 2 x ? 1 3 ?1 ? ,令 f ?( x ) ? 0 得, x ? , x ?1 x ?1 2

? ? 3 ?1 ? 3 ?1? , ?? ? 上单增 ? f ( x ) 在 ? 0, ? 上单减,在 ? 2 ? ? ? 2 ?
综上得, f ( x ) 的单减区间是 ? ?1,

? ?

? 3 ?1 ? 3 ?1? , ?? ? . ……………4 分 ? ,单增区间是 ? 2 ? ? 2 ?

2 (2)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x x ? 1 ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? ln ? x ? 1?

??x ??0, ??? , x2 ? x ? ln ? x ? 1? ? ? k ? 1? x2
即 kx ? x ? ln ? x ? 1? ? 0 ,设 g ? x ? ? kx ? x ? ln ? x ? 1? , x ? 0 ……5 分
2

2

当 k ? 0 时, g (1) ? ?1 ? ln 2 ? 0 ,不合题意;…………6 分

1 ?? ? ? 2kx ? x ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 2k ? ? ? 当 k ? 0 时, g ?( x ) ? 2kx ? 1 ? x ?1 x ?1
令 g ?( x ) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ?

1 ? 1 ? ?1 2k

8

① k?

1 1 ? 1 ? 0 , g ?( x ) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, g ( x ) 在 ?0, ?? ? 上单增, 时, x2 ? 2k 2 1 ? g ( x ) ? g (0) ? 0 ,故 k ? 符合题意;……8 分 2 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 0 ,对 x ? ? 0, 时, x2 ? ? 1? , g ?( x ) ? 0 , g ( x) ? g (0) ? 0 , 2 2k ? 2k ?
……………………9 分

②当 0 ? k ? 故0 ? k ?

1 1 不合题意.综上, k 的最小值为 . 2 2


x2 (3)由(2)得, x ? ln ? x ? 1? ? 2
当 n≥2 时,令①式中 x ?
n

证明:当 n=1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立.

2 ?i ? N * ? 得 2i ? 1

n ? 2 ? 2 ?? n 2 ? ln ? 1 ? ? ? ?? ? ?? ? ?ln ? 2i ? 1? ? ln ? 2i ? 1?? ? ? ? 2i ? 1 ?? i ?2 2i ? 1 i ?2 i ?2 ? 2i ? 1

??
i ?2

n

n 2 2 ? ln ? 2n ? 1? ? ln 3 ? ? 2 2i ? 1 i ?2 ? 2i ? 1?

??
i ?2

n

2

? 2i ? 1?

2

n ? ? n ? 1 2 1 ? 1 ? ?? ? ? 1? ? ? ?? ? 2i ? 1 ? 2n ? 1 i ? 2 ? ? 2i ? 1?? 2i ? 3? ? i ? 2 ? 2i ? 3

??
i ?2 n

n

2 1 ? ln ? 2n ? 1? ? 1 ? ? ln 3 2i ? 1 2n ? 1 2 1 ? ln ? 2n ? 1? ? 2 ? 1 ? ? ln 3 ? 2 2i ? 1 2n ? 1

??
i ?1

所以当 n≥2 时不等式成立. 命题得证. ……………………14 分 其他证法可参照给分.

9


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