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最新 人教A版 选修1-1数学 公开课课件:3.3.7《函数的导数的应用》ppt课件


情景设置 生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题,这些问题通常 称为优化问题。通过前面的学习,我们 知道,导数是求函数最大(小)值的有力 工具。本节我们运用导数,解决一些生 活中的优化问题。 思路小结 解决优化问题的基本思路是: 优化问题 优化问题 的答案 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个 典型的数学建模过程。 导数

与优化问题 【例1】用长为90cm,宽为48cm的长方 形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分 别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的 高为多少时,容器 的容积最大?最大 容积是多少? 【例2】在甲、乙两个工厂,甲厂位 于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂 在河的同侧,乙厂位于离河岸40km的B 处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km, 两厂要在此岸边合建一个供水站C,从 供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为 每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸 边何处才能使水管费用最省? 【例3】如图,有一块半椭圆形钢板,其 半轴长为 2r,短半轴长为 r,计划将此钢 板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半 椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上, 记 CD ? 2 x ,梯形面积为S 。 (I)求面积S以 x为自变 量的函数式,并写出其 定义域; (II)求面积S的最大值。 【例4】某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点A, B 及CD的中点P 处,已知 AB=20km,CB =10km ,为了处理三家工厂 的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边 界),且A,B 与等距离的一点O 处建造一个 污水处理厂, 并铺设 排污管道AO,BO, OP ,设排污管道的总 长为 y km。 (I) 按下列要求写出函数关系式: ①设 ?BAO ? ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式。 (II)请你选用(I)中的一个函数关系式,确 定污水处理厂的位置,使三条排污管道 总长度最短。 【例5】两县城A和B相距20km,现计划在 两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择 一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响 度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A和城B的总影响度为城A与城B的影响度 之和,记C点到城A的距离为xkm,建在C 处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为 y, 统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影 响度与所选地点到城A的距离的平方成反 比,比例系数为4; 对城B的影响度与所选地点到城B的距 离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾 处理厂建在AB的中点时,对城A和城B 的总影响度为0.065。 ( 1 )将y表示成x的函数; ( II )讨论(1)中函数的单调性,并 判断弧AB上是否存在一点,使建在此 处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响 度最小?若存在,求出该点到城A的距 离; 若不存在,说明理由。 【例6】某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量y (单位:千克)与销 售价格x(单位:元/千克)满足关系 a ? 10( x ? 6)2 , 其中3<x<6, a为常 式 y? x?3 数,已知销售价格为5元/千克时, 每日可 售出该商品11千克。 (Ⅰ) 求a的值; (Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确 定销售价格x的值,使商场每日销售该商品 所获得的利润最大。 【例7】某地建一座桥,两端的桥墩已建好, 这两墩相距m米,余下工程只需要建

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