当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学函数知识点梳理技巧归纳


A thesis submitted to XXX in partial fulfillment of the requirement for the degree of Master of Engineering

高中数学函数知识点梳理
1. .函数的单调性 函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ∈ [a, b], x1 ≠ x2 那么

/>
f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x)在[a, b]上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] < 0 ? < 0 ? f ( x)在[a, b ] 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导,如果 f ′( x ) > 0 ,则 f (x ) 为增函数;如果 f ′( x) < 0 ,则 f (x) 为减函数. 注: 如果函数 f (x ) 和 g (x ) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) + g ( x ) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y = f (u ) 和 u = g (x ) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 y = f [ g ( x)] 是增函数.

( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] > 0 ?

2.

奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 注:若函数 y = f (x ) 是偶函数,则 f ( x + a ) = f ( ? x ? a ) ;若函数 y = f ( x + a ) 是偶 函数,则 f ( x + a ) = f ( ? x + a ) . 注: 对于函数 y = f (x ) ( x ∈ R ), f ( x + a ) = f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x ) 的对称轴是 函数 x =

a+b a+b ;两个函数 y = f ( x + a ) 与 y = f (b ? x ) 的图象关于直线 x = 对称. 2 2 a 注 : 若 f ( x ) = ? f (? x + a ) , 则 函 数 y = f (x ) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若 2

f ( x) = ? f ( x + a ) ,则函数 y = f (x) 为周期为 2a 的周期函数.
3. 多项式函数 P ( x ) = an x + an ?1 x
n n ?1

+ L + a0 的奇偶性

多项式函数 P ( x ) 是奇函数 ? P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 ? P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y = f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称 ? f ( a + x ) = f (a ? x )

? f (2a ? x) = f ( x) .
(2)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x =

? f (a + b ? mx) = f (mx) .
4. 两个函数图象的对称性 两个函数图象的对称性

a+b 对称 ? f ( a + mx ) = f (b ? mx ) 2

(1)函数 y = f ( x) 与函数 y = f ( ? x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y = f ( mx ? a ) 与函数 y = f (b ? mx ) 的图象关于直线 x = (3)函数 y = f ( x ) 和 y = f
?1

a+b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y = f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y = f ( x ? a ) + b 的图 象;若将曲线 f ( x, y ) = 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) = 0 的图
象. 5. 互为反函数的两个函数的关系

f (a ) = b ? f ?1 (b) = a .
27. 若 函 数 y = f ( kx + b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y =

1 ?1 [ f ( x ) ? b] , 并 不 是 k

y =[f
6.

?1

(kx + b) ,而函数 y = [ f

?1

(kx + b) 是 y =

1 [ f ( x) ? b] 的反函数. k

几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) = cx , f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 f ( x) = a x , f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 . (3)对数函数 f ( x) = log a x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f ( a ) = 1( a > 0, a ≠ 1) . (4)幂函数 f ( x) = xα , f ( xy ) = f ( x) f ( y ), f ' (1) = α . (5)余弦函数 f ( x) = cos x ,正弦函数 g ( x) = sin x , f ( x ? y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g ( y) ,

f (0) = 1, lim
x →0

g ( x) =1. x

7.

几个函数方程的周期(约定 几个函数方程的周期 约定 a>0) (1) f ( x) = f ( x + a ) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) = f ( x + a ) = 0 ,

1 ( f ( x ) ≠ 0) , f ( x) 1 或 f ( x + a) = ? ( f (x) ≠ 0) , f (x) 1 2 或 + f ( x) ? f ( x) = f ( x + a ), ( f ( x) ∈ [ 0,1]) ,则 f (x) 的周期 T=2a; 2 1 (3) f ( x) = 1 ? ( f ( x) ≠ 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f ( x + a) f ( x1 ) + f ( x2 ) (4) f ( x1 + x2 ) = 且 f ( a ) = 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≠ 1, 0 <| x1 ? x2 |< 2a ) , 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f (x) 的周期 T=4a; (5) f (x) + f (x + a) + f (x + 2a) f (x + 3a) + f (x + 4a) = f (x) f (x + a) f (x + 2a) f (x + 3a) f (x + 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x + a ) = f ( x ) ? f ( x + a) ,则 f (x ) 的周期 T=6a.
或 f ( x + a) =

8.

分数指数幂 (1) a (2) a
m n

=

1
n

?

m n

=

a 1

m

( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ). ( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).
?

?

a
9. 根式的性质
n

m n

(1) ( n a ) = a . (2)当 n 为奇数时, a = a ;
n n

当 n 为偶数时, a =| a |= ?
n n

?a, a ≥ 0 . ?? a, a < 0

10. 有理指数幂的运算性质 (1) a r ? a s = a r + s ( a > 0, r , s ∈ Q ) . (2) ( a r ) s = a rs ( a > 0, r , s ∈ Q ) . (3) ( ab) r = a r b r ( a > 0, b > 0, r ∈ Q ) . p 注:若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

log a N = b ? a b = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 , N > 0 ). log m a n n 推论 log am b = log a b ( a > 0 ,且 a > 1 , m, n > 0 ,且 m ≠ 1 , n ≠ 1 , N > 0 ). m log a N =
11. 对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ;

M = log a M ? log a N ; N n (3) log a M = n log a M ( n ∈ R ) .
(2) log a 注:设函数 f ( x ) = log m ( ax + bx + c )( a ≠ 0) ,记 ? = b ? 4ac .若 f (x ) 的定义域为
2
2

R ,则 a > 0 ,且 ? < 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a > 0 ,且 ? ≥ 0 .对于 a = 0 的情形,需要
单独检验. 12. 对数换底不等式及其推论

1 ,则函数 y = log ax (bx ) a 1 1 (1)当 a > b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为增函数. a a 1 1 (2)(2)当 a < b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为减函数. a a
若 a > 0 ,b > 0, x > 0 , x ≠ 推论:设 n > m > 1 , p > 0 , a > 0 ,且 a ≠ 1 ,则

(1) log m + p ( n + p ) < log m n . (2) log a m log a n < log a
2

m+n . 2


相关文章:
高中数学所有知识点总结
发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做 十一、 类比与归纳法 过高的要求。...高中数学必修+选 修知识点归纳 一、 数形结合思想 类讨论思想 函数与方程思想...
高一数学必修一各章知识点总结技巧解答
(2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并 集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),...
高一数学必修一各章知识点总结、技巧解答
高一数学必修一各章知识点总结技巧解答_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合...
最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》
最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》_数学...课程内容: 难点:函数、圆锥曲线 必修课程由 5 个...发展过程和实际应用, 而不在技巧与难度上 及其应用...
高中数学函数知识点总结(经典收藏)
高中数学函数知识点总结(经典收藏)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学...值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧...
高中数学知识点总结(最全版)
高中数学知识点总结(最全版)_数学_高中教育_教育专区。数学知识点总结 引言 1.课程内容:必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、...
高一数学集合知识点与函数解题技巧口诀
查字典数学网高中频道小编整理高一数学集合知识点函数解题技巧口诀,希望为大家提 供服务。一、 《集合与函数》内容子 高一数学集合知识点函数解题技巧口诀【...
高一数学必修一各章知识点总结技巧解答
高一数学必修一各章知识点总结技巧解答_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修一各章知识点总结技巧解答 高一数学必修 1 各章知识点总 结 第一章 集合与函数概念...
高中数学理科所有知识点及其解题方法归纳
高中数学理科所有知识点及其解题方法归纳_数学_高中教育...分析:就是求使得函数表达式有意义的 x 的取值集合...( ) 2 2 - 39 - ①–②得 求数列的和得技巧...
高一数学必修一各章知识点总结技巧解答
高一数学必修一各章知识点总结技巧解答_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. ...
更多相关标签:
高中化学知识点归纳 | 高中数学知识点梳理 | 高中语文知识点归纳 | 高中物理知识点归纳 | 高中生物知识点归纳 | 高中政治知识点归纳 | 高中数学知识点归纳 | 高中政治知识点梳理 |