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05--导数


模拟试题分类汇编 5:导数
1 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)已知函数 f(x)=ax-1-1n x,a ? R.

(I)讨论函数 f(x)的单调区间: (II)若函数 f(x)在 x=l 处取得极值,对 ? x∈(0,+ ? ),f(x)≥bx-2 恒成立 ,求实数 b 的取值范围.
2 . (北京市朝阳区 20

13 届高三第一次综合练习文科数学) 已知函数

f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中

a?R .
(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1 ,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

3 . (2013 北京顺义二模数学文科试题及答案) 已知函数

f ( x) ?

1 ex ,其中 a 为正实数, x ? 是 f ( x ) 的 2 2 1 ? ax

一个极值点. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 b ?

1 时,求函数 f ( x ) 在 [b, ??) 上的最小值. 2

4 . (2013 届北京大兴区一模文科)已知函数 f ( x) = (ax + 1)e x .

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a > 0 时,求函数 f ( x) 在区间 [- 2,0] 上的最小值.
5 . (2013 届北京市延庆县一模数学文)已知函数 f ( x) ? ?2a ln x ?
2

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切线方程; (Ⅱ)讨论函 数 f ( x) 的单调性.

6. (2013 北京海淀二模数学文科试题及答案)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x ) ? ?

a (a ? 0) . x

(1)当 a ? 1 时,若曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与曲线 y ? g ( x) 在点 P( x0 , g ( x0 )) 处的 切线平行,求实数 x0 的值; (II)若 ?x ? (0, e] ,都有 f ( x ) ? g ( x) ?

3 ,求实数 a 的取值范围. 2 ax ? a , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ). x ?1
2

7. (2013 北京朝阳二模数学文科试题)已知函数 f ( x ) ?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 a ? 0 时,对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.
1

8. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)已知函数 f ( x ) ?

x ,其中 b ? R . x ?b
2

(Ⅰ) f ( x) 在 x ? ?1 处的切线与 x 轴平行,求 b 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间.

9. (2013 北京丰台二模数学文科试题及答案)已知函数

f ( x) ? a ln x ? (a ? 1) x ?

1 2 x (a ? 0) . 2

(Ⅰ)若直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切,切点是 P(2,0),求直线 l 的方程; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性.

10. (2013 届北京海滨一模文)函数 f ( x) ?

1 3 x ? kx ,其中实数 k 为常数. 3

(I) 当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围.

参考答案
2

1、 【答案】

2、 【答案】解:(Ⅰ)由

f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x 可知,函数定义域为 ? x x ? 0? ,
a a .由题意, f ?(2) ? 4 ? ( a ? 2) ? ? 1 , x 2

且 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? 解得 a ? 2

a (2 x ? a)( x ? 1) ? ( x ? 0) . x x a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? . 2
(Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a ?0 ? ? (1)当 a ? 0 时, 2 ,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ;令 f ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 .
则函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ??) .

0?
(2)当

a a ?1 0? x? ? 2 2 或 x ?1. ,即 0 ? a ? 2 时,令 f ( x) ? 0 ,得

3

a (0, ) 2 , (1, ??) . 则函数 f ( x) 的单调递增区间为 a ? x ?1 ? f ( x ) ? 0 令 ,得 2 . a ( ,1) f ( x ) 则函数 的单调递减区间为 2 . a ?1 ? (3) 当 2 ,即 a ? 2 时, f ( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) . a a ?1 x? ? 2, (4)当 2 ,即 a ? 2 时,令 f ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 a ( , ??) f ( x ) (0,1) 则函数 的单调递增区间为 , 2 .
? 令 f ( x) ? 0 ,得

1? x ?

a 2.

a (1, ) 则函数 f ( x) 的单调递减区间为 2



3、

(ax 2 ? 2ax ? 1)e x 【答案】解: f ( x ) ? (1 ? ax 2 )2
'

(Ⅰ)因为 x ?

1 ' 1 是函数 y ? f ( x ) 的一个极值点,所以 f ( ) ? 0 2 2

因此,

1 4 a ? a ? 1 ? 0 解得 a ? 3 4

4 1 4 时, x ? 是 y ? f ( x) 的一个极值点,故所求 a 的值为 3 3 2 4 8 ( x 2 ? x ? 1)e x 1 3 ' ' 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x ) ? 3 令 f ( x ) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 4 2 2 (1 ? x 2 )2 3
经检验,当 a ?

f ( x ) 与 f ' ( x ) 的变化情况如下:

4

x
f ' ( x)

1 ( ?? , ) 2

1 2

1 3 ( , ) 2 2

3 2

3 ( , ?? ) 2

+

0

-

0

+

f ( x)

3 e 4
1 2 3 2

e e 4
1 3 2 2

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?? , ),( , ?? ), 单调递减区间是 ( , )



1 3 3 3 ? b ? 时, f ( x ) 在 [b, ) 上单调递减,在 ( , ?? ) 上单调递增 2 2 2 2

所以 f ( x ) 在 [b, ?? ) 上的最小值为 f ( ) ?

3 2

e e 4

当b ?

3 时, f ( x ) 在 [b, ?? ) 上单调递增, 2

所以 f ( x ) 在 [b, ?? ) 上的最小值为 f (b ) ?

eb 3e b ? 1 ? ab 2 3 ? 4b 2

4、 【答案】解:定义域为 R

f ' ( x) ? (ax ? 1) ' e x ? (ax ? 1)(e x ) ' ? e x (ax ? a ? 1)
' x (Ⅰ)①当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? 0 ,则 f ( x ) 的单调增区间为 (??,??)

a ?1 a ?1 ' ,解 f ( x) ? 0 得, x ? ? , a a a ?1 a ?1 ,?? ) , f ( x ) 的单调减区间为 ( ?? ,? ) 则 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? a a a ?1 a ?1 ' ' ③当 a ? 0 时,解 f ( x) ? 0 得, x ? ? ,解 f ( x) ? 0 得, x ? ? , a a a ?1 a ?1 ) , f ( x ) 的单调减区间为 ( ? ,?? ) 则 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? ,? a a
' ②当 a ? 0 时,解 f ( x) ? 0 得, x ? ?

?a ? 0 ? (Ⅱ) ①当 ? a ? 1 ? ? ?2 ? ? a

时,

即 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (?2,?

a ?1 a ?1 ) 上是减函数,在 ( ? ,0 ) 上 a a

5

? a ?1 f (? ) ? ?ae 是增函数,则函数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为 a

a ?1 a

?a ? 0 ? ②当 ? a ? 1 时, 即 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [?2,0] 上是增函数, ? ? ?2 ? ? a
则函数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为 f (?2) ?

1 ? 2a [来源:学科网] e2
? a ?1 a

综上: 当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为 ? ae 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为

1 ? 2a e2

5、 【答案】解:函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,

f ?( x) ? ?

2a 2 ?x?a x

3 , f ?(1) ? ?2 ? 1 ? 1 ? 0 , 2 3 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切线方程为 y ? 2
(Ⅰ) 当 a ? 1 时, f (1) ? (Ⅱ) f ?( x) ?

x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) , ? x x

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? 0 , f ( x) 在定义域为 (0,??) 上单调递增, (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a (舍去), x2 ? a , 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下:

此时, f ( x) 在区间 (0, a ) 单调递减,在区间 (a,??) 上单调递增; (3)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a , x2 ? a (舍去), 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下:

6

此时, f ( x) 在区间 (0,?2a ) 单调递减,在区间 (?2a,??) 上单调递增

6、 【答案】解:(I)当因为 a ? 1 ,

1 1 f '( x) ? , g ( x) ? 2 x x

若函数 f ( x ) 在点 M ( x , f ( x )) 处的切线与函数 g ( x ) 在点 P( x , g ( x )) 处的切线平行, 0 0 0 0 所以 1 1 ,解得 x0 ? 1 ? 2 x0 x0 此时 f ( x ) 在点 M (1,0) 处的切线为 y ? x ? 1

g ( x ) 在点 P (1, ?1) 处的切线为 y ? x ? 2
所以 x ? 1 0 (II)若 ?x ? (0,e] ,都有

f ( x) ? g ( x) ?

3 2



F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

3 a 3, ? ln x ? ? 2 x 2

只要 F ( x ) 在 (0,e] 上的最小值大于等于 0

1 a x ?a ? ? 2 x x2 x 则 F '( x ), F ( x ) 随 x 的变化情况如下表: F '( x) ?

x
F '( x )

(0, a )
?

a
0 极大值

( a, ??)

?

F ( x)

当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0,e) 上单调递减, F (e) 为最小值

a 3 e 所以 a ? e ? ? 0 ,得 a ? e 2 2 当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a ,e) 上单调递增 ,
所以 F (e) ? 1 ?
7

F ( a ) 为最小值,所以 F (a) ? ln a ?
所以 e ? a ? e 综上, e ? a

a 3 ? ? 0 ,得 a ? e a 2

7、 【答案】解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R ,

f ?( x) ?

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) . ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

当 a ? 0 时, 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)
当 a ? 0 时,

(??, ?1)

?1
0

(?1,1)

1
0

(1, ??)

?


?


?


当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)
综上所述,

(??, ?1)

?1
0

(?1,1)

1
0

(1, ??)

?


?


?


当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 a ? 0 时,

f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增, f ( x) ? f (0) ; f ( x) 在 (1, e] 上单调递减,且
所以 x ? (0, e] 时, f ( x) ? a .

f (e) ?

ae ?a ?a e ?1 .
2

因为 g ( x) ? a ln x ? x ,所以

g ?( x ) ?

a ?1 x ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? a .
8

? ? ①当 0 ? a ? e 时,由 g ( x) > 0 ,得 0 ? x ? a ;由 g ( x) < 0 ,得 x ? a ,
所以函数 g ( x) 在 (0, a ) 上单调递增,在 ( a, e] 上单调递减. 所以

g ( x)max ? g (a) ? a ln a ? a .

因为 a ? (a ln a ? a) ? a(2 ? ln a) ? a(2 ? ln e) ? a ? 0 , 所以对于任意

x1 , x2 ? ? 0,e?

,总有

g ( x1 ) ? f ( x2 ) .

? ②当 a ? e 时, g ( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立,
所以函数 g ( x) 在 (0, e] 上单调递增, 所以对于任意

g ( x)max ? g (e) ? a ? e < a .

x1 , x2 ? ? 0,e?

,仍有

g ( x1 ) ? f ( x2 ) . g ( x1 ) ? f ( x2 )

综上所述,对于任意

x1 , x2 ? ? 0,e?

,总有

8、 【答案】解:(Ⅰ) f ?( x) ?

b ? x2 ( x 2 ? b) 2

依题意,由 f ?(?1) ? 0 ,得 b ? 1 经检验, b ? 1 符合题意 (Ⅱ)① 当 b ? 0 时, f ( x) ?

1 . x

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, 0) , (0, ??) ;无单调增区间 ② 当 b ? 0 时, f ?( x) ?

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

(??, ? b )

? b

(? b , b )

b

( b , ? ?)

?

0

?

0

?







故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? b ) , ( b , ??) ;单调增区间为 (? b , b ) . ③ 当 b ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b}.

9

因为 f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) , (? ?b , ?b ) , ( ?b , ??) ;无单调增区间
9、 【答案】解:(Ⅰ)∵P(2,0)在函数 f(x)的图象上,?f(2)=0

? a ln 2 ? 2(a ? 1) ? 2 ? 0 ,即 (ln 2 ? 2)a ? 0, , ln 2 ? 2 ? 0,? a ? 0 ?f(x)=

1 2 x ? x ,? f ?( x) ? x ? 1 , 2

? f ?(2) ? 1 , ?直线 l 的方程为 y=x-2,即 x-y-2=0 (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} ,

f ?( x) ?

a ( x ? 1)( x ? a) , ? (a ? 1) ? x ? x x

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1, 或x ? a , ①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,当且仅当 x=1 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 的单调递增区间是(0,+?);
②当 a=0 时,, f ?( x) ? 0 ? x ? 1, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,

? f ( x) 的单调递增区间是(1,+?), f ( x) 的单调递减区间是(0,1);
③当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a,或x ? 1 , f ?( x) ? 0 ? a ? x ? 1,

? f ( x) 的单调递增区间是(0,a)和(1,+?), f ( x) 的单调递减区间是(a,1);
④当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,或x ? a , f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? a ,

? f ( x) 的单调递增区间是(0,1)和(a,+?), f ( x) 的单调递减区间是(1,a).

10、 【答案】解:(I)因为

f '( x) ? x 2 ? k

当 k ? 4 时, f '( x) ? x 2 ? 4 ,令 f '( x) ? x 2 ? 4 ? 0 ,所以 x1 ? 2, x2 ? ?2

f '( x), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x

( ??, ?2)

?2

( ?2, 2)

2

(2, ??)
10

f '( x) f ( x)

?

0 极大值

?

0 极小值

?

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?2) , (2, ??) 单调递减区间是 ( ?2, 2) (II)令 g ( x ) ? f ( x ) ? k ,所以 g ( x ) 只有一个零点 因为 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k 当 k ? 0 时, g ( x) ? x3 ,所以 g ( x ) 只有一个零点 0 当 k ? 0 时, g '( x) ? x 2 ? k ? 0 对 x ? R 成立, 所以 g ( x ) 单调递增,所以 g ( x ) 只有一个零点 当 k ? 0 时,令 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k ? 0 ,解得 x1 ? k 或 x2 ? ? k 所以 g '( x), g ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
g '( x) g ( x)

(??, ? k )

? k
0] 极大值

(? k , k )
?

k
0 极小值

( k , ??)

?

?

g ( x ) 有且仅 有一个零点等价于 g (? k ) ? 0
g (? k ) ?


2 9 k k ?k ?0 0?k ? 3 4 ,解得

综上所述, k 的取值范围是

k?

9 4

11


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