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巧解第30届物理预赛一道斜抛运动试题


中学物理 

V o 1 . 3 3  N o . 0 3  

2 0 1 5年 2月 

巧解 第 3 O届 物 理 预  赛 一道斜 抛 运 动试题 
曾宪松  李 常 明  
( 1 . 凤凰 县教 育局 教科 所 ( 2 . 凤 凰县高 级 中学 
2 0 1 3 年第 3 O 届全国中学生物理竞赛预赛第 l l 题是一道关  于斜抛运 动的试 题 , 竞赛 委员 会 以直角 坐标 轨迹 方 程 为切 入 
点, 给出 了侧重数学工具在 物理 中应用 的参 考解答. 根 据高 中  物理新课标要 求 , 学生对运 动 的合 成与 分解 比较熟 悉 , 本题若  从此 处切 入 , 借 助数 学工 具而 侧重 物理 规 律 的解答 则 更为 巧 
妙, 现 对 比呈 现 如 下 .   竞赛原题  在水平地 面某处 , 以相 同的速 率 用 不同的抛  射 角分 别 抛 射 出 两 个 小球 A 和  , 它们 的射 程 相 同. 已知 小球 A  

湖南 凤 凰 湖南 凤 凰

4 1 6 2 0 0 )   4 1 6 2 0 0 )  

由两球水 平方 向射程相等得 
t 3 0 C O S O A?   =U 0 c o s 0 口?   ( 3 )  

利用 

c o s 0= , / 1一 s i n   0 ,  

把( 1 ) 、 ( 2 )代入 ( 3 )得 
:  

( 4 )  
g 

在空 中运行的 时间为   , 求小球 曰在空 中运行的时 间   . 重力   加速度 大小为 g . 不考 虑空气阻力.   参考解答  取抛射点 为坐标原 点 ,  轴沿水平方 向, Y 轴为  竖直方 向, 抛 射角为 0 , 抛 出时刻 t 取为零 , 对任何斜抛小球有 
=t V o C O S O   ( 1 )  

平抛解法  根据斜抛运 动 的对称性 , 将 斜抛 运动看 成两  个对称 的平抛运动 , 斜抛运动的抛射角即为平抛运 动落地时速 
度与水平方 向的夹 角 0 , 则  对 A球落地时有 
( 1 )  

t an O A  
Vx A

=  

扣 
消去 t 得 小 球 运 动 的 轨迹 方 程 为 
, ,   椭 n 0一   2   2  X  

( 2 )  对 B 球 落 地 时 有  
㈩   t a n   t )
x B
= 

删 
g  2  

( 2 )  

由两球水平方 向射程相等得 

取 Y=0, 解出  即为射程 d  
, 

s i I l 2  
g 

(   4   )  
, 、  

咖  ?

≥ ‘    c o s  ≥ 二   ,
=   ,  

利用 ( 4 )式 可 得 小 球 在 空 中运 行 的 时 间 
T=   d
=  

利用 
( 5 )  
及 

t 舢

c o s 0=   l—s i n   0  

以  表示小球 A的抛射角 ,   表示小球 曰的抛射 角 , 现要 
两小球射程相 同, 由( 4 )式按题 意有  s i n 2 O A=s i n 2 0 日  
而  2 0 a= 7 r一2  
2 v 0si n 0 A  

— —

把( 1 ) 、 ( 2 )代入( 3 )得 


/ 4 V o  ̄ 一( r A g )  
g 

日 一  

( 4 )  

( 6 )  
( 7 )  

由( 5 )式 , 小球 A和  在空 中运行 的时 间分别 为 
( 8 )  
( 9 )  
g 

合成解法  小 球在 水平方 向相 同 的  射程 可等效为沿速度方 向的位移  与 
。  

竖直方向的位移÷g   的合成, 如图1 所 

T B :

2Vosi n O n  



g  

由( 7 ) 、 ( 8 ) 、 ( 9 ) 式 可得  
:  

盟  

( 1 0 )  
( 2 )  

分解解法  设小球抛射 角为 0 , 将斜抛运动分解 为水平方  向的匀速 直线 运动 , 竖直方 向的竖直上抛运动 , 则  对 A球 在 竖 直 方 向有 


' O o s i n 0 ^=I ) 0 s i n 0 ^一g L,  

7 ’ R:— V / 4 v o- ( 2 T a g ) z  


( 3 )  

即 

=  

( 1 )  

‘  

g 

对 比竞赛参考解答与 三种简捷 巧解 可知 : 对 于斜 抛问题 ,  
从轨迹 曲线本身切人 , 费时费力 , 对数学技巧要求 比较高 ; 若化  曲为直 , 以退为进 , 根据需要 可对 其进行 不 同方 式 的合成 与分 

对 B球 在竖直方向有 


V 0 s i n 0 B = 1 3 0 s i n 0 B — g  ,  

即 

, n  


= 

2   o s i n 0 B  

( 2 )  

解, 则物理意义 明确 , 并且 思维 含量越 高 , 涉及 的未知 数越 少 ,  
解答过程就越简捷易懂.  
?

6 3?  


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