巧解第30届物理预赛一道斜抛运动试题

中学物理　

Ｖ ｏ １ ． ３ ３ 　Ｎ ｏ ． ０ ３ 　

２ ０ １ ５年 ２月　

巧解 第 ３ Ｏ届 物 理 预　 赛 一道斜 抛 运 动试题　
曾宪松　 李 常 明 　
（ １ ． 凤凰 县教 育局 教科 所 （ ２ ． 凤 凰县高 级 中学　
２ ０ １ ３ 年第 ３ Ｏ 届

全国中学生物理竞赛预赛第 ｌ ｌ 题是一道关　 于斜抛运 动的试 题 ， 竞赛 委员 会 以直角 坐标 轨迹 方 程 为切 入　
点， 给出 了侧重数学工具在 物理 中应用 的参 考解答． 根 据高 中　 物理新课标要 求 ， 学生对运 动 的合 成与 分解 比较熟 悉 ， 本题若　 从此 处切 入 ， 借 助数 学工 具而 侧重 物理 规 律 的解答 则 更为 巧　
妙， 现 对 比呈 现 如 下 ． 　 竞赛原题　 在水平地 面某处 ， 以相 同的速 率 用 不同的抛　 射 角分 别 抛 射 出 两 个 小球 Ａ 和　 ， 它们 的射 程 相 同． 已知 小球 Ａ 　

湖南 凤 凰 湖南 凤 凰

４ １ ６ ２ ０ ０ ） 　 ４ １ ６ ２ ０ ０ ） 　

由两球水 平方 向射程相等得　
ｔ ３ ０ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ Ａ? 　 ＝Ｕ ０ ｃ ｏ ｓ ０ 口? 　 （ ３ ） 　

利用　

ｃ ｏ ｓ ０＝ ， ／ １一 ｓ ｉ ｎ 　 ０ ， 　

把（ １ ） 、 （ ２ ）代入 （ ３ ）得　
： 　

（ ４ ） 　
ｇ　

在空 中运行的 时间为 　 ， 求小球 曰在空 中运行的时 间 　 ． 重力 　 加速度 大小为 ｇ ． 不考 虑空气阻力． 　 参考解答　 取抛射点 为坐标原 点 ， 　轴沿水平方 向， Ｙ 轴为　 竖直方 向， 抛 射角为 ０ ， 抛 出时刻 ｔ 取为零 ， 对任何斜抛小球有　
＝ｔ Ｖ ｏ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ 　 （ １ ） 　

平抛解法　 根据斜抛运 动 的对称性 ， 将 斜抛 运动看 成两　 个对称 的平抛运动 ， 斜抛运动的抛射角即为平抛运 动落地时速　
度与水平方 向的夹 角 ０ ， 则　 对 Ａ球落地时有　
（ １ ） 　

ｔ ａｎ Ｏ Ａ 　
Ｖｘ Ａ

＝ 　

扣　
消去 ｔ 得 小 球 运 动 的 轨迹 方 程 为　
， ， 　 椭 ｎ ０一 　 ２ 　 ２ 　Ｘ 　

（ ２ ） 　对 Ｂ 球 落 地 时 有 　
㈩ 　 ｔ ａ ｎ 　 ｔ ）
ｘ Ｂ
＝　

删　
ｇ　 ２ 　

（ ２ ） 　

由两球水平方 向射程相等得　

取 Ｙ＝０， 解出　 即为射程 ｄ 　
，　

ｓ ｉ Ｉ ｌ ２ 　
ｇ　

（ 　 ４ 　 ） 　
， 、 　

咖 　?

≥ ‘ 　 　ｃ ｏ ｓ 　≥ 二 　 ，
＝ 　 ， 　

利用 （ ４ ）式 可 得 小 球 在 空 中运 行 的 时 间　
Ｔ＝ 　 ｄ
＝ 　

利用　
（ ５ ） 　
及　

ｔ 舢

ｃ ｏ ｓ ０＝ 　 ｌ—ｓ ｉ ｎ 　 ０ 　

以　 表示小球 Ａ的抛射角 ， 　 表示小球 曰的抛射 角 ， 现要　
两小球射程相 同， 由（ ４ ）式按题 意有　 ｓ ｉ ｎ ２ Ｏ Ａ＝ｓ ｉ ｎ ２ ０ 日 　
而　 ２ ０ ａ＝ ７ ｒ一２ 　
２ ｖ ０ｓｉ ｎ ０ Ａ 　
：
— —

把（ １ ） 、 （ ２ ）代入（ ３ ）得　
．

／ ４ Ｖ ｏ ￣ 一（ ｒ Ａ ｇ ） 　
ｇ　

日 一 　

（ ４ ） 　

（ ６ ） 　
（ ７ ） 　

由（ ５ ）式 ， 小球 Ａ和　 在空 中运行 的时 间分别 为　
（ ８ ） 　
（ ９ ） 　
ｇ　

合成解法　 小 球在 水平方 向相 同 的　 射程　可等效为沿速度方 向的位移　 与　
。 　

竖直方向的位移÷ｇ 　 的合成， 如图１ 所　

Ｔ Ｂ ：

２Ｖｏｓｉ ｎ Ｏ ｎ 　
—
—

ｇ 　

由（ ７ ） 、 （ ８ ） 、 （ ９ ） 式 可得 　
： 　

盟 　

（ １ ０ ） 　
（ ２ ） 　

分解解法　 设小球抛射 角为 ０ ， 将斜抛运动分解 为水平方　 向的匀速 直线 运动 ， 竖直方 向的竖直上抛运动 ， 则　 对 Ａ球 在 竖 直 方 向有　
一

＇ Ｏ ｏ ｓ ｉ ｎ ０ ＾＝Ｉ ） ０ ｓ ｉ ｎ ０ ＾一ｇ Ｌ， 　

７ ’ Ｒ：— Ｖ ／ ４ ｖ ｏ－ （ ２ Ｔ ａ ｇ ） ｚ 　
—

（ ３ ） 　

即　

＝ 　

（ １ ） 　

‘ 　

ｇ　

对 比竞赛参考解答与 三种简捷 巧解 可知 ： 对 于斜 抛问题 ， 　
从轨迹 曲线本身切人 ， 费时费力 ， 对数学技巧要求 比较高 ； 若化　 曲为直 ， 以退为进 ， 根据需要 可对 其进行 不 同方 式 的合成 与分　

对 Ｂ球 在竖直方向有　
一

Ｖ ０ ｓ ｉ ｎ ０ Ｂ ＝ １ ３ ０ ｓ ｉ ｎ ０ Ｂ — ｇ　 ， 　

即　

， ｎ 　
＝

＝　

２ 　 ｏ ｓ ｉ ｎ ０ Ｂ 　

（ ２ ） 　

解， 则物理意义 明确 ， 并且 思维 含量越 高 ， 涉及 的未知 数越 少 ， 　
解答过程就越简捷易懂． 　
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６ ３?