中学物理
V o 1 . 3 3 N o . 0 3
2 0 1 5年 2月
巧解 第 3 O届 物 理 预 赛 一道斜 抛 运 动试题
曾宪松 李 常 明
( 1 . 凤凰 县教 育局 教科 所 ( 2 . 凤 凰县高 级 中学
2 0 1 3 年第 3 O 届全国中学生物理竞赛预赛第 l l 题是一道关 于斜抛运 动的试 题 , 竞赛 委员 会 以直角 坐标 轨迹 方 程 为切 入
点, 给出 了侧重数学工具在 物理 中应用 的参 考解答. 根 据高 中 物理新课标要 求 , 学生对运 动 的合 成与 分解 比较熟 悉 , 本题若 从此 处切 入 , 借 助数 学工 具而 侧重 物理 规 律 的解答 则 更为 巧
妙, 现 对 比呈 现 如 下 . 竞赛原题 在水平地 面某处 , 以相 同的速 率 用 不同的抛 射 角分 别 抛 射 出 两 个 小球 A 和 , 它们 的射 程 相 同. 已知 小球 A
湖南 凤 凰 湖南 凤 凰
4 1 6 2 0 0 ) 4 1 6 2 0 0 )
由两球水 平方 向射程相等得
t 3 0 C O S O A? =U 0 c o s 0 口? ( 3 )
利用
c o s 0= , / 1一 s i n 0 ,
把( 1 ) 、 ( 2 )代入 ( 3 )得
:
( 4 )
g
在空 中运行的 时间为 , 求小球 曰在空 中运行的时 间 . 重力 加速度 大小为 g . 不考 虑空气阻力. 参考解答 取抛射点 为坐标原 点 , 轴沿水平方 向, Y 轴为 竖直方 向, 抛 射角为 0 , 抛 出时刻 t 取为零 , 对任何斜抛小球有
=t V o C O S O ( 1 )
平抛解法 根据斜抛运 动 的对称性 , 将 斜抛 运动看 成两 个对称 的平抛运动 , 斜抛运动的抛射角即为平抛运 动落地时速
度与水平方 向的夹 角 0 , 则 对 A球落地时有
( 1 )
t an O A
Vx A
=
扣
消去 t 得 小 球 运 动 的 轨迹 方 程 为
, , 椭 n 0一 2 2 X
( 2 ) 对 B 球 落 地 时 有
㈩ t a n t )
x B
=
删
g 2
( 2 )
由两球水平方 向射程相等得
取 Y=0, 解出 即为射程 d
,
s i I l 2
g
( 4 )
, 、
咖 ?
≥ ‘ c o s ≥ 二 ,
= ,
利用 ( 4 )式 可 得 小 球 在 空 中运 行 的 时 间
T= d
=
利用
( 5 )
及
t 舢
c o s 0= l—s i n 0
以 表示小球 A的抛射角 , 表示小球 曰的抛射 角 , 现要
两小球射程相 同, 由( 4 )式按题 意有 s i n 2 O A=s i n 2 0 日
而 2 0 a= 7 r一2
2 v 0si n 0 A
:
— —
把( 1 ) 、 ( 2 )代入( 3 )得
.
/ 4 V o  ̄ 一( r A g )
g
日 一
( 4 )
( 6 )
( 7 )
由( 5 )式 , 小球 A和 在空 中运行 的时 间分别 为
( 8 )
( 9 )
g
合成解法 小 球在 水平方 向相 同 的 射程 可等效为沿速度方 向的位移 与
。
竖直方向的位移÷g 的合成, 如图1 所
T B :
2Vosi n O n
—
—
g
由( 7 ) 、 ( 8 ) 、 ( 9 ) 式 可得
:
盟
( 1 0 )
( 2 )
分解解法 设小球抛射 角为 0 , 将斜抛运动分解 为水平方 向的匀速 直线 运动 , 竖直方 向的竖直上抛运动 , 则 对 A球 在 竖 直 方 向有
一
' O o s i n 0 ^=I ) 0 s i n 0 ^一g L,
7 ’ R:— V / 4 v o- ( 2 T a g ) z
—
( 3 )
即
=
( 1 )
‘
g
对 比竞赛参考解答与 三种简捷 巧解 可知 : 对 于斜 抛问题 ,
从轨迹 曲线本身切人 , 费时费力 , 对数学技巧要求 比较高 ; 若化 曲为直 , 以退为进 , 根据需要 可对 其进行 不 同方 式 的合成 与分
对 B球 在竖直方向有
一
V 0 s i n 0 B = 1 3 0 s i n 0 B — g ,
即
, n
=
=
2 o s i n 0 B
( 2 )
解, 则物理意义 明确 , 并且 思维 含量越 高 , 涉及 的未知 数越 少 ,
解答过程就越简捷易懂.
?
6 3?