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2015高中自主招生必做试卷(数学)


一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一个选项是正确的.)

1.如图是某几何体的三视图及相关数据,则下列 判断错误的是( A.a<c ) B.b<c C.4a2+b2=c2 D.a2+b2=c2

2.下列计算:① 4 =±2;②2a2×3a3=6a6;③| 1
1-

2 |-2sin45°+(-1)2011=0;④ b+c a+c = b a .其中正确的个数有( ) A.0 B.1

C.2

D.3

3. 某救灾募捐活动中, 文艺工作者积极向灾区捐款. 其中 8 人捐款统计如下表: 捐款数(万元) 5 10 20 50 人数(人) 1 2 3 2 设这 8 人捐款数的众数为 a, 中位数为 b, 平均数为 c, 则下列各式正确的是 ( A.a=b<c B.a<b<c C.a=b>c D.a=b=c )

4. 如图, 直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A、 B、 C, 则该圆弧所在圆的圆心坐标为( A.(2,0) B.(2,1) ) C.(1,2) D.无法确定

5.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=4,BC=3,经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA、 CB 分别相交于点 P、 Q, 则线段 PQ 长度的最小值是 ( ) B. C. D.2 A.2 12 5 2 5 2 6.定义:直线 l1 与 l2 相交于点 O,对于平面内任意一点 M,点 M 到直线 l1、l2 的距离分别为 p、q,则称有序非负实数对(p,q)是点 M 的“距离坐标”.根 据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)
7.化简( 1
x2+3x

+
x2-x-6 x2-9


x2+2x+1

x+3 的结果为



8.如图,在两面墙之间有一根底端在 A 点的竹竿,当它靠在 一侧墙上时, 竹竿的顶端在 B 点; 当它靠在另一侧墙上时, 竹竿的顶端在 D 点. 已 知∠BAC=60°,∠DAE=45°,AC=2 米,则 DE 的高度为 米.(墙面垂直地面) 9.若实数 a,b 满足 a+b2=1,则 a2+4b2 的最小值是多少? .

10. 如上图, △ABC 的三边长分别为 3、 5、 6, BD 与 CE 都是△ABC 的外角平分线, M、N 是直线 BC 上两点,且 AM⊥BD 于 D,AN⊥CE 于 E,则 DE 的长等于 .

11.下表为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形
n 如 (a+b) ( n 为正整数) 展开式的系数, 请你仔细观察下表中的规律, 填出 (a+b) 6 展开式中所缺的系数. (a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 则(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+

a3b3+15a2b4+6ab5+b6. 12.三个同学对问题“若方程组 a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 的解是

x=4 y=10 ,求方程组 4a1x+5b1y=9c1 4a2x+5b2y=9c2 的解”提出各自的想法.甲说:“这个题目好像条件不够,不能求解”;乙说: “它们的系数有一定的规律,可以试试”;丙说:“能不能把第二个方程组中两 个方程的两边都除以 9,通过换元替代的方法来解决”.参照他们的讨论,你认 为这个题目的解应该是 .

三、解答题(本大题共 3 小题,满分 40 分.)

13.如图,矩形 ABCD 中,E 是 BC 边上的一点,连接 AE、DE.△DCE 沿 DE 翻折后,点 C 恰好落在 AE 上,记为点 F. (Ⅰ)求证:△ADF≌△EAB; (Ⅱ)若 AD=10,tan∠EDF= 1 3 ,求矩形 ABCD 的面积.

14.如图,双曲线 y= k x 与直线 l:y=-kx+b(k>0,b>0)有且只有一个公共点 A,AC⊥x 轴于 C,直线 l 交 x 轴于点 B. (Ⅰ)求点 A 的横坐标;

(Ⅱ) 已知△ABC 的面积等于 1,若有一动点从原点开始移动,假定其每次只能 向上或向右移动 1 个单位长度(向上和向右的可能性相同).求 3 次移动后,该 点在直线 l 上的概率.

15.已知二次函数 y=ax2-2ax+c 的图象与 x 轴交于 A(-1,0)、B 两点,其顶点为 M. (Ⅰ)根据图象,解不等式 ax2-2ax+c>0; (Ⅱ)若点 D(-3,6)在二次函数的图象上,试问:线段 OB 上是否存在 N 点, 使得∠ADB=∠BMN?若存在,求出 N 点坐标;若不存在,说明理由.


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