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【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选大题冲关解答题规范训练2


解答题规范训练(二) 1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c=2,C=60° . (1)求 a+b 的值; sin A+sin B

(2)若 a+b=ab,求△ABC 的面积. 2.如图,正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB= 2EF.

(1)求证:BF∥平面 ACE;

(2)求证:BF⊥BD. 3.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计),旅游人数 f(t)(万人)与时间 t(天) 1 的函数关系近似满足 f(t)=4+ ,人均消费 g(t)(元)与时间 t(天)的函数关系近似满足 g(t) t =115-|t-15|. (1)求该城市的旅游日收益 w(t)(万元)与时间 t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元). x2 4.(2012· 徐、淮、连、宿联考)如图,已知椭圆 C: +y2=1,A、B 是四条直线 x=± 2,y 4 =± 所围成的两个顶点. 1

→ → → (1)设 P 是椭圆 C 上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点 Q(m,n)在定圆上运动, 并求出定圆的方程; (2)若 M、N 是椭圆 C 上两上动点,且直线 OM、ON 的斜率之积等于直线 OA、OB 的斜 率之积,试探求△OMN 的面积是否为定值,说明理由. 5.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 8Sn=a2+4an+3(n∈N*),且 a1,a2, n a7 依次是等比数列{bn}的前三项. (1)求数列{an}及{bn}的通项公式;

(2)是否存在常数 a>0 且 a≠1,使得数列{an-logabn}(n∈N*)是常数列?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 6.(2012· 徐州质量检测)已知函数 f(x)=x2+2ax+1(a∈R),f′(x)是 f(x)的导函数. (1)若 x∈[-2,-1],不等式 f(x)≤f′(x)恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f(x)=|f′(x)|;
? ?f′?x?,f?x?≥f′?x? (3)设函数 g(x)=? ,求 g(x)在 x∈[2,4]时的最小值. ?f?x?,f?x?<f′?x? ?

参考答案 解答题规范训练(二) a b c 2 2 4 3 1.解 (1)由正弦定理可设 = = = = = , sin A sin B sin C sin 60° 3 3 2 4 3 4 3 所以 a= sin A,b= sin B, 3 3 4 3 ?sin A+sin B? 3 a+b 4 3 所以 = = . 3 sin A+sin B sin A+sin B (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C, 即 4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 又 a+b=ab,所以(ab)2-3ab-4=0. 解得 ab=4 或 ab=-1(舍去). 1 1 3 所以 S△ABC= absin C= ×4× = 3. 2 2 2 2.证明 (1)AC 与 BD 交于 O 点,连接 EO. (12 分) (14 分) (7 分) (3 分)

(6 分)

正方形 ABCD 中, 2BO=AB,又因为 AB= 2EF, ∴BO=EF,又因为 EF∥BD, ∴EFBO 是平行四边形,

∴BF∥EO,又∵BF?平面 ACE,EO?平面 ACE, ∴BF∥平面 ACE. (7 分)

(2)正方形 ABCD 中,AC⊥BD,又因为正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂

直,BD?平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 ACE=AC, ∴BD⊥平面 ACE,∵EO?平面 ACE, ∴BD⊥EO,∵EO∥BF,∴BF⊥BD. (14 分)

1 3.解 (1)由题意得,w(t)=f(t)· g(t)=?4+ t ?(115-|t-15|)(1≤t≤30,t∈N*) ? ? (5 分)

??4+ t ??t+100?,?1≤t<15,t∈N ? ? ? (2)因为 w(t)=? 1 ??4+ t ??130-t?,?15≤t≤30,t∈N ? ? ?
1
* *

(7 分)

1 25 ①当 1≤t<15 时,w(t)=?4+ t ?(t+100)=4?t+ t ?+401≥4×2 25+401=441, ? ? ? ? 25 当且仅当 t= ,即 t=5 时取等号. t 1 130 ②当 15≤t≤30 时,w(t)=?4+ t ?(130-t)=519+? t -4t?, ? ? ? ? 1 可证 w(t)在 t∈[15,30]上单调递减,所以当 t=30 时,w(t)取最小值为 403 . 3 (13 分) 1 1 由于 403 <441,所以该城市旅游日收益的最小值为 403 万元. 3 3 (14 分) 4.(1)证明 易求 A(2,1),B(-2,1).(2 分)
? ?x0=2?m-n?, x2 → → → 0 设 P(x0,y0),则 +y2=1.由OP=mOA+nOB,得? 0 4 ?y0=m+n, ?

(10 分)

4?m-n?2 1 1 所以 +(m+n)2=1,即 m2+n2= .故点 Q(m,n)在定圆 x2+y2= 上. 4 2 2 (8 分) y1y2 1 (2)解 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 =- . x1x2 4 平方得 x2x2=16y2y2=(4-x2)(4-x2),即 x2+x2=4. 1 2 1 2 1 2 1 2 因为直线 MN 的方程为(x2-x1)x-(y2-y1)y+x1y2-x2y1=0, 所以 O 到直线 MN 的距离为 d= |x1y2-x2y1| ?x2-x1?2+?y2-y1?2 , (12 分) (10 分)

1 1 所以△OMN 的面积 S= MN· |x1y2-x2y1| d= 2 2 = 1 2
2 x2y2+x2y2-2x1x2y1y2 1 2 1

= =

1 2

x2 x2 1 2 1 2 x1?1- 4 ?+x2?1- 4 ?+ x2x2 ? ? 2? ? 212

1 2 2 x +x =1. 2 1 2 (16 分) (2 分)

故△OMN 的面积为定值 1. 5.解 (1)n=1 时,8a1=a2+4a1+3,a1=1 或 a1=3. 1 当 n≥2 时,8Sn-1=a2-1+4an-1+3, n 1 2 an=Sn-Sn-1= (an+4an-a2-1-4an-1), n 8 从而(an+an-1)(an-an-1-4)=0 因为{an}各项均为正数,所以 an-an-1=4. 所以,当 a1=1 时,an=4n-3;当 a1=3 时,an=4n-1. 又因为当 a1=1 时,a1,a2,a7 分别为 1,5,25,构成等比数列, 所以 an=4n-3,bn=5n 1. 当 a1=3 时,a1,a2,a7 分别为 3,7,27,不构成等比数列,舍去.


(6 分)

(11 分) (2)假设存在 a,理由如下: 由(1)知,an=4n-3,bn=5n 1,从而 an-lonabn=4n-3-loga5n 1=4n-3-(n-1)loga5=(4-loga5)n-3+loga5. 4 由题意,得 4-loga5=0,所以 a= 5. 6.解 (1)因为 f(x)≤f′(x),所以 x2-2x+1≤2a(1-x), 又因为-2≤x≤-1, 所以 a≥? (16 分)
- -

(12 分)

?x -2x+1? 在 x∈[-2,-1]时恒成立,因为x -2x+1=1-x≤3, ? 2 2 2?1-x? ? 2?1-x? ?max
2

2

3 所以 a≥ . 2 (2)因为 f(x)=|f′(x)|,所以 x2+2ax+1=2|x+a|, 所以(x+a)2-2|x+a|+1-a2=0,则|x+a|=1+a 或|x+a|=1-a. ①当 a<-1 时,|x+a|=1-a,所以 x=-1 或 x=1-2a; ②当-1≤a≤1 时,|x+a|=1-a 或|x+a|=1+a, 所以 x=± 或 x=1-2a 或 x=-(1+2a); 1 ③当 a>1 时,|x+a|=1+a,所以 x=1 或 x=-(1+2a). (10 分) (7 分)

(4 分)

? ?f′?x?,f?x?≥f′?x?, (3)因为 f(x)-f′(x)=(x-1)[x-(1-2a)],g(x)=? ? ?f?x?,f?x?<f′?x?,

1 ①若 a≥- ,则 x∈[2,4]时,f(x)≥f′(x),所以 g(x)=f′(x)=2x+2a, 2

从而 g(x)的最小值为 g(2)=2a+4; 3 ②若 a<- ,则 x∈[2,4]时,f(x)<f′(x),所以 g(x)=f(x)=x2+2ax+1, 2 3 当-2≤a<- 时,g(x)的最小值为 g(2)=4a+5, 2 当-4<a<-2 时,g(x)的最小值为 g(-a)=1-a2, 当 a≤-4 时,g(x)的最小值为 g(4)=8a+17. 3 1 ③若- ≤a<- ,则 x∈[2,4]时, 2 2
? 2 ?x +2ax+1,x∈[2,1-2a? g(x)=? ? ?2x+2a, x∈[1-2a,4]

(12 分)

(14 分)

当 x∈[2,1-2a)时,g(x)最小值为 g(2)=4a+5; 当 x∈[1-2a,4]时,g(x)最小值为 g(1-2a)=2-2a. 3 1 因为- ≤a<- ,(4a+5)-(2-2a)=6a+3<0, 2 2 所以 g(x)最小值为 4a+5, 综上所述,

[g(x)]min

?1-a ,-4<a<-2, ? =?4a+5,-2≤a<-1, 2 ?2a+4,a≥-1. ? 2
8a+17,a≤-4,
2

(16 分)


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