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高中数学教学案例的反思----一元二次不等式及其解法


高中数学教学案例的反思
———— 一元二次不等式及其解法 一、教学内容分析 一元二次不等式的解法是高中重要的基本功,也是初中与高中的衔接点,进一步熟悉不等式的性 质的体现,通过学习,让学生了解一元二次不等式的本质,学会一元二次不等式的一般解法思路,理 解一元二次不等式的解与对应的一元二次方程根的关系。 二、学生学习情况分析 学生在初中接触过一元二次方程求根,也会解答简单的一元二次不等式。但学生在初中学习的方法 比较杂,需要规范一下一般的解答思路。 三、设计思想 由具体的一元二次不等式入手,通过学生的解答,使学生体会利用图像的直观性准确的把握一元二 次方程、一元二次函数、一元二次不等式三者之间的关系,并由此解答相关的问题。 四、教学目标 【读一读学习要求,目标更明确】 1.会解简单的一元二次不等式. 2.了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系. 【看一看学法指导,学习更灵活】 1.利用图象的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关系,牢固地记忆相关结论. 2.解一元二次不等式关键是熟练掌握一元二次不等式解集的结构特征,“对号入座”即可快速地写出 其解集. 五、教学重点与难点: 教学重点 1.一元二次不等式的解法与对应方程的根及对应函数的图像的关系。 2.含参不等式的处理方法 教学难点: 一元二次不等式的解法与对应方程的根及对应函数的图像的关系的应用。 六、教学过程设计 【设计思路】 (一)解答实例、得出联系 一、问题探究一 三个“二次”之间的联系 2 问题 下图是函数 y=x -x-6 的图,对应值表:

x y

3 6
2

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则方程 x -x-6=0 的解集为 ; 2 不等式 x -x-6>0 的解集为 ; 2 不等式 x -x-6<0 的解集为 . 通过上面的例子,我们可以得出以下结论: (1)从函数的观点来看: 2 2 一元二次不等式 ax +bx+c>0 (a>0)的解集,就是二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的图象在
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部分的点的横坐标 x 的集合;ax +bx+c<0 (a>0)的解集,就是二次函数 y=ax +bx +c (a>0)的图象在 部分的点的横坐标 x 的集合. (2)从方程的观点来看: 2 一元二次方程的根是二次函数的图象与 的横坐标,一元二次不等式 ax +bx+c>0 (a>0)的解 2 集,就是 的 实 数 的 集 合 ; ax + bx + c<0 (a>0) 的 解 集 , 就 是 的实数的集合. 一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值. 问题探究二 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及二次函数的图象之间的关系

2

2

? ? b 2 ? 4ac
二 次
2

??0
函 数

??0

??0

y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图像
一 元 二 次 方 程

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

【设计意图】 由特殊到一般,使学生自己探索一元二次不等式的解与一元二次函数的图像及一元二次方程根的关 系。让学生自己建构知识体系。 (二)理解关系、解决问题 求下列不等式的解集: (1)2x2-3x-2≥0; (2)-3x2+6x>2.

小结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”:第一步,化二次项的系数为正数;第二步,求解 相应的一元二次方程的根;第三步,根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集. 【设计意图】 通过解答两个小题,使学生总结一下解一元二次不等式的解答步骤。 (三)教师引导、深化认识 例 1:不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 3或x ? ?1} ,求 b 与 c
2

变式 1:不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} 求 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集
2 2

变式 2:若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} ,求关于 x 的不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解 集.
2 2

小结 利用根与系数关系寻找根之间的联系,借此求出方程的根,其中观察根与系数关系的结构变化 是解题的关键.
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例 2、解关于 x 的一元二次不等式:ax2+(a-1)x-1>0. 小结 解 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 不等式时要注意对参数分类讨论.讨论一般分为三个层次,第 一层次是二次项系数为零和不为零;第二层次是有没有实数根的讨论,即判别式 Δ>0,Δ=0,Δ<0;第 三层次是根的大小的讨论. 【设计意图】 使学生进一步理解一元二次不等式的解与对应一元二次方程的根的关系 七、教学反思 1.本课借助于“POWERPOINT 课件” ,尽量使全体学生参与活动,使原来枯燥单一知识变得直观, 便于想象,使学生觉得简单易懂,同时,运用“多媒体课件”辅助教学,节省了板演的时间,从而给 学生留出更多的时间自悟、自练、自查,充分发挥学生的主体作用,这充分显示出“多媒体课件”与 探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。 2.利用两个例题及其引申,通过一题多变,层层深入的探索,以及对猜测结果的检测研究,培养学生 思维能力,使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法. 循序渐进的让学生把握这类问 题的解法,虽然从表面上看,我这一堂课的教学容量不大,但事实上,学生们的思维运动量并不会小。 总之,如何更好地选择符合学生具体情况,满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂教学节奏仍 是我今后工作中的一个重要研究课题.而要能真正进行素质教育,培养学生的创新意识,自己首先必须 更新观念——在教学中适度使用多媒体技术,让学生有参与教学实践的机会,能够使学生在学习新知 识的同时,激发起求知的欲望,在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验,于不知不觉 中改善了他们的思维品质,提高了数学思维能力。

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