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201502珠海高一数学(A卷)答案0131


珠海市 2014~2015 学年度第一学期期末学生学业质量监测

高一数学(A 卷)
试卷满分为 150 分,考试用时 120 分钟.考试内容:必修一、必修二. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请将正确的选项填涂在答题卡)BADDA BDCBB AD 题号 答案 1 B 2

A 3 D 4 D 5 A 6 B 7 D 8 C 9 B 10 B 11 A 12 D

1.已知集合 A ? {0,1,2,4} , B ? {?1,0,1,3} ,则 A ? B ? A. {?1,0,1,2,3,4} B. {0,1} C. ?? 1,2,3,4? D. {0,1, 2}

2.已知点 A(3, a) 在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上,则 a ? A. 1 B. ?1 C. 2 D. ? 2

3.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为
0 A. 135

B. 120

0

C. 45

0

D. 60

0

4.已知两直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : ax ? 8 y ? 3 ? 0 平行,则 a 的值是 A.3 B.4 C.6 D.-6 )

x 5.若函数 y=f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数,且 f (3) ? 1 ,则 f ( x)=(

A. log3 x

B.

1 3x

C. log1 x
3

D. 3

x?2

6.下列四个说法中错误的个数是 ①两条不同直线分别垂直于同一条直线,则这两条直线相互平行 ②两条不同直线分别垂直于同一个平面,则这两条直线相互平行 ③两个不同平面分别垂直于同一条直线,则这两个平面相互平行

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④两个不同平面分别垂直于同一个平面,则这两个平面相互垂直 A.1 B.2 C.3 D.4

7.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的体积是(



A.2 3 C. 6 3

B. 4 3 D. 8 3

?1? 8.设 a ? log1 5 , b ? 3 , c ? ? ? ,则有( ?5? 3
A. a ? b ? c
2 2

1 5

0.3

) C. a ? c ? b D. c ? a ? b )

B. c ? b ? a

9.圆 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 对称的圆方程是( A. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ?
2 2

1 2 1 2 2 C. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 2
2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 2
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 2
2 2

10.若函数 f ( x) ? x ? bx ? 1 在区间 (0,1) 和 (1,2) 上各有一个零点,则 b 的取值范围是 A. (??,?2) B. ( ?

5 , ?2) 2

C. (?

5 ,?? ) 2

D. ( ?? ,? ) ( )

5 2

11.下列所给 4 个图象中,与所给 3 件事吻合最好的顺序为

(1)小明离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; (2)小明骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)小明出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.

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离开家的距离

离开家的距离

离开家的距离

离开家的距离

O
(1)

时间

O
(2)

时间

O
(3)

时间

O
( 4)

时间

A. (4) (1) (2) B. (4) (2) (3)

C. (4) (1) (3)

D. (1) (2) (4)

2 12.已知二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a ,若 ? 3 ? a ? 0 , f (m) ? 0 ,则 f (m ? 3) 的值为 (



A.正数

B.负数

C.0

D.符号与 a 有关

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。) 13. 函数 f ( x) ? 2 ? x ? ln(x ?1) 的定义域是 . (用区间表示)(1,2] . 27?

14.棱长为 3 的正方体的外接球(各顶点均在球面上)的表面积为

15.若 x log4 5 ? 1 ,则 5 的值为
x

.4(教材 P75 B组题改编)

?2 ? x , x ? 0 ? 16.已知函数 f ( x) ? ?log2 x,0 ? x ? 2 ,则 f ( 2 ) ? ? x?2 ?2 , x ? 2



1 2

17 . 幂 函 数 f ? x ? 的 图 象 过 点 3, 3 , 则 f ? x ? 的 解 析 式 是 _____________. f ( x) ?

?

?

x ( x ? 0) (教材 P83第3题改编)

18.如图:四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,其它 四个侧面都是侧棱长为 2 5 的等腰三角形,则二面角 V-AB-C 的平面 角大小为 . 60
0

19.过点 ?1,2? 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为



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x ? y ? 3 ? 0 或 y ? 2 x (教材 P 100 题改编)
20.在 xOy 平面内的直线 x ? y ? 1 上确定一点 M ,则 M 到空间直角坐标系 Oxyz 的点 N (2,3,1) 的最小距离为_________ 3(原创题) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (教材 P 83 题改编)

1 . 2x ? 1 (1)求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总是为增函数; (2)确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数;
21.已知函数 f ( x) ? a ? (1) ? f ( x) 的定义域为 R, 设 x1 ? x2 ,

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ?

1 1 2 x1 ? 2 x2 ? a ? = ,(3 分) 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

? x1 ? x2 , ? 2x1 ? 2x2 ? 0,(1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数.(6 分) (2) 法一:

? f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ?
解得: a ?

1 1 ? ?a ? x ,(8 分) 2 ?1 2 ?1
?x

1 1 1 . ? f ( x) ? ? x . (10 分) 2 2 2 ?1 ? f ( x) ? 0 补充: 法二: ? f ( x) 的定义域为 R, f ( x) 为奇函数 1 1 a? 0 ?0 即: 解得: a ? . (8 分) 2 2 ?1 1 1 1 1 1 f (? x) ? ? ? x ?? ? x ? ? f ( x) 当 a ? . 时, 2 2 2 ?1 2 2 ?1 1 故 a ? . 满足条件(10 分) 2

(命题根据:教材 P96 例4改编 ) 22.过点 M ?

?3 1? , ? ? 作直线 l ,使其夹在直线 l1 : 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 与 l2 : 3x ? 8 y ? 15 ? 0 之间的 ?2 2?

线段被 M 平分,求直线 l 的方程.

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22. 解:设直线 l 与直线 l1 、 l2 分别交于 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P2 , 则 (2 分) 2 x1 ? 5 y1 ? 10 ? 0 ①,

又因为 M ?

?3 1? , ? ? 是线段 P 1P 2 的中点,得 P 2 (3 ? x1 , ?1 ? y1 ) . (4 分) ?2 2?
??②, (6 分)

∵ P2 在 l2 上,∴ 3(3 ? x1 ) ? 8(?1 ? y1 ) ? 15 ? 0 ,即 3x1 ? 8 y1 ?16 ? 0 解①②联立所得方程组,有 x1 ? 0 , y1 ? 2 .(8 分) 由两点式方程,可得直线 l 的方程:

y?2 x?0 ,即 5x ? 3 y ? 6 ? 0 为所求.(10 分) ? 1 3 ? ?2 ?0 2 2

(命题根据:往年珠海期末测试改编)

23.已知圆 C 的圆心在直线 y ? x ? 1 上,半径为 2 ,且圆 C 经过点 P(5,4) 和点 Q(3,6) . (1)求圆 C 的标准方程; (2)求过点 A(1,0) 且与圆 C 相切的切线方程. 解:(1)? 半径为 2 ,设圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? 2 , C ( a, b)
2 2

(1 分)

点 C 在直线 y ? x ? 1 上,则有 b ? a ? 1 (2 分)

? 圆 C 经过点 P(5,4) 和点 Q(3,6) , 2 2 2 2 即 (5 ? a) ? (4 ? b) ? 2 , (3 ? a) ? (6 ? b) ? 2 (3 分) 解得: a ? 4 , b ? 5 , 2 2 圆 C : ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 2 (5 分) (2)①若直线 l 的斜率不存在,即直线是 x ? 1 ,与圆相离,不符合题意. (6 分)
②若直线 l 斜率存在,设直线 l 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(4,5)到已知直线 l 的距离等于半径 2 , 即:

4k ? 5 ? k k ?1
2

? 2

(8 分)解之得 k ? 1 或 k ?

23 . (9 分) 7

所求切线方程是 y ? x ? 1 , y ?

23 23 x ? . (10 分) 7 7

24.三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,CC1 ? 平面 ABC ,?ABC 是边长为 4 的等边三角形, D 为 AB 边

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中点,且 CC1 ? 2 AB . (1)求证:平面 C1CD ? 平面 ABC ; (2)求证: AC1 / / 平面 CDB1 ; (3)求三棱锥 D ? CAB1 的体积. (1)证明:因为 CC1 ? 平面 ABC , 又 CC1 ? 平面 C1CD , 所以平面 C1CD ? 平面 ABC . (2 分) (2)证明:连结 BC1 交 B1C 于点 O ,连结 DO .
C1 B1

则 O 是 BC1 的中点,

DO 是 ?BAC1 的中位线.
O

A1

所以 DO / / AC1 . (4 分) 因为 DO ? 平面 CDB1 ,

AC1 ? 平面 CDB1 ,
所以 AC1 / / 平面 CDB1 . (6 分) (3)解:因为 CC1 ? 平面 ABC , BB1 // CC1 所以 BB1 ? 平面 ABC . 所以 BB1 为三棱锥 D ? CBB1 的高. (8 分)

C D A

B

1 1 1 3 2 16 3 VD ?CAB1 ? VB1 ?CBD ? S?BCD ? BB1 ? ? ? ? 4 ?8 ? . 3 3 2 4 3

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所以三棱锥 D ? CAB1 的体积为 (命题根据:教材 P 122 例5改编)

16 3 . (10 分) 3

25.对于函数 f ? x ? ,若 f ? x ? ? x ,则称 x 为 f ? x ? 的“不动点” ;若 f ? f ? x ?? ? x ,则称 x 为 f ? x ? 的“稳定点” . 函 数 f ? x? 的 “ 不 动 点 ” 和 “ 稳 定 点 ” 的 集 合 分 别 记 作 A 和 B , 即
A ? x f? ? x? x ,

?

?

B ?

? x? f ? f?? x? ? .

x

(1)求证:

A ? B;
2

(2)若 f ( x) ? ax ? 1 (a ? R, x ? R) ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 25.解 :(1)若 A ? ? ,则 A ? B 显然成立; (1 分) 若 A ? ? ,设 t ? A ,则 f ? t ? ? t ,

f? ? f ? t ?? ? ? f ?t ? ? t ,即 t ? B ,从而 A ? B . (3 分)
(2)A 中元素是方程 f ? x ? ? x 即 ax2 ? 1 ? x 的实根.
?a ? 0, 1 由 A ? ?知a ? 0或 ? (4 分)即 a ? ? (5 分) 4 ?? ? 1 ? 4a ? 0,

.B 中元素是方程 a ? ax 2 ? 1? ? 1 ? x, 即a 3 x 4 ? 2a 2 x 2 ? x ? a ? 1 ? 0 的实根.
2

由 A ? B 知上述方程左边含有一个因式 ax 2 ? x ? 1 , 所以方程可化为 ax2 ? x ? 1 a2 x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 . (6 分) 要 A=B,则只需方程 a 2 x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 ①没有实根,或①的实根就是方程 ax 2 ? x ? 1 ? 0 ②的实 根.(6 分) 若①无实根则 ? ? a2 ? 4a2 ?1 ? a ? ? 0 ,解得 a ? 若①有实根,且①的实根是②的实根, 当a ?

?

??

?

3 ; (7 分) 4

3 3 2 2 2 时满足条件;当 a ? 时,则应满足; a x ? ax ? a ? 1 ? a(ax ? x ? 1) , x ? R ,此时 4 4

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a 无解
故 a 的取值范围是 ? ? 1 , 3 ? .(10 分) ? ? 4 4? ? (以上答案和评分标准仅为参考,如有不同的解答,请参照以上评分标准计分)

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