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函数奇偶性-习题课课件


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1.偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 任意 一个x,都 有 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 任意 一个x,都 有 f(-x)= -f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数.
3.奇偶性: 如果函数f(x)是奇函数或偶函数 那么,就说函 数f(x)具有奇偶性. 4.奇函数的图象关于 原点 对称,反过来,如果一个函数的 图象关于原点对称,那么这个函数是 奇函数 ;偶函数 的图象关于 y轴 对称,反过来,如果一个函数的图象关 于y轴对称,那么这个函数是 偶函数 .

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5.若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x) 在[-b,-a]上是 增 函数,且有 最小值-M . 6.若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)= 0 . 7.若y=f(x)是偶函数,则f(x)与f(|x|)的大小关系是 f(x)=f(|x|) .

8.若f(x)是奇函数或偶函数,则其定义域关于 原点 对称.

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学点一

奇偶性的判定

判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(x-1)· 1 ? x ;

1? x

2 1 ? x (2)f(x)= . | 3 ? x | ?3

【分析】先观察定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x) 之间的关系.若f(x)本身能化简,应先化简,再进行判断, 可避免失误.

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【解析】(1)先确定函数的定义域, 由 1 ? x ≥0得-1≤x<1,其定义域不关于原点对称, 1? x ∴f(x)=(x-1) 1 ? x 既不是奇函数,也不是偶函数.
1?x

(2)函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称, 2 2 1 ? x 1 ? x ∵f(x)= = 3?x?3 ?x ∴f(-x)=
1 ? ( ? x) 2 = x

即函数f(x)是奇函数.

1?x x

2

= -f(x),

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【评析】(1)判断函数奇偶性分两步:一是定义域是否 关于原点对称;二是判断f(-x)=f(x)还是f(-x)=-f(x).
(2)如果一个函数的定义域关于原点不对称,那么这个 函数既不是奇函数,也不是偶函数. (3)定义域关于原点对称,满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数, 既是奇函数,又是偶函数,如f(x)=0,x∈R.

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判断下列函数的奇偶性: 1 1 2 (1)f(x)=x+ ; (2)f(x)=x + 2 ; x x x?1 (3)f(x)=x+ ; (4)f(x)= 1 ? x2 x2 ? 1 .
x

(1)定义域为A={x|x∈R,且x≠0}.

1 1 因此,当x∈A时,-x∈A.∵f(-x)= -x+ = -(x+ ) = ?x x f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)定义域为A={x|x∈R,且x≠0}. 因此,当x∈A时,-x∈A. 1 1 2 2 f(-x)=(-x) + ( ? x) =x + 2 =f(x). x 1 ∴函数f(x)=x2+ 2 为偶函数. x
2

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(3)函数的定义域为A={x|x>0},关于原点不对称,

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x?1 ∴函数f(x)= 为非奇非偶函数. x
(4)由

?

1-x2≥0

得x 2 ? 1

x2-1≥0

∴x=±1. ∴函数的定义域为{-1,1}, 于是f(x)=0,x∈{-1,1}. 满足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0. ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.

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学点二

由奇偶性求函数解析式

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设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)= x2 +x+1,求 函数解析式. 【分析】由奇函数的图象关于原点对称,找x≥0和x<0时解析 式间的联系. 【解析】当x<0时,-x>0,由已知得f(-x)=x2-x+1,∵f(x)为R上 的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,∴f(x)=-x2+x-1,又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.



f(x) ?

?

x2+x+1,x>0, 0,x=0,

-x2+x-1,x<0.

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【评析】(1)求f(x)在什么范围上的解析式,则取x为这 一范围上的任一值,再转化为条件.
(2)在求函数的解析式时,应紧扣题目中的已知条件, 当求自变量在不同区间上的不同表达式时,要用分段函数 的形式表示出来.

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已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时, f(x)的表达式. 设x<0,则-x>0,且满足表达式f(x)=x|x-2|, ∴f(-x)= -x|-x-2|=-x|x+2|. 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)= -f(x),

∴-f(x)= -x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.

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学点三

奇偶性的证明

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函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b), 求证:f(x)为奇函数. 【分析】因为对于a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),所以可 以令a,b为某些特殊值,得出f(-x)=-f(x). 【证明】令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.

又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b)得
f(-x+x)=f(-x)+f(x), 即0=f(-x)+f(x), ∴f(-x)= -f(x), ∴f(x)为奇函数. 【评析】证明函数的奇偶性,即证明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x) 成立.这需要对给定函数方程中的x,y赋值,使其变成含 f(x),f(-x)的式子,然后判定.

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设函数f(x)定义在 (?l, l ) 上.证明:f(x)+f(-x)是偶函数, f(x)-f(-x)是奇函数. 证明:由于对任意的x∈ (?l, l ),必有-x∈(?l, l ) . 可见f(-x)的定义域也是 (?l, l ) . 若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).

则F(x)与G(x)的定义域也是 (?l, l ) ,显然是关于原点对称的区 间,而且F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]
=f(x)+f(-x)=F(x),

G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)
=-[f(x)-f(-x)]=-G(x). 所以F(x)为偶函数,而G(x)为奇函数.

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学点四

奇偶性与单调性的综合应用

设函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且f(x) 1 在(0,+∞)上是减函数,且f(x)<0,试判断函数F(x)= f ( x) 在(-∞,0)上的单调性,并给出证明. 【分析】F(x)的单调性的判定与f(x1),f(x2)的大小有关, 而f(x)在(0,+∞)上为减函数,可由此建立关系.

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【解析】F(x)在(-∞,0)上是增函数,以下进行证明: 设x1,x2∈(-∞,0),x1<x2,则x2-x1>0,且-x1,-x2∈(0,+∞),且x1>-x2, ∴(-x2)-(-x1)=x1-x2<0, ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴f(-x2)-f(-x1)>0① 又∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数,

∴f(-x1)= -f(x1),f(-x2)= -f(x2),
由①式得-f(x2)+f(x1)>0,
f(x1 ) ? f(x2 ) 1 1 ? ? F(x2)-F(x1)= f(x2 ) f(x1 ) f(x1 )f(x2 )

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又∵f(x)在(0,+∞)上总小于0, ∴f(x1)=-f(-x1)>0, f(x2)=-f(-x2)>0, f(x1)· f(x2)>0, 又∵f(x1)-f(x2)>0, ∴F(x2)-F(x1)>0,且x2-x1>0,
1 故F(x)= 在(-∞,0)上是增函数. f ( x)

【评析】解决综合性问题,关键是熟练掌握函数的性质.

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已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f(

1 ) = -1,当且仅当 2

0<x<1时,f(x)<0,且对任意x,y∈(-1,1)都有 f(x) + f(y) =

x?y f( ),试证明: 1 ? xy
(1)f(x)为奇函数;

(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

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x?y 证明:(1)由f(x)+f(y)=f( ), 1 ? xy 令x=y=0,得f(0)=0.

x?x 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f( )=f(0)=0, 2 1? x
∴f(x)=-f(-x), ∴f(x)为奇函数.

(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减,
令0<x1<x2<1,即x2-x1>0,

x 2 ? x1 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f( ), 1 ? x1 x 2

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∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0, ∴
x 2 ? x1 1 ? x1 x 2

>0,

又∵(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0, ∴0<x2-x1<1-x1x2, x 2 ? x1 ∴0< <1, 1 ? x1 x 2 x ? x 2 1 由题意知 <0,即f(x2)-f(x1)<0, 1 ? x1 x 2 ∴f(x)在(0,1)上为减函数. 又∵f(x)为奇函数,且f(0)=0,∴f(x)在(-1,1)上单调递减.

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学点五

奇偶性在求变量范围中的应用

设f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且有 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),求a的取值范围. 【分析】要求a的取值范围,就要列关于a的不等式(组), 因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具 体的代数不等式”是关键.

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【解析】由f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增 知 f(x)在(0,+∞)上递减.
1 7 2 ) + >0, 4 8 1 5 2a2-2a+3=2(a - )2+ >0, 2 2

∵2a2+a+1=2(a+

且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),
∴2a2+a+1>2a2-2a+3, 即3a-2>0,
2 解之得a> . 3 2 ∴a的取值范围是a> .

【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定 义的逆命题.

3

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(1)定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数,且f(1-a)+f(1a2)<0,求实数a的取值范围;
(2)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函 数,若g(1-m)<g(m)成立,求m的取值范围. (1)∵f(1-a)+f(1-a2)<0,∴f(1-a)<-f(1-a2),∵f(x)为奇函数,∴f(1-a)<f(a2-1),
又∵f(x)在(-1,1)上为减函数, ∴

?

1-a>a2-1 -1<1-a<1 -1<a2-1<1,解得0<a<1.

(2)因为函数g(x)在[-2,2]上是偶函数,则由g(1-m)<g(m),可得g(|1m|)<g(|m|),

又当x≥0时,g(x)为减函数,得到

?

|1-m|≤2
|m|≤2 |1-m|>|m|,. 解之得-1≤m<

1 2

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1.在函数的奇偶性中应注意什么问题? (1)对于函数奇偶性的理解 ①函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数 的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同.从这个意 义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是 函数的“整体”性质,只有对函数定义域内的每一个值x,都 有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(或偶)函数. ②奇(或偶)函数的定义域必须是关于原点对称的,如果函数 的定义域不关于原点对称,则此函数既不是奇函数,也不是偶 函数.

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(2)函数按奇偶性分类 ①有的函数是奇函数; ②有的函数是偶函数;

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③如果对于函数定义域内任一个x,f(-x)=f(x)与f(-x)= f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数,又是偶函数.既 是奇函数又是偶函数的表达式是唯一的:f(x)=0,x∈A, 定义域A是关于原点对称的非空数集; ④有的函数既不是奇函数,也不是偶函数.

(3)用定义判断函数奇偶性的步骤
①考查定义域是否关于原点对称; ②判断f(-x)=±f(x)之一是否成立.

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2.奇偶函数的图象有什么几何性质? (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐 标原点为对称中心的中心对称图形,反之,如果一个函数 的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个 函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的 轴对称图形;反之如果一个函数的图象关于y轴对称,则 这个函数是偶函数. (2)若奇函数y=f(x)在x=0时有定义,则由奇函数定义知 f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0),所以f(0)=0. (3)奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致, 偶函数则相反.

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1.如果已知函数具有奇偶性,只要画出它在y轴一侧的图象, 则另一侧的图象可对称画出. 2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同;偶函数在 关于原点对称的区间上的单调性相反. 3.判断函数的奇偶性时,我们可以根据f(-x)=±f(x),或是 根据f(-x)±f(x)=0,或是根据f(-x)f(x)=±1等途径来判断. 4.利用定义判断函数的奇偶性时,既要判断f(x)与f(-x)的 关系,又不能忽略与定义域有关的问题,如关于原点对称、 x的任意性等.

因此,在解题中先确定函数的定义域不仅是解题程序的需要, 可以避免许多错误,而且有时还可以避开讨论,简化解题的 过程.

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