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2010-2011学年广东省东莞市高二(上)期末数学试卷(理科)(a卷)


2013-2014 学年广东省东莞市高二(上)期末数学 试卷(理科) (A 卷)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请用 2B 铅 笔把答题卡中所选答案的标号涂黑. ) 1. (5 分)对于实数 a,b,c,“ac >bc ”是“a>b”的( A 充分不必要 B 必要不充分 . 条件 . 条件 C

充要条件 D 既不充分也 . . 不必要条件 2. (5 分)在△ ABC 中, A B . .
2 2 2



,AC=1,∠ A=30°,则△ ABC 面积为( C D 或 或 . .



3. (5 分)设抛物线 y =8x 上一点 P 到直线 x=﹣2 的距离是 6,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A 12 B 8 C 6 D 4 . . . .



4. (5 分)设 a>0,b>0 且 a+b=1 则 A 2 . B 4 .

的最小值是( C .

) D 6 .

5. (5 分)若规定 A {x|x≤﹣2 或 . x≥1} 6. (5 分)若椭圆 A 3 .

=ad﹣bc 则不等式 B {x|﹣2<x< . 1}

≤0 的解集( C {x|﹣2≤x≤1} .
2


?

D .

的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则 m=( B 6 . C 9 . D 12 .



7. (5 分) (2010?福建) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=﹣11, a4+a6=﹣6, 则当 Sn 取最小值时, n 等于 ( A 6 B 7 C 8 D 9 . . . . 8. (5 分)若数列{an}的通项公式为 A 5 . B 6 . C 7 . ,其前 n 项和为 D 8 . ) ,则 n 为( )



9. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠ C=120°,c=2a,则( A a>b B a<b . 1

C.a=b D.a 与 b 的大小不确定 10. (5 分)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此 双曲线的离心率为( ) A B C D . . . . 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置上. ) 11. (5 分)已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则?p 为 _________ . 12. (5 分)在等比数列{an}中,a1?a9=16,则 a5= _________ . 13. (5 分)甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60°的方向,两船相距 a 海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度 是乙船的 倍,则甲船应取北偏东 θ 方向前进,才能尽快追上乙船,此时 θ= _________ . 14. (5 分)过点 P(3,4)的动直线 l 与 x,y 轴的交点分别为 A,B,过 A,B 分别作 x,y 轴的垂线,则两垂线 交点 M 的轨迹方程为: _________ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 2 2 15. (12 分)已知命题 p:关于 x 的方程 x +2x+a=0 有实数解,命题 q:关于 x 的不等式 x +ax+a>0 的解集为 R, 若(?p)∧q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

16. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,C=2A,a+c=10,cosA= . (1)求 的值; (2)求 b 的值.

17. (14 分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A、B,要根据该产品的研制 成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表: 产品 A (件) 产品 B (件) 30 研制成本、 搭载费用之和 (万元) 20 计划最大资金额 300 万元 10 5 每件产品重量(千克) 最大搭载重量 110 千克 80 60 每件预计收益(万元) 2

试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?

18. (14 分)已知直角梯形 PDCB 中(如图 1) ,PD=2,DC=BC=1,A 为 PD 的中点, 将△ PAB 沿 AB 折起,使面 PAB⊥ 面 ABCD(如图 2) ,点 F 在线段 PD 上,PF=2FD. (1)求异面直线 BP 与 CF 所成角的余弦值; (2)求二面角 D﹣AC﹣F 的余弦值; (3)在四棱锥 P﹣ABCD 的棱 PC 上是否存在一点 E,使得 BE∥ 平面 AFC,若存在,求出 E 点的位置,若不存在, 请说明理由. 3

19. (14 分)如图,椭圆 C: 一点,并满足

+

=1(a>

)的离心率

,其两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆在第一象限弧上

?

=1,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 P 点坐标; (3)当直线 PB 的斜率为 时,求直线 AB 的方程.

4

20. (14 分)已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 a1=1,记数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 a2,a3; (2)求证:数列 是等比数列;
*

的两实根,且

(3)设 bn=anan+1,问是否存在常数 λ,使得 bn>λSn 对?n∈N 都成立,若存在,求出 λ 的取值范围,若不存在,请 说明理由.

5

2010-2011 学年广东省东莞市高二(上)期末数学 试卷(理科) (A 卷)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请用 2B 铅 笔把答题卡中所选答案的标号涂黑. ) 2 2 1. (5 分)对于实数 a,b,c,“ac >bc ”是“a>b”的( ) A 充分不必要 B 必要不充分 . 条件 . 条件 C 充要条件 D 既不充分也 . . 不必要条件 考点: 必要条件、充分 条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 2 2 解:若 ac >bc ,则 c≠0,则不等式等价为 a>b,即充分性成立, 2 2 若 c=0,若 a>b,则 ac >bc 不成立,即必要性不成立, 2 2 故,“ac >bc ”是“a>b”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键.
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2. (5 分)在△ ABC 中, A B . .

,AC=1,∠ A=30°,则△ ABC 面积为( C D 或 或 . .



6

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据题意和三角形的面积公式直接求出△ ABC 面积. 解答: 解:因为 ,AC=1,∠ A=30°,
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则△ ABC 面积为 S=

=

=



故选:B. 点评: 本题考查正弦定理中的三角形的面积公式,属于基础题. 3. (5 分)设抛物线 y =8x 上一点 P 到直线 x=﹣2 的距离是 6,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的方程求出准线方程,根据抛物线的定义和题意求出点 P 到该抛物线焦点的距离. 解答: 2 解:由抛物线 y =8x 得,p=2,则抛物线的准线方程 x=﹣2, 因为点 P 到直线 x=﹣2 的距离是 6, 所以根据抛物线的定义得,点 P 到该抛物线焦点的距离是 6, 故选:C. 点评: 本题考查了抛物线的标准方程以及定义的灵活应用,属于基础题.
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2



4. (5 分)设 a>0,b>0 且 a+b=1 则 A 2 . B 4 .

的最小值是( C .

) D 6 .

7

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵ a>0,b>0 且 a+b=1,
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∴ ∴

=(a+b) 的最小值是 3+2

=3+ .

=3+2

,当且仅当 b=

a=2﹣

取等号.

故选:C. 点评: 本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题.

5. (5 分)若规定 A {x|x≤﹣2 或 . x≥1}

=ad﹣bc 则不等式 B {x|﹣2<x< . 1}

≤0 的解集( C {x|﹣2≤x≤1} . D .
?



8

考点: 二阶行列式与逆矩阵;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;新定义. 分析: 按照新的运算 案 . 解答: 解:由题意可知:不等式 的解集
2

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=ad﹣bc,则不等式

≤0,可化为:2x?x+2(x﹣2)≤0,解此二次不等式即可得出答

≤0 可化为 2x?x+2(x﹣2)≤0

即 x +x﹣2≤0, 求得 x 的解集﹣2≤x≤1. 故选 C. 点评: 本题考查其他不等式的解法,解答关键是理解行列式的计算方法,是基础题.

6. (5 分)若椭圆 A 3 . B 6 .

的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则 m=( C 9 . D 12 .

2



9

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线和椭圆的性质即可得出. 解答:
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解:由抛物线 y =12x,可得焦点 F(3,0) . ∴ 椭圆
2

2

的右焦点为 F(3,0) .

∴ m﹣3=3 . 解得 m=12. 故选:D. 点评: 本题考查了抛物线和椭圆的性质,属于基础题.

7. (5 分) (2010?福建) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=﹣11, a4+a6=﹣6, 则当 Sn 取最小值时, n 等于 ( A 6 B 7 C 8 D 9 . . . . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 常规题型. 分析: 条件已提供了首项,故用“a1,d”法,再转化为关于 n 的二次函数解得. 解答: 解:设该数列的公差为 d,则 a4+a6=2a1+8d=2×(﹣11)+8d=﹣6,解得 d=2,
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所以

,所以当 n=6 时,Sn 取最小值.

故选 A 点评: 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力.

8. (5 分)若数列{an}的通项公式为 A 5 . B 6 . C 7 .

,其前 n 项和为 D 8 . 10

,则 n 为(



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析:
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由已知得 由此能求出结果. 解答: 解:∵ ∴ = , , , =

=

=

,从而

=



=



∵ 前 n 项和为 ∴

解得 n=7. 故选:C. 点评: 本题考查满足条件的项数的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.

9. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠ C=120°,c=2a,则( ) A. a>b B. a<b a=b C. D. a 与 b 的大小关系不能确定 11

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理和题意求出 sinA 的值,由正弦函数的性质和内角的范围判断出 A<30°,再判断出 B 的范围,从而 得到 A、B 大小关系,即可得 a、b 的大小关系. 解答: 解:由题意得,∠ C=120°,c=2a,
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根据正弦定理得,sinC=2sinA,即 2sinA= 所以 sinA= ,



又∠ C=120°,所以 A<30°, 又 B=180°﹣C﹣A=60°﹣A>30°=A,所以 b>a, 故选:B. 点评: 本题考查正弦定理,正弦函数的性质和内角的范围,以及三角形的边角关系.

10. (5 分)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此 双曲线的离心率为( ) A B C D . . . . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:
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12

设该双曲线方程为



=1(a>0,b>0) ,得点 B(0,b) ,焦点为 F(c,0) ,直线 FB 的斜率为﹣ .由垂

直直线的斜率之积等于﹣1,建立关于 a、b、c 的等式,变形整理为关于离心率 e 的方程,解之即可得到该双曲 线的离心率. 解答: 解:解:设该双曲线方程为 ﹣ =1(a>0,b>0) ,

可得它的渐近线方程为 y=± x,焦点为 F(c,0) , 点 B(0,b)是虚轴的一个端点 ∴ 直线 FB 的斜率为 kFB= =﹣ ,

∵ 直线 FB 与直线 y= x 互相垂直, ∴ ﹣ × =﹣1,得 b =ac ∵ b =c ﹣a , 2 2 2 2 ∴ c ﹣a =ac,两边都除以 a ,整理得 e ﹣e﹣1=0 解此方程,得 e= ,
2 2 2 2

∵ 双曲线的离心率 e>1, ∴ e= (舍负)

故选:B.

点评: 本题给出双曲线的焦点与虚轴一端的连线与渐近线垂直,求它的离心率,着重考查了双曲线的标准方程与简单几 何性质等知识,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置上. ) 11. (5 分)已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则?p 为 ?x∈R,sinx>1 . 考点: 命题的否定. 分析: 根据命题 p:?x∈R,sinx≤1 是全称命题,其否定为特称命题,将“任意的”改为“存在”,“≤“改为“>”可得答案. 解答: 解:∵ 命题 p:?x∈R,sinx≤1 是全称命题 ∴ ?p:?x∈R,sinx>1 故答案为:?x∈R,sinx>1.
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13

点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题.这里注意全称命题的否定为特称命题,反过来特称命题的否 定是全称命题. 12. (5 分)在等比数列{an}中,a1?a9=16,则 a5= ±4 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: .

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直接利用等比数列的性质列式求解 a5. 解答: 解:∵ 数列{an}是等比数列, ∴ , ,则 a5=±4.

又 a1?a9=16,∴ 故答案为:±4. 点评:

本题考查了等比数列的性质,在等比数列中,若 m+n=p+q=2k,且 m,n,p,q,k∈N ,则 是基础题.

*



13. (5 分)甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60°的方向,两船相距 a 海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度 是乙船的 倍,则甲船应取北偏东 θ 方向前进,才能尽快追上乙船,此时 θ= 30° . 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据题意画出图形,求出∠ CAB 与∠ B 的度数,设出追上乙船的时间,表示出 BC 与 AC,在三角形 ABC 中,利用 正弦定理列出关系式,即可求出 θ 的度数. 解答: 解:根据题意得:∠ CAB=60°﹣θ,∠ B=120°,设追上乙船的时间为 x,则有 BC=x,AC= x,
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在△ ABC 中,利用正弦定理 ∴ =

=

,即

=



sin(60°﹣θ) ,即 sin(60°﹣θ)= ,

∴ 60°﹣θ=30°,即 θ=30°. 故答案为:30°

14

点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 14. (5 分)过点 P(3,4)的动直线 l 与 x,y 轴的交点分别为 A,B,过 A,B 分别作 x,y 轴的垂线,则两垂线 交点 M 的轨迹方程为: 4x+3y=xy . 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:
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设出 M 坐标,求出 A,B 坐标,利用



共线,求出 x,y 的关系式,就是所求 M 的轨迹方程.

解答: 解:设 M(x,y)由题意可知 A(x,0) ,B(0,y) , 因为 A,B,P 三点共线,所以 因为 =(3﹣x,4) , , 共线,

=(﹣3,y﹣4) ,

所以(3﹣x) (y﹣4)=﹣12,即 4x+3y=xy, 所以点 M 的轨迹方程为:4x+3y=xy. 故答案为:4x+3y=xy. 点评: 本题考查曲线轨迹方程的求法,考查转化思想计算能力.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 2 2 15. (12 分)已知命题 p:关于 x 的方程 x +2x+a=0 有实数解,命题 q:关于 x 的不等式 x +ax+a>0 的解集为 R, 若(?p)∧q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

15

考点: 复合命题的真假;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 先由(?p)∧q 是真命题,得 p 为假命题且 q 为真命题,然后分类讨论求解 p,q,得实数 a 的取值范围. 解答: 解:因为(?p)∧q 是真命题, 所以?p 和 q 都为真命题,即 p 为假命题且 q 为真命题, ① 若 p 为假命题,则△ 1=4﹣4a<0,即 a>1,
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② 若 q 为真命题,则



所以 0<a<4, 由① ② 知,实数 a 的取值范围是{a|1<a<4}. 点评: 本题考察复合命题的真假判定,和二次函数的性质,属于基础题目,注意逻辑联结词的使用即可.

16

16. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,C=2A,a+c=10,cosA= . (1)求 的值; (2)求 b 的值.

17

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)原式利用正弦定理化简,将 C=2A 代入利用二倍角的正弦函数公式化简,约分后将 cosA 的值代入计算即可 求出值; (2)由第一问所求式子的值与 a+c=10 联立,求出 a 与 c 的值,利用余弦定理列出关系式,将 a,c 及 cosA 的值 代入即可求出 b 的值. 解答:
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解: (1)∵ C=2A,cosA= , ∴ 由正弦定理得 = = = =2cosA= ;

(2)由



解得:


2 2 2

由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 ∴ 16=b +36﹣9b,整理得:b ﹣9b+20=0, 解得:b=4 或 b=5, 当 b=4 时,由 C=2A,a=4,可知:B=45°,这与 cosA= 矛盾,应舍去; 则 b=5. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.

17. (14 分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A、B,要根据该产品的研制 成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表: 产品 A (件) 产品 B (件) 30 研制成本、 搭载费用之和 (万元) 20 计划最大资金额 300 万元 10 5 产品重量(千克) 最大搭载重量 110 千克 80 60 预计收益(万元) 18

试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题. 分析: 我们可以设搭载的产品中 A 有 x 件,产品 B 有 y 件,我们不难得到关于 x,y 的不等式组,即约束条件和目标函 数,然后根据线行规划的方法不难得到结论. 解答: 解:设搭载产品 Ax 件,产品 By 件, 预计总收益 z=80x+60y.
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,作出可行域,如图.

作出直线 l0:4x+3y=0 并平移,由图象得,当直线经过 M 点时 z 能取得最大值, 解得 ,即 M(9,4) .



所以 zmax=80×9+60×4=960(万元) . 答:搭载产品 A9 件,产品 B4 件,可使得总预计收益最大,为 960 万元.

点评: 用图解法解决线性规划问题时, 分析题目的已知条件, 找出约束条件和目标函数是关键, 可先将题目中的量分类、 列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域 各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解. 、

18. (14 分)已知直角梯形 PDCB 中(如图 1) ,PD=2,DC=BC=1,A 为 PD 的中点, 将△ PAB 沿 AB 折起,使面 PAB⊥ 面 ABCD(如图 2) ,点 F 在线段 PD 上,PF=2FD. (1)求异面直线 BP 与 CF 所成角的余弦值; (2)求二面角 D﹣AC﹣F 的余弦值; (3)在四棱锥 P﹣ABCD 的棱 PC 上是否存在一点 E,使得 BE∥ 平面 AFC,若存在,求出 E 点的位置,若不存在, 请说明理由. 19

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知得 PA⊥ AB,从而 PA⊥ 面 ABCD,以 A 为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 BP 与 CF 所成角的余弦值.
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(2)由已知,得

为平面 ACD 的法向量,求出平面 AFC 的法向量,利用向量法能求出二面角

D﹣AC﹣F 的余弦值. (3)法一:连接 BD,交 AC 于 O,取 PF 中点 G,连 BG,EG,FO,由已知得 EG∥ FC,OF∥ BG,从而得到 BE∥ 平面 AFC. (3)法二:假设在四棱锥 P﹣ABCD 的棱 PC 上存在一点 E,使得 BE∥ 平面 AFC,设 CE=λCP,由 得 =(﹣λ,1﹣λ,λ) ,由此利用向量法能推导出存在 PC 的中点 E,使得 BE∥ 平面 AFC. ,

解答: (本小题满分 14 分) 解: (1)依题意知:PA⊥ AB. 又∵ 面 PAB⊥ 面 ABCD,面 PAB∩ 面 ABCD=AB,PA?面 PAB, ∴ PA⊥ 面 ABCD.…(2 分) 又∵ AD⊥ AB.∴ 以 A 为原点,建立如图所示的坐标系,…(3 分) 则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) , D(0,1,0) ,P(0,0,1) .…(4 分) 由于 ∴ 即 ∴ .…(5 分) , . , ,



.…(6 分)

(2)由已知,得

为平面 ACD 的法向量.…(7 分)

20

设平面 AFC 的法向量为





,即

,…(8 分) .…(9 分)

令 z=2,则 x=1,y=﹣1,即 二面角 D﹣AC﹣F 的平面角为 θ, 则 .…(10 分)

(3)方法一:存在 PC 的中点 E,使得:BE∥ 平面 AFC, 证明如下: 连接 BD,交 AC 于 O,取 PF 中点 G,连 BG,EG,FO. 在△ PCF 中,E,G 分别为 PC,PF 中点,则 EG∥ FC.…(11 分) 在△ BDG 中,O,F 分别为 BD,DG 中点,则 OF∥ BG.…(12 分) 所以平面 BEG∥ 平面 FAC. 又 BE?平面 BEG, 所以 BE∥ 平面 AFC.…(14 分) 方法二:假设在四棱锥 P﹣ABCD 的棱 PC 上存在一点 E,使得 BE∥ 平面 AFC, 不妨设:CE=λCP,…(11 分) 由 ,得 =(﹣λ,1﹣λ,λ) .…(12 分) ,

由(2)知平面 AFC 的法向量 由 得 .…(13 分)

故存在 PC 的中点 E,使得 BE∥ 平面 AFC.…(14 分)

点评: 本题考查异面直线 BP 与 CF 所成角的余弦值的求法,考查二面角 D﹣AC﹣F 的余弦值的求法,考查在四棱锥 P ﹣ABCD 的棱 PC 上是否存在一点 E,使得 BE∥ 平面 AFC 的判断与证明,解题时要注意空间思维能力的培养. 19. (14 分)如图,椭圆 C: 上一点,并满足 + =1(a> )的离心率 ,其两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆在第一象限弧

?

=1,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 P 点坐标; (3)当直线 PB 的斜率为 时,求直线 AB 的方程.

21

22

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:
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(1)根据椭圆 C:

+

=1(a>

)的离心率

,可得 a =4,可得椭圆 C 的方程; =1 求得 x0 和 y0 的关系,同时根据椭圆的

2

(2)设出 P 的坐标,则可分别表示出 方程,求得 x0 和 y0 即 P 的坐标. (3)当直线 PB 的斜率为



,进而利用

?

时,直线 PA 的斜率为﹣

,设出直线的方程联立椭圆方程,可求出 A 点,B 点的

坐标,进而由两点式可得直线 AB 的方程. 解答: 解: (1)∵ 椭圆 C: + =1(a> )的离心率 ,

∴ e=

2

=
2

= ,

解得:a =4, ∴ 椭圆 C 的标准方程为: (2)由(1)得:c= 则 由
2

+

=1; ) ,F2(0,﹣ ﹣y0) , ) ,设 P(x0,y0)

,则 F1(0,

=(﹣x0, ?
2

﹣y0) ,
2 2

=(﹣x0,﹣
2 2

=1 得:x0 ﹣2+y0 =1?x0 +y0 =3

又 2x0 +y0 =4,x0,y0>0, ∴ ,即所求 P(1, )

(3)当直线 PB 的斜率为 直线 PB 的方程为:y﹣ =

时,直线 PA 的斜率为﹣ (x﹣1) ,即 y=
2

, ,

x+

代入椭圆 C 的标准方程为:

+

=1 得:5x +2x﹣7=0, ,代入 y= x+ 得:B 点纵坐标为:﹣ ,

由韦达定理得:B 点横坐标为: 即 B 点的坐标为: ( ,﹣ ) ,

同理可得 A 点的坐标为: ( ,

) ,

23

则直线 AB 的两点式方程为



即:15x﹣20 y+13=0. 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.

24

25

20. (14 分)已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 a1=1,记数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 a2,a3; (2)求证:数列 是等比数列;
*

的两实根,且

(3)设 bn=anan+1,问是否存在常数 λ,使得 bn>λSn 对?n∈N 都成立,若存在,求出 λ 的取值范围,若不存在,请 说明理由. 考点: 等比数列的性质;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由韦达定理可得

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,由 a1=1 可求得 a2=1,a3=3;

(2)由等比数列的定义可知

为常数﹣1,可得结论;

(3)由(2)得 an 的通项公式,问题转化为对 ?n∈N
*

都成立,分 n 为奇数

和偶数分类讨论可得. 解答: 解: (1)∵ an,an+1 是关于 x 的方程 ∴ ,又∵ a1=1,∴ a2=1,a3=3; 的两实根,

(2)∵



∴ 数列 (3)由(2)得 ∴

是首项为

,公比为﹣1 的等比数列; , , =

又 要使 bn>λSn,对?n∈N 都成立, 即 (*) ,
*



26

① 当 n 为正奇数时,由(*)式得: 即 立, 故 为正奇数)的最小值为 1.∴ λ<1; ,∵ 2
n+1

, ﹣1>0,∴ 对任意正奇数 n 都成

② 当 n 为正偶数时,由(*)式得: 即 立, 故 为正偶数)的最小值为 .∴
*

, ,∵ 2 ﹣1>0,∴
n

对任意正偶数 n 都成



综上所述得,存在常数 λ,使得 bn>λSn 对?n∈N 都成立,λ 的取值范围为(﹣∞,1) 点评: 本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的判断和分类讨论以及恒成立问题,属中档题.

27

参与本试卷答题和审题的老师有: maths; gongjy; 孙佑中; minqi5; wodeqing; zlzhan; 1619495736; wsj1012; sxs123; sllwyn;刘长柏;星空;翔宇老师;lincy(排名不分先后)
菁优网 2015 年 1 月 4 日

28


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