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高中数学北师大版必修5配套课件:1-2-2 第1课时《 等差数列的前n项和》


2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和

1.知识目标:掌握等差数列前n项和公式及其获取思路; 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题.

2.能力目标:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会

从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认
识问题,解决问题的思路和方

法;通过公式推导的过程教 学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,提高学生的 思维水平. 3.情感目标:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美. 体会模仿与创新的重要性.使学生获得发现的成就感,优 化思维品质,提高数学的推理能力.

高斯上小学时,有一次数学老师给同学们出了一道题: 计算从1到100的自然数之和.那个老师认为,这些孩子算这 道题目需要很长时间,所以他一写完题目,就坐到一边看书

去了.谁知,他刚坐下,马上就有一个学生举手说:“老师,
我做完了.”老师大吃一惊,原来是班上年纪最小的高斯.老 师走到他身边,只见他在笔记本上写着5050,老师看了,不 由得暗自称赞.为了鼓励他,老师买了一本数学书送给他.

思考:现在如果要你算,你能否用简便的方法来算出它

的值呢?

计算:1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100
100 +99+98+ …+2 +1

100 ? (1 ? 100) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ? ? 5050. 2

等差数列的前n项和公式





… …

有200根相同的圆木料,要把它们堆成正三角形垛,并 使剩余的圆木料尽可能少,那么将剩余多少根圆木料? 根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成 等差数列: 1,2,3,?

设共摆放了n层,能构成正三角形垛的圆木料数为Sn,则

S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n,
这是一个等差数列的求和问题,如何计算该等差数列 的和呢?而高斯计算的就是当n=100时的和.可见日常生活 中经常会遇到这样的求和问题,你能从高斯解决这个问题

的过程中悟出求一般等差数列前n项和的方法吗? 抽象概括 设Sn是等差数列{an}的前n项和,即

S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n .

首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和

n( a1 ? an ) Sn ? . 2

这个公式表明:等差数列前n项的和等于首末两项的
和与项数乘积的一半,参见下图.

a5 a4 a3 a2 a1 a1 a1 a1 a1 a1
d d d d a1 a1 d d d d a1 a2 d d d d a1 a3 d d d d a1 a4 d d d d a1

a5

将an=a1+(n-1)d代入③式,得

n( n ? 1) S n ? na1 ? d. 2
特别地,当a1 ? 1, d ? 1时,n个连续正整数的和



n( n ? 1) Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? . 2 n( n ? 1) ? 200 对于本节开头的问题,即转化为求满足 S n ? 2
的最大自然数n.易知当n=19时,Sn=190;n=20时,Sn=210.所 以n的最大值为19.此时,将堆垛19层,剩余10根圆木料.

例7 求前n个正奇数的和.
解 由等差数列前n项和公式,得

n (1 ? 2n ? 1) 1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) ? ? n2. 2

例8 在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以
中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京 天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是 一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始, 每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:

(1)第9圈共有多少块石板?

(2)前9圈一共有多少块石板?
解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},由 题意可知{an}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9. 由等差数列的通项公式,得第9圈有石板

a9 ? a1 ? (9 ? 1) d ? 9 ? (9 ? 1) ? 9 ? 81 (块) .
(2)由等差数列的前n项和公式,得前9圈一共有石板
S 9 ? 9a1 ? 9(9 ? 1) 9?8 d ? 9?9 ? ? 9 ? 405(块 ). 2 2

答 第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.

例9 在数列{an }中,an ? 2n ? 3, 求这个数列自第100项 到第200项之和S的值.
解 由于a n ?1 ? a n ? [2(n ? 1) ? 3] ? (2n ? 3) ? 2.所以, 数列{a n }是公差为2的等差数列,此数列自第100项到 第200项仍是等差数列.共有101项,所求和为
a100 ? a 200 S? ? 101 2 2 ? 100 ? 3 ? ( 2 ? 200 ? 3) ? ? 101 2 ? 30 603.

例10

在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗.一名工

人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这名工人 每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗,并返回A处.植树工 人共走了多少路程? 解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位:

m)组成了一个数列 0,20,40,60,?,380,
这是首项为0,公差为20,项数为20的等差数列,其和

20 ? (20 ? 1) S? ? 20 ? 3 800(m). 2
答 植树工人共走了3 800m路程.

例11 九江抗洪指挥部接到预报,24h后有一洪峰到达. 为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第 二道防线.经计算,需调用20台同型号翻斗车,平均每辆 工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施 工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调,每隔20min能有 一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24h内能 否构筑成第二道防线? 解 从第一辆车投入工作算起,各车工作时间(单位: h)依次设为:

a1 , a2 ,? , a25 ,
1 这是一个等差数列,a1 ? 24, 公差d ? ? . 3

25辆车可以完成的工作量为:

25 ? 24 1 a1 ? a2 ? ? ? a25 ? 25 ? 24 ? ? ( ? ) ? 500. 2 3
24×20=480.

需要完成的工作量为

因此,在24h内能构筑成第二道防线.

1. 根据下列条件,求相应的等差数列{an}的前n项和Sn.

(1) a1 ? 5, a n ? 95, n ? 10;
S10 10 ? (5 ? 95) ? ? 500. 2

( 2) a1 ? 100, d ? ?2, n ? 50;
S50 50 ? (50 ? 1) ? 50 ? 100 ? ? ( ?2) ? 2 550. 2

2.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上
每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支. 这个V形架上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔,且自下而 上各层的铅笔数组成等差数列,记为 ?an ?

? a1 ? 1, a120 ? 120, n ? 120

? S120

120 ? (1 ? 120) ? ? 7 260 (支) . 2

答:V形架上共放着7 260支铅笔.

1.回顾从特殊到一般的研究方法; 2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想;

3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用,及函数与方
程的思想.

祖国如有难,汝应作前锋。

——陈毅


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