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【名师一号】2013版高中数学 3-4 生活中的优化问题举例技能演练 新人教A版选修1-1


技能演练
1.把长度为 8 的线段分成四段,围成一个矩形,矩形面积的最大值为( A.2 C.8 解析 设矩形的长为 x,则宽为 4-x, 则面积 S=x(4-x)=4x-x , ∴当 x=2 时,Smax=4. 答案 B 2.把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周 长与高的比为( A.1:2 C.2:1 ) B.1:π D.2:π
2

)

B.4 D.以上都不对

6-x 6-x 2 1 3 解析 设圆柱高为 x,底面半径为 r,则 r= ,圆柱体积 V=π ( ) ·x= (x 2π 2π 4π 3 2 -12x +36x)(0<x<6),V′= (x-2)(x-6),当 x=2 时,V 最大. 4π 此时底面周长为 4,底面周长:高=4:2=2:1. 答案 C 3.某公司生产一种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100

?- x +400x,? 0≤x≤390? , ? 元, 若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? 900 ?90090,? x>390? , ?
润最大时,每年生产产品的单位数是( A.150 C.250 解析 ∵总利润 P(x)= ) B.200 D.300

3

则当总利

?- x +300x-20000,0≤x≤390, ? ? 900 ?90090-100x-20000,x>390, ?
由 P′(x)=0,得 x=300,故选 D. 答案 D 4.正三棱柱体积是 V,当其表面积最小时,底面边长为( 3 A. V 3 B. 2V )

3

1

3 C. 4V 解析 设底面边长为 x,侧棱长为 l, 1 2 4V 则 V= x ·sin60°·l,∴l= , 2 2 3x ∴S 表=2S 底+3S 侧=x ·sin60°+3·x·l = 3 2 4 3V x+ , 2 x 4 3V
2

3 D.2 V

S′表= 3x-

x2

=0,

3 3 ∴x =4V,即 x= 4V. 3 又当 x∈(0, 4V)时,y′<0,

x∈( 4V,V)时,y′>0,
3 ∴当 x= 4V时,表面积最小. 答案 C 5.某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形场地.如果铁丝网长 40 m,那么围 成的场地面积最大为________. 解析 设靠墙的一面长 x m,围成的场地面积为 y m , 40-x 此时矩形的宽为 >0. 2 40-x 1 2 ∴y=x· =- x +20x.(0<x<40) 2 2
2

3

y′=-x+20,令 y′=0 得 x=20,
当 0<x<20 时,y′>0. 当 20<x<40 时,y′<0. ∴x=20 时,y 最大=20×10=200. 答案 200 m
2

6.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数 为 k(k>0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能够全部贷出去.若存款利率为 x(x ∈(0,0.048)),则存款利率为________时,银行可获得最大收益. 解析 由题意知,存款量 g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息 h(x)=xg(x)=kx ,x∈ (0,0.048). 设银行可获得收益为 y,则 y=0.048kx-kx .
2 2

2

于是 y′=0.048k-2kx. 令 y′=0,得 x=0.024. 依题意知,y 在 x=0.024 处取得最大值. 答案 0.024 7.某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,才使得所用材料最 省? 解 设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积

S(R)=2π Rh+2π R2,
又 V=π R h,则 h= 2, πR ∴S(R)=2π R·
2

V

V
πR

2

2V 2 2 +2π R = +2π R ,

R

2V 由 S′(R)=- 2 +4π R=0,

R

3 解得 R= 3 当 R<

,从而 h= 2=2 2π πR

V

V

3

V


,即 h=2R,

V


3 时,S′(R)<0,当 R> 3

V


时,S′(R)>0.

因此,当 R=

V


时,S(R)有极小值,且是 S(R)的最小值.

答:当罐高与底的直径相等时,所用材料最省. 8.

3

某物流公司购买了一块长 AM=30 米,宽 AN=20 米的矩形地形 AMPN,规划建设占地如 图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对角线 MN 上,B,D 分别在边 AM,AN 上,假设 AB 长度为 x 米. (1)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米,AB 长度应在什么范围内? (2)若规划建设的仓库是高度与 AB 长度相同的长方形建筑,问 AB 长度为多少时仓库的 库容最大?(墙体及楼板所占空间忽略不计) 解 ∴ (1)依题意三角形 NDC 与三角形 NAM 相似,

DC ND x 20-AD 2 = ,即 = ,AD=20- x, AM NA 30 20 3

2 2 矩形 ABCD 的面积为 S=20x- x , 3 定义域为 0<x<30, 要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米, 2 2 即 20x- x ≥144, 3 化简得 x -30x+216≤0,解得 12≤x≤18, ∴AB 长度应在[12,18]内. 2 3 2 (2)仓库体积为 V=20x - x (0<x<30) 3
2

V′=40x-2x2=0,得 x=0,或 x=20,
当 0<x<20 时 V′>0,当 20<x<30 时 V′<0,

4

8 000 3, ∴x=20 时 V 取最大值 米 3 即 AB 长度为 20 米时仓库的库容量最大. 感悟高考 (2010·山东)已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函 1 3 数关系式为 y=- x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 解析 ∵y′=-x +81, ∴当 x>9 时,y′<0,当 0<x<9 时,y′>0. 1 3 ∴函数 y=- x +81x-234 在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增. 3 ∴x=9 是函数的极大值点. 又∵函数在(0,+∞)上只有一个极大值点, ∴在 x=9 处取得最大值. 答案 C
2

)

B.11 万件 D.7 万件

5


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