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数学必修5(人教A版)第三章3.4 第2课时应用案巩固提升


[A 基础达标] 1. (3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为( A.9 C.3 9 B. 2 3 2 D. 2 ) (3-a)+(a+6) 9 解析:选 B.由基本不等式可知, (3-a)(a+6)≤ = ,当且 2 2 3 仅当 3-a=a+6,即 a=- 时等号成立. 2 1 2.函数 y=log2?x+x-1+5?(x>1)的最小值为( ? ? )

A.-3 C.4 B.3 D.-4 1 1 解析:选 B.因为 x+ +5=(x-1)+ +6 x-1 x-1 ≥2 1 (x-1)· +6=8. x-1 1 所以 log2?x+x-1+5?≥3, ? ? 所以 ymin=3. 1 当且仅当 x-1= ,即 x=2 时,等号成立. x-1 1 1 3.已知 x+y=1 且 x>0,y>0,则 + 的最小值是( x y A.2 C.4 B.3 D.6 ) 1 1 x+y 1 1 解析:选 C.法一: + = = ≥ =4, x y xy xy ?x+y?2 ? 2 ? 1 当且仅当 x=y= 时取等号. 2 1 1 x+y x+y y x 1 法二: + = + =2+ + ≥4,当且仅当 x=y= 时取等号. x y x y x y 2 4.已知 x>1,y>1 且 lg x+lg y=4,则 lg x·lg y 的最大值是( A.4 C.1 B.2 1 D. 4 ) 解析:选 A.因为 x>1,y>1,所以 lg x>0,lg y>0,lg x·lg y≤? 当 lg x=lg y=2,即 x=y=100 时取等号. lg x+lg y?2 2 ? ? =4,当且仅 9 5.已知函数 y=x-4+ (x>-1),当 x=a 时,y 取得最小值 b,则 a+b=( x+1 A.-3 C.3 解析: 选 C.y = x - 4 + y≥2 B.2 D.8 ) 9 9 = (x + 1) + - 5 ,因为 x> - 1 ,所以 x + 1>0 ,所以 x+1 x+1 9 9 (x+1)· -5=2×3-5=1.当且仅当 x+1= ,即 x=2 时,等号成立,即 a x+1 x+1 =2,b=1,所以 a+b=3. 6.若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为________. 解析:因为实数 x,y 满足 xy=1, 所以 x2+2y2≥2 x2×2y2=2 2(xy)2=2 2, 当且仅当 x2=2y2 且 xy=1, 即 x2=2y2= 2时等号成立, 故 x2+2y2 的最小值为 2 2. 答案:2 2 a 7.函数 y=x+ (a>0,x>0)的最小值为 2 5,则实数 a 的值为________. x 解析:因为 a>0,x>0, a 所以 y=x+ ≥2 x a 当且仅当 x= , x 即 x= a时等号成立, 故 2 a=2 5,解得 a=5. 答案:5 8.周长为 2+1 的直角三角形面积的最大值为________. 解析:设直角三角形的两条直角边边长分别为 a、b,则 2+1=a+b+ a2+b2≥2 ab 1 2 + 2ab,解得 ab≤ ,当且仅当 a=b= 时取“=”, 2 2 1 所以直角三角形面积 S≤ , 4 a x· =2 a, x 1 即 S 的最大值为 . 4 1 答案: 4 4 9.(1)已知 x<3,求 f(x)= +x 的最大值. x-3 1 3 (2)已知 x,y 为正实数,且 x+y=4,求 + 的最小值. x y 解:(1)因

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