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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第五章5.2


数学

北(理)

§5.2 平面向量基本定理及 坐标表示
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线, 就 可以作为平面的一组基 底,对基底的选取不唯 一,平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组 基底 e1,

e2 线性表示, 且 在基底确定后, 这样的表 示是唯一的.

1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这一平面内的任一向量 a, 存在唯一 一对实数 λ1,λ2,使 a=
a=λ1e1+λ2e2.

其中,不共线的向量 e1,e2 叫作表示这 一平面内所有向量的一组 基底 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线, 就可以作为平面的一组 基底,对基底的选取不 唯一, 平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组 在基底确定后,这样的 表示是唯一的.

2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量 的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a + b = (x1+x2,y1+y2) , a - b = |a|=
2 x1 +y2 1

(x1-x2,y1-y2) , λa= (λx1,λy1) , 基底 e1,e2 线性表示,且

.

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点, 则终点坐 标即为向量的坐标.
基础知识 题型分类 思想方法

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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

→ 2.向量坐标与点的坐标的区别 ②设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则AB 在平面直角坐标系中,以原点为 → ( x - x , y - y ) → = 2 1 2 1 , |AB | = 起点的向量OA =a,点 A 的位置

?x2-x1?2+?y2-y1?2 .

3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其 中 b≠0.a∥b? x1y2-x2y1=0 .

被向量 a 唯一确定,此时点 A 的 坐标与 a 的坐标统一为(x, y), 但 应注意其表示形式的区别,如点 → A(x,y),向量 a=OA=(x,y). → → 当平面向量 OA 平行移动到 O1A1 → → 时,向量不变即O1A1=OA=(x, → y),但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.

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基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
4 3

解析

(-3,-5)
0
B B

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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知点 G 为△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB、 AC 两边分别交于 M、 → → → N 两点, 且AM=xAB, AN 1 1 → =yAC,求 + 的值. x y

基础知识

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题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知点 G 为△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB、 AC 两边分别交于 M、 → → → N 两点, 且AM=xAB, AN 1 1 → =yAC,求 + 的值. x y

→ → 以AB,AC为基底来表示向量,建 立 x,y 的关系.

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题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知点 G 为△ABC

解 根据题意知 G 为三角形的重心, 的重心,过 G 作直线与 → 1 → → 故AG= (AB+AC), 3 AB、 AC 两边分别交于 M、 → → → 1 → → → MG = AG - AM = ( AB + AC ) - xAB → → → 3 N 两点, 且AM=xAB, AN ?1 ?→ 1→ ? ? - x = ?3 ?AB+3AC, 1 1 → ? ? =yAC,求 + 的值. → → → → → x y GN=AN-AG=yAC-AG

→ 1 → → =yAC- (AB+AC) 3 ? 1? ? ? → 1→ =?y-3?AC- AB, 3 ? ? → → 由于MG与GN共线, 根据共线向量定理知
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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知点 G 为△ABC

?→ 1→ → → ? ?1 ? 的重心,过 G 作直线与 MG=λGN?? -x?AB+ AC 3 ?3 ? ?? ? → 1→? ? AB、 AC 两边分别交于 M、 =λ??y-1?AC - AB ?? ?, ? 3 3 ? ?? ? → → → → → N 两点, 且AM=xAB, AN ∵AB ,AC不共线,

1 1 → =yAC,求 + 的值. x y

1 ?1 ?3-x=-3λ ∴? ? ? 1 1 ? ? =λ y- ? 3? ?3 ? ? ?

1 1 -x 3 3 ? = 1 1 - y- 3 3

?x+y-3xy=0,两边同除以 xy 1 1 得 + =3. x y
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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知点 G 为△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB、 AC 两边分别交于 M、 → → → N 两点, 且AM=xAB, AN 1 1 → =yAC,求 + 的值. x y

利用基底表示未知向量,实质就是 利用向量的加、减法及数乘进行线 性运算;向量的表示是向量应用的 前提.

基础知识

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题型分类·深度剖析
变式训练 1 如图, 在△ABC → 1→ 中,AN= NC,P 是 BN 上的 3 → → 2 → 一点,若AP=mAB+ AC, 11 3 11 则实数 m 的值为________ .
→ → 解析 设|BP|=y,|PN|=x, x → → → → 1→ 则AP=AN+NP= AC- BN, 4 x+y y → → → → → AP=AB+BP=AB+ BN, x+y ① ②

x → y → → ①×y+②×x 得AP= AB+ AC, x+y 4?x+y?
y 2 8 3 令 = ,得 y= x,代入得 m= . 3 11 4?x+y? 11

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题型分类·深度剖析
题型二 向量坐标的基本运算
解 析 探 究 提 高

【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1), → → → C(-3, -4). 设AB=a, BC=b, CA → → =c,且CM=3c,CN=-2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m, n; → (3) 求 M 、 N 的坐标及向量 MN 的 坐标.

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题型二 向量坐标的基本运算
解 析 探 究 提 高 【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1), → → → 解 由已知得 a=(5,-5),b= C(-3, -4). 设AB=a, BC=b, CA (-6,-3),c=(1,8). → → =c,且CM=3c,CN=-2b, (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6, -3)-3(1,8) (1)求 3a+b-3c;

(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m, n; =(15-6-3,-15-3-24) =(6,-42). → (3) 求 M 、 N 的坐标及向量 MN 的 (2)∵mb+nc=(-6m+n, -3m+8n), 坐标.
? ?-6m+n=5, ∴? ? ?-3m+8n=-5, ? ?m=-1, 解得? ? ?n=-1.

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题型分类·深度剖析
题型二 向量坐标的基本运算
解 析 探 究 提 高 【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1), → → → (3)设 O 为坐标原点, C(-3, -4). 设AB=a, BC=b, CA → → → → → ∵CM=OM-OC=3c, =c,且CM=3c,CN=-2b, → → (1)求 3a+b-3c; ∴OM=3c+OC= (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m, n; (3,24)+(-3,-4)=(0,20).

→ ∴M(0,20). (3) 求 M 、 N 的坐标及向量 MN 的 → → → 又∵CN=ON-OC=-2b, 坐标. → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+
(-3,-4)=(9,2), → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18).
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题型分类·深度剖析
题型二 向量坐标的基本运算
解 析 探 究 提 高 【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1), → → → C(-3, -4). 设AB=a, BC=b, CA 向量的坐标运算主要是利用加、 → → 减、数乘运算法则进行.若已知 =c,且CM=3c,CN=-2b,

(1)求 3a+b-3c;

有向线段两端点的坐标,则应先

(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m, n; 求出向量的坐标,解题过程中要 → (3) 求 M 、 N 的坐标及向量 MN 的 注意方程思想的运用及正确使用 坐标.
运算法则.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知平行四边形的三个顶点分别是 A(4,2), B(5,7), C(-3,4),

(-4,-1)或(12,5)或(-2,9) . 则第四个顶点 D 的坐标是__________________________
解析 设顶点 D(x,y). → 若平行四边形为 ABCD,则由AB=(1,5), ? ? ?-3-x=1, ?x=-4, → DC=(-3-x,4-y),得? 所以? ? ? ?4-y=5, ?y=-1; → 若平行四边形为 ACBD,则由AC=(-7,2), ? ? ?5-x=-7, ?x=12, → DB=(5-x,7-y),得? 所以? ? ? ?7-y=2, ?y=5; → 若平行四边形为 ABDC,则由AB=(1,5), ? ? ?x+3=1, ?x=-2, → CD=(x+3,y-4),得? 所以? ? ? ?y-4=5, ?y=9. 综上所述,第四个顶点 D 的坐标为(-4,-1)或(12,5)或(-2,9).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量的坐标表示
平面内给定三个向量 a
思维启迪 解析

探究提高

=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 请解答下列问题: (1) 求满足 a = mb + nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且 |d-c|= 5,求 d.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量的坐标表示
平面内给定三个向量 a
思维启迪 解析

探究提高

=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 请解答下列问题: (1) 求满足 a = mb + nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且 |d-c|= 5,求 d.

(1)向量相等对应坐标相等, 列方程 解之. (2)由两向量平行的条件列方程解之. (3)设出 d=(x,y),由平行关系列 方程,由模为 5列方程,联立方程 组求解.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量的坐标表示
平面内给定三个向量 a
思维启迪 解析

探究提高

=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 解 请解答下列问题: (1) 求满足 a = mb + nc 的实数

(1)由题意得 (3,2)=m(- 1,2)+

5 ? ?m=9 ? ?-m+4n=3 所以? ,得? m,n; ? ?2m+n=2 ?n=8 9 (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; ?
(3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且 |d-c|= 5,求 d.
(2)a+kc=(3+4k,2+k), 2b-a=(-5,2),

n(4,1),

.

∵(a+kc)∥(2b-a),
∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0, 16 ∴k=- . 13
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量的坐标表示
平面内给定三个向量 a
思维启迪 解析

探究提高

=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 请解答下列问题: (1) 求满足 a = mb + nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且 |d-c|= 5,求 d.

(3)设 d=(x,y),d-c=(x-4, y-1),a+b=(2,4),
? ?4?x-4?-2?y-1?=0 由题意得? 2 2 ? ??x-4? +?y-1? =5



? ?x=3 解得? ? ?y=-1

? ?x=5 或? ? ?y=3



∴d=(3,-1)或 d=(5,3).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量的坐标表示
平面内给定三个向量 a
思维启迪 解析

探究提高

=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), (1)运用向量的坐标表示,使向量的 请解答下列问题: 运算完全代数化,将数与形有机的 (1) 求满足 a = mb + nc 的实数 m,n;
结合. (2) 根据平行的条件建立方程求参

(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; 数,是解决这类题目的常用方法, (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且 充分体现了方程思想在向量中的应用. |d-c|= 5,求 d.

基础知识

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练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (2011· 北京)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=

(k, 3).若(a-2b)与 c 共线,则 k=________. 1
解析 a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3),

又∵(a-2b)与 c 共线,∴(a-2b)∥c, ∴ 3× 3-3×k=0,解得 k=1.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.忽视平面向量基本定理的使用条件致误
→ → → → → 典例:(12 分)已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设 t∈R,如果 3a =c,2b=d,e=t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上?

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.忽视平面向量基本定理的使用条件致误
→ → → → → 典例:(12 分)已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设 t∈R,如果 3a =c,2b=d,e=t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上?

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决, 但在得出等式后根据 平面向量基本定理列式解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条 件,出现漏解,漏掉了当 a,b 共线时,t 可为任意实数这个解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.忽视平面向量基本定理的使用条件致误
→ → → → → 典例:(12 分)已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设 t∈R,如果 3a =c,2b=d,e=t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上?

规 范 解 答 易 错 分 析 温 馨 提 醒 → → 解 由题设,知CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E → → 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k,使得CE=kCD,即(t-3)a
+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. ①若 a,b 共线,则 t 可为任意实数; ? ?t-3+3k=0, 6 ②若 a,b 不共线,则有? 解之得 t= . 5 ? ?2k-t=0, 综上,可知 a,b 共线时,t 可为任意实数; 6 a,b 不共线时,t= . 5 思想方法 题型分类 基础知识
4分

7分
10分

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.忽视平面向量基本定理的使用条件致误
→ → → → → 典例:(12 分)已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设 t∈R,如果 3a =c,2b=d,e=t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上?

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石,在解题中有至关重要 的作用,在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行 四边形法则,将向量进行分解.

方 法 与 技 巧

2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中 坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将 一些几何问题转化为代数问题处理,从而向量可 以解决平面解析几何中的许多相关问题.

3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和 数形结合思想的运用.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.要区分点的坐标和向量坐标的不同,向量的坐标等

失 误 与 防 范

于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标;向 量坐标中既有大小的信息,又有方向的信息.
2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不 x1 y1 能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应 x2 y2 表示为 x1y2-x2y1=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.与向量 a=(12,5)平行的单位向量为 ?12 ? 12 5? 5? ? ? ? A.? ,- ? B.?- ,- ? 13? 13? ?13 ? 13 ? ?12 ? ? 12 5? 5? 5? ? ? ? 12 ? ? C.? , ?或?- ,- ? D.?± ,± ? 13? 13? ?13 13? ? 13 ? 13 ?

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.与向量 a=(12,5)平行的单位向量为 ?12 ? 12 5? 5? ? ? ? A.? ,- ? B.?- ,- ? 13? 13? ?13 ? 13 ? ?12 ? ? 12 5? 5? 5? ? ? ? 12 ? ? C.? , ?或?- ,- ? D.?± ,± ? 13? 13? ?13 13? ? 13 ? 13 ?

( C )

解 析
设 e 为所求的单位向量,
?12 5? a ? , ?.故应选 C. 则 e=± =± |a| ?13 13?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ 2. 如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP= → → → → xOA+yOB,且BP=2PA,则 ( ) 2 1 1 2 A.x= ,y= B.x= ,y= 3 3 3 3 1 3 3 1 C.x= ,y= D.x= ,y= 4 4 4 4

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ 2. 如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP= → → → → xOA+yOB,且BP=2PA,则 ( A ) 2 1 1 2 A.x= ,y= B.x= ,y= 3 3 3 3 1 3 3 1 C.x= ,y= D.x= ,y= 4 4 4 4

解 析
→ → → → → 由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA, 2→ 1→ → → 2→ → 2 → → 所以OP=OB+ BA=OB+ (OA-OB)= OA+ OB, 3 3 3 3 2 1 所以 x= ,y= . 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 1 3 1 3 A.- a+ b B. a- b 2 2 2 2 3 1 3 1 C.- a- b D.- a+ b 2 2 2 2

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 1 3 1 3 A.- a+ b B. a- b 2 2 2 2 3 1 3 1 C.- a- b D.- a+ b 2 2 2 2

( B )

解 析
设 c=λa+μb, ∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),
? 1 λ= ? ? - 1 = λ + μ 2 ? ∴? ,∴? ? ?2=λ-μ ?μ=-3 2 ?
基础知识 题型分类

1 3 ,∴c= a- b. 2 2

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
9

7 6 8 5 → → 4.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中 → → → 点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于 ( )

A.(-2,7) C.(2,-7)

B.(-6,21) D.(6,-21)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
9

7 6 8 5 → → 4.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中 → → → 点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于 ( B )

A.(-2,7) C.(2,-7)

B.(-6,21) D.(6,-21)

解 析
→ → → → → → BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA

=(6,30)-(12,9)=(-6,21).

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 1 5.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则 + 的 a b 值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 1 5.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则 + 的 a b 1 值为________ . 2

解 析
→ → AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2),

依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,

1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以 + = . a b 2

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u∥v, 则实数 x 的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u∥v, 1 则实数 x 的值为________ . 2

解 析
因为 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以 u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),
v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3), 又因为 u∥v,所以 3(2x+1)-4(2-x)=0,

1 即 10x=5,解得 x= . 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ 7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足OC= → 2→ 1→ |AC| OA+ OB,则 =________. 3 3 |AB|

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ 7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足OC= → 1 2→ 1→ |AC| 3 OA+ OB,则 =________. 3 3 |AB|

解 析
2→ 1→ ∵OC= OA+ OB, 3 3

1→ 1→ 1 → → → → ∴OC-OA=- OA+ OB= (OB-OA), 3 3 3 → 1 | AC | 1 → → ∴AC= AB,∴ = . 3 → 3 |AB|
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b 与 a-3b 共线,且方向相反?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b 与 a-3b 共线,且方向相反?

解 析
解 若存在实数 k,则 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2).

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
若向量 ka+b 与向量 a-3b 共线,则必有(k-3)×(-4)-(2k+ 1 2)×10=0,解得 k=- . 3 ? 10 4? 1 ? - , 这时 ka+b=? ,所以 k a + b =- (a-3b). ? ? 3 3 3 ? ?

即两个向量恰好方向相反,故题设的实数 k 存在.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图所示,M 是△ABC 内一点,且满足 → → → 条件AM+2BM+3CM=0,延长 CM 交 AB 于 → → N,令CM=a,试用 a 表示CN.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图所示,M 是△ABC 内一点,且满足 → → → 条件AM+2BM+3CM=0,延长 CM 交 AB 于 → → N,令CM=a,试用 a 表示CN.

解 析
→ → → → → → 因为AM=AN+NM,BM=BN+NM, → → → 所以由AM+2BM+3CM=0,得 → → → → → (AN+NM)+2(BN+NM)+3CM=0, → → → → 所以AN+3NM+2BN+3CM=0. 又因为 A,N,B 三点共线,C,M,N 三点共线, → → → → 由平面向量基本定理,设AN=λBN,CM=μNM, 解
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图所示,M 是△ABC 内一点,且满足 → → → 条件AM+2BM+3CM=0,延长 CM 交 AB 于 → → N,令CM=a,试用 a 表示CN.

解 析 → → → → 所以 λBN+3NM+2BN+3μNM=0. → → 所以(λ+2)· BN+(3+3μ)NM=0. → → 由于BN和NM不共线,由平面向量基本定理,
? ?λ+2=0, 得? ? ?3+3μ=0, ? ?λ=-2, 所以? ? ?μ=-1.

→ → → → → → → 所以CM=-NM=MN,CN=CM+MN=2CM=2a.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180° ,且|b|=3 5, 则 b 等于 A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) ( D.(-6,3) )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180° ,且|b|=3 5, 则 b 等于 A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) ( D.(-6,3) )

? x2+y2=3 5, ? 方法一 设 b=(x,y),由已知条件? x-2y ? 2 2=-1, ? 5 x +y 2 2 ? ? ?x +y =45, ?x=-3, 整理得? 解得? ? ? ?x-2y=-15. ?y=6,

解 析

∴b=(-3,6).
方法二 设
基础知识
2 2 ? ? x +y =3 b=(x,y),由已知条件? ? ?y+2x=0,

5,
练出高分

题型分类

思想方法

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180° ,且|b|=3 5, 则 b 等于 A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) ( A ) D.(-6,3)

解 析
? ?x=-3, 解得? ? ?y=6, ? ?x=3, 或? ? ?y=-6,

(舍去),∴b=(-3,6).

方法三

? 1 2? 1 ? ∵|a|= 5,∴|a|a=? ,- ? ?, 5 5 ? ?

则 b=-3

?1 ? 5?|a|a?=(-3,6). ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2. 已知平面向量 a=(1,2), b=(-2, m), 且 a∥b, 则 2a+3b 等于( A.(-2,-4) C.(-4,-8) B.(-3,-6) D.(-5,-10)

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2. 已知平面向量 a=(1,2), b=(-2, m), 且 a∥b, 则 2a+3b 等于( C ) A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10)

解 析
由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,得 1×m=2×(-2)? m=-4,从而 b=(-2,-4),那么 2a+3b=2(1,2)+3(-2, -4)=(-4,-8).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

7 3 4 6 5 3.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|= π → → → 2 2,且∠AOC= ,设OC= λOA+OB(λ∈R),则 λ 的值为( ) 4 1 1 2 A.1 B. C. D. 3 2 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 3.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|= π → → → 2 2,且∠AOC= ,设OC= λOA+OB(λ∈R),则 λ 的值为( D ) 4 1 1 2 A.1 B. C. D. 3 2 3

解 析
过 C 作 CE⊥x 轴于点 E(图略). π 由∠AOC= ,知|OE|=|CE|=2, 4 → → → → → 所以OC=OE+OB=λOA+OB,

→ → 即OE=λOA, 2 所以(-2,0)=λ(-3,0),故 λ= . 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p= (a+c,b),q=(b-a,c-a),且 p∥q,则角 C=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p= (a+c,b),q=(b-a,c-a),且 p∥q,则角 C=________. 60°

解 析
因为 p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,
2 2 2 a + b - c 1 所以 a2+b2-c2=ab, = , 2ab 2

1 结合余弦定理知,cos C= , 2

又 0° <C<180° ,∴C=60° .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1 → 5.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC= 2 → 2CB,则实数 a=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1 → 5.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC= 2 → 2 2CB,则实数 a=________.

解 析
→ → 设 C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y),
? ? ?x-7=2?1-x? ?x=3 → → ? ∵AC=2CB,∴ ,解得? . ? ? ?y-1=2?4-y? ?y=3

1 ∴C(3,3).又∵C 在直线 y= ax 上, 2 1 ∴3= a· 3,∴a=2. 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 → → → 6.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O

1 2 为坐标原点, 若 A、 B、 C 三点共线, 则 + 的最小值是________. a b

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 → → → 6.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O

1 2 8 . 为坐标原点, 若 A、 B、 C 三点共线, 则 + 的最小值是________ a b → → 据已知得AB∥AC, 解 析 → → 又∵AB=(a-1,1),AC=(-b-1,2),

∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1, 1 2 2a+b 4a+2b ∴ + = + a b a b b 4a b 4a =4+ + ≥4+2 · =8, a b a b b 4a 1 1 当且仅当 = ,即 a= ,b= 时取等号, a b 4 2 1 2 ∴ + 的最小值是 8. a b
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 → → → 7. (13 分)已知点 O 为坐标原点, A(0,2), B(4, 6), OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线;

→ → (3)若 t1=a2,求当OM⊥AB且△ABM 的面积为 12 时 a 的值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 → → → 7. (13 分)已知点 O 为坐标原点, A(0,2), B(4, 6), OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线;

→ → (3)若 t1=a2,求当OM⊥AB且△ABM 的面积为 12 时 a 的值.

解 析
(1)解 → → → OM=t1OA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4) =(4t2,2t1+4t2).
? ?4t2<0, 在第二或第三象限时,有? ? ?2t1+4t2≠0,

当点 M

故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. → (2)证明 当 t1=1 时,由(1)知OM=(4t2,4t2+2). → → → ∵AB=OB-OA=(4,4),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 → → → 7. (13 分)已知点 O 为坐标原点, A(0,2), B(4, 6), OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线;

→ → (3)若 t1=a2,求当OM⊥AB且△ABM 的面积为 12 时 a 的值.

解 析
→ → → → AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB,

∴A、B、M 三点共线. → (3)解 当 t1=a2 时,OM=(4t2,4t2+2a2).
→ → → 又AB=(4,4),OM⊥AB,∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0, 1 → ∴t2=- a2,故OM=(-a2,a2). 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 → → → 7. (13 分)已知点 O 为坐标原点, A(0,2), B(4, 6), OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线;

→ → (3)若 t1=a2,求当OM⊥AB且△ABM 的面积为 12 时 a 的值.

解 析
→ 又|AB|=4 2,点 M 到直线 AB:x-y+2=0 的距离 |-a2-a2+2| d= = 2|a2-1|. 2 ∵S△ABM=12, 1→ 1 ∴ |AB|· d= ×4 2× 2|a2-1|=12, 2 2
解得 a=± 2,故所求 a 的值为± 2.
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