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2014年广州市一模数学试题及详解(理科)word


试卷类型:A

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2014.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、 学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填

写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡 相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改 动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

12 ? 22 ? 32 ?

? n2 ?

n ? n ? 1?? 2n ? 1? ? n ? N* ? . 6

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为
2

A. ?2

B. ?2

C. ? 2

D. 2

2.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2 sin C
2 2

c 为 b
D. 2 cos C

B. 2 cos B

C. 2 sin B

3.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为 A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

数学(理科)试题 A

第 1 页 共 15 页

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

4.若函数 f ? x ? ? A. ? ?2, 2 ?

x 2 ? ax ? 1 的定义域为实数集 R ,则实数 a 的取值范围为
B. ? ??, ?2?

? 2, ???

C. ? ??, ?2

? ?2, ???
频率/组距

D. ?2, 2

?

?

5.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制 成如图 1 的频率分布直方图.样本数据分组为 50,60? ,

?

?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? .若用分层抽
样的方法从样本中抽取分数在 80,100 范围内的数据 16 个,

?

?

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0
50 60 70 80 90 100 分数

则其中分数在 90,100 范围内的样本数据有 A.5 个 6.已知集合 A ? ? x x ? Z且 B.6 个 C.8 个

?

?

图1 D.10 个

? ?

3 ? ? Z ? ,则集合 A 中的元素个数为 2? x ?
B.3 C.4 D.5

A.2

7.设 a , b 是两个非零向量,则使 a b = a b 成立的一个必要非充分条件是 A. a ? b B. a ? b C. a ? ? b

? ? ? 0?

D. a

b

8.设 a ,b , m 为整数( m ? 0 ) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为 a ? b ? mod m? .若
1 2 2 a ? C0 20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 2 ? 20 ? C20 ? 220 , a ? b ? mod10? ,则 b 的值可以是

A.2011

B.2012

C.2013

D.2014

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题( 9~ 13 题) 9.若不等式 x ? a ? 1的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 a 的值为
* 10.执行如图 2 的程序框图,若输出 S ? 7 ,则输入 k k ? N 的值为

?

?

. . .

?

?

11.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 3 所示,则这个四棱锥的体积是 开始 输入 k

5

n ? 0, S ? 0

y? x 2? nlog ?k


否 数学(理科)试题 A 输出 S 结束

2

2

1

1

第 2 页 共 15 页

正(主)视图

侧(左)视图

n ? n ?1
S ? S ? 2n?1

4

图3

图2

俯视图

12.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

?? 3 ?? ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 6? 5 12 ? ?



13.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? ?

1 ,记 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S2014 ? an ? 1



(二)选做题( 14~ 15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线 ? ?sin ? ? cos? ? ? a 与曲线 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 相交于 A , B 两点,若 AB ? 2 3 ,则实 数 a 的值为 . D O A 图4 C P E B

15. (几何证明选讲选做题) 如图4, PC 是圆 O 的切线,切点为 C ,直线 PA 与圆 O 交于 A , B 两点, ?APC 的平分线分别交弦 CA , CB 于 D , E 两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 ,则

PE 的值为 PD



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0? . (1)求实数 a 的值; (2)设 g ( x) ? ? f ( x)? ? 2 ,求函数 g ( x) 的最小正周期与单调递增区间.
2

? π ? 3

? ?

17. (本小题满分12分) 甲,乙,丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是 两人同时能被聘用的概率是

2 6 ,甲,丙两人同时不能被聘用的概率是 ,乙,丙 5 25

3 ,且三人各自能否被聘用相互独立. 10

(1)求乙,丙两人各自能被聘用的概率; (2)设 ? 表示甲,乙,丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求? 的分布列与均值(数学 期望) .

18. (本小题满分14分) 如图 5,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1D 的 1B 1C1 D 1 中,点 E 是棱 D 数学(理科)试题 A 第 3 页 共 15 页

D1

C1 B1

A1

E
D

F A
图5

B

中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F ? 2FB . (1)求证: EF ? AC ; 1 1 (2)在棱 C1C 上确定一点 G , 使 A , E , G , F 四点共面,并求 此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值.

C

19. (本小题满分14分) 已知等差数列 ?an ? 的首项为 10,公差为 2,等比数列?bn ? 的首项为 1,公比为 2, n ? N* . (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设第 n 个正方形的边长为 cn ? min ?an , bn ? ,求前 n 个正方形的面积之和 Sn . (注: min ?a, b? 表示 a 与 b 的最小值. )

20. (本小题满分14分) 已知双曲线 E :

x2 y 2 3 5 ? ? 1? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左,右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 ,点 P 是直线 2 a 4 5

x?

a2 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 QF2 ? 0 . 3

(1)求实数 a 的值; ( 2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M , N ,在线段 MN 上取异于点 M ,

N 的点 H ,满足

PM MH ? ,证明点 H 恒在一条定直线上. PN HN

数学(理科)试题 A

第 4 页 共 15 页

21. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 1 e x (其中 e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 定义: 若函数 h ? x ? 在区间 s, t . 试 ? ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s, t ? ,则称区间 ? s, t ? 为函数 h ? x ? 的“域同区间”

?

?

问函数 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间” ;若不存在,请 说明理由.

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、 题号 答案 二、 题号 答案 三、 16.解: (1)因为函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0 ? ,所以 f ? ? 数学(理科)试题 A 第 5 页 共 15 页 9 2 10 3 11 4 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B A D B C D

2 10

?

2011 2

?1或 ?5

2 3

? π ? 3

? ?

? ?? ??0. ? 3?

即 sin ? ?

3 a ? π? ? π? ? ? a cos ? ? ? ? 0 . 即 ? 2 ? 2 ? 0 . 解得 a ? 3 . ? 3? ? 3?

(2)方法 1:由(1)得 f ( x) ? sin x ? 3 cos x .

所以 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2 ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? 3cos2 x ? 2
? 3 ? 1 ? ?? ? ? 3 sin 2x ? cos 2 x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? ? ? 2 ? 2 6 6? ? ? ?

?

?

2

π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ?
所以 g ( x) 的最小正周期为

2? ? ?. 2

因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 2k ? ? ? 所以当 2kπ ?

? ?

? ?? , 2k ? ? ? ? k ? Z ? , 2 2?

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? ? k ? Z? 时,函数 g ( x) 单调递增, 2 6 2 π π 即 kπ ? ? x ? kπ ? ? k ? Z? 时,函数 g ( x) 单调递增. 3 6
所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ?

? ?

π π? , kπ ? ? ? k ? Z? . 3 6? ? ?
π? ? ?? ? ? cos x sin ? ? 2sin ? x ? ? . 3? 3 3? ?

方法 2:由(1)得 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? sin x cos
2

? π ?? π? 2π ? ? ? ? 所以 g ( x) ? [ f ( x)] ? 2 ? ? 2sin ? x ? ? ? ? 2 ? 4sin 2 ? x ? ? ? 2 ? ?2 cos ? 2 x ? ? 分 3? 3 ? 3 ?? ? ? ? ?
2

所以函数 g ( x) 的最小正周期为

2? ? ?分 2

因为函数 y ? cos x 的单调递减区间为 2k ?, 2k ? ? ? 所以当 2k ? ? 2 x ?

?

? ? k ? Z? ,

2? ? 2k ? ? ? ? k ? Z? 时,函数 g ( x) 单调递增. 3 π π 即 kπ ? ? x ? kπ ? ( k ? Z )时,函数 g ( x) 单调递增. 3 6
所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ?

? ?

π π? , kπ ? ? ? k ? Z? . 3 6?

17. (本小题满分 1) 数学(理科)试题 A 第 6 页 共 15 页

(本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值(数学期望)等知识,考查或然与必然的数学思 想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) 解: (1)记甲,乙,丙各自能被聘用的事件分别为 A 1 , A2 , A 1 , A2 , A 3 ,由已知 A 3 相互独立,且满足

2 ? ? P ? A1 ? ? 5 , ? 6 ? 1 3 1 3 ?? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ? ? 25 , 解得 P ? A2 ? ? 2 ,P ? A3 ? ? 5 . 所以乙,丙各自能被聘用的概率分别为 2 ,5 . ? 3 ? ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? 10 . ?
(2) ? 的可能取值为 1,3. 因为 P ?? ? 3? ? P ? A1 A2 A3 ? ? P A1 A2 A3

?

?

? P ? A1 ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? ? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A2 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ?

2 1 3 3 1 2 6 ? ? ? ? ? ? ? . 5 2 5 5 2 5 25 6 19 ? 所以 P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 3? ? 1 ? . 25 25
所以 ? 的分布列为

?
P
所以 E? ? 1?

1

3
6 25

19 25

19 6 37 ? 3? ? . 25 25 25

18. (本小题满分 1) 推理论证法: (1)证明:连结 B1D1 , BD , 因为四边形 A1 B1C1D1 是正方形,所以 AC 1 1 ?B 1D 1. 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, DD 1 ? 平面 A 1B 1C1 D 1,

D1

C1 B1
F B

A1

E
D

C

A1C1 ? 平面 A1B1C1D1 ,所以 AC 1 1 ? DD 1.
因为 B1D1

A

DD1 ? D1, B1D1 , DD1 ? 平面 BB1D1D ,
数学(理科)试题 A 第 7 页 共 15 页

所以 A1C1 ? 平面 BB1D1D . 因为 EF ? 平面 BB1D1D ,所以 EF ? AC 1 1. (2)解:取 C1C 的中点 H ,连结 BH ,则 BH 在平面 BB1C1C 中,过点 F 作 FG

AE . AE .

D1

BH ,则 FG

C1 G B1
F B

A1

E
D

H
C

连结 EG ,则 A , E , G , F 四点共面.

1 1 1 1 C1C ? a , HG ? BF ? C1C ? a , 2 2 3 3 1 所以 C1G ? C1C ? CH ? HG ? a . 6 1 故当 C1G ? a 时, A , E , G , F 四点共面. 6
因为 CH ? (3)延长 EF , DB ,设 EF

A

DB ? M ,连结 AM , 则 AM 是平面 AEF 与平面 ABCD 的交线. 过点 B 作 BN ? AM ,垂足为 N ,连结 FN , 因为 FB ? AM , FB BN ? B , 所以 AM ? 平面 BNF . 因为 FN ? 平面 BNF ,所以 AM ? FN . 所以 ?FNB 为平面 AEF 与平面 ABCD 所成
二面角的平面角.

D1

C1 B1
F B

A1

E
D

C

1 a MB BF 3 2 因为 ? ? ? , MD DE 1 a 3 2


A

N
M

MB 2 ? , MB ? 2a 3

所以 MB ? 2 2a . 在△ ABM 中, AB ? a , ?ABM ? 135 , 所以 AM ? AB ? MB ? 2 ? AB ? MB ? cos135
2 2 2

2 ? 2? ? 13a 2 . ? a 2 ? 2 2a ? 2 ? a ? 2 2 ? a? ? ? 2 ? ? ? ?

?

?

即 AM ? 13a . 因为

1 1 AM ? BN ? AB ? MB ? sin135 , 2 2
数学(理科)试题 A 第 8 页 共 15 页

AB ? MB ? sin135 所以 BN ? ? AM
2 2

a ? 2 2a ?

2 2 ? 2 13 a . 13 13a
2

2 1 ? ? 2 13 ? 7 13 ? 所以 FN ? BF ? BN ? ? a ? ? ? a? ? a. ? ? 39 ? 3 ? ? 13 ? BN 6 所以 cos ?FNB ? ? . FN 7 6 故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 . 7

空间向量法: (1)证明:以点 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 A? a,0,0? , A 1 ? a,0, a ? , C1 ? 0, a, a ? ,

z D1

C1 B1
F

A1

E
D

1 ? 1 ? ? ? E ? 0, 0, a ? , F ? a, a, a ? , 2 ? 3 ? ? ? 1 ? ? 所以 AC 1 1 ? ? ?a, a,0 ? , EF ? ? a, a, ? a ? . 6 ? ?
因为 AC 1 1 EF ? ?a ? a ? 0 ? 0 ,
2 2

C

y

A

B

x

所以 AC 1 1 ? EF . 所以 EF ? AC 1 1. (2)解:设 G ? 0, a, h ? ,因为平面 ADD1 A1 平面 ADD1 A1 所以 FG 平面 BCC1B1 , 平面 AEGF ? FG ,

平面 AEGF ? AE ,平面 BCC1B1

AE .

所以存在实数 ? ,使得 FG ? ? AE . 因为 AE ? ? ?a, 0,

? ?

1 ? 1 ? ? a ? , FG ? ? ?a, 0, h ? a ? , 2 ? 3 ? ? ? ? 1 ? a? . 2 ?
第 9 页 共 15 页

所以 ? ?a, 0, h ? a ? ? ? ? ?a, 0,

? ?

1 ? 3 ?

数学(理科)试题 A

所以 ? ? 1 , h ?

5 a. 6

所以 C1G ? CC1 ? CG ? a ? 故当 C1G ?

5 1 a? a. 6 6

1 a 时, A , E , G , F 四点共面. 6

(3)解:由(1)知 AE ? ? ?a, 0,

? ?

1 ? 1 ? ? a ? , AF ? ? 0, a, a ? . 2 ? 3 ? ?

1 ? ? ax ? az ? 0, ? ? n AE ? 0, ? ? 2 设 n ? ? x, y, z ? 是平面 AEF 的法向量,则 ? 即? ? ?n AF ? 0. ? ay ? 1 az ? 0. ? 3 ?
取 z ? 6 ,则 x ? 3 , y ? ?2 . 所以 n ? ?3, ?2,6? 是平面 AEF 的一个法向量.

而 DD1 ? ? 0,0, a ? 是平面 ABCD 的一个法向量, 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? , 则 cos ? ?

n DD1 n DD1

?1 ?

0 ? 3 ? 0 ? ? ?2 ? ? a ? 6

6 6 ? .故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 . 2 2 2 7 7 3 ? ? ?2 ? ? 6 ? a

19. (本小题满分 1) (本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力和创 新意识) 解: (1)因为等差数列?an ? 的首项为 10,公差为 2,所以 an ? 10 ? ? n ?1? ? 2 ,即 an ? 2n ? 8 . 因为等比数列 ?bn ? 的首项为 1,公比为 2,所以 bn ? 1? 2
n?1

,即 bn ? 2

n ?1



(2)因为 a1 ? 10 , a2 ? 12 , a3 ? 14 , a4 ? 16 , a5 ? 18 , a6 ? 20 ,

b1 ? 1, b2 ? 2 , b3 ? 4 , b4 ? 8 , b5 ? 16 , b6 ? 32 .易知当 n ? 5 时, an ? bn .
下面证明当 n ? 6 时,不等式 bn ? an 成立.

数学(理科)试题 A

第 10 页 共 15 页

方法 1:①当 n ? 6 时, b6 ? 26?1 ? 32 ? 20 ? 2 ? 6 ? 8 ? a6 ,不等式显然成立. ②假设当 n ? k ? k ? 6 ? 时,不等式成立,即 2k ?1 ? 2k ? 8 . 则有 2 ? 2 ? 2
k k ?1

? 2 ? 2k ? 8? ? 2 ? k ? 1? ? 8 ? ? 2k ? 6? ? 2 ? k ? 1? ? 8.

这说明当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合①②可知,不等式对 n ? 6 的所有整数都成立. 所以当 n ? 6 时, bn ? an . 方法 2:因为当 n ? 6 时

bn ? an ? 2n ?1 ? ? 2n ? 8 ? ? ?1 ? 1?
1 2 ? ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ?

n ?1

? ? 2n ? 8 ?

n ?1 ? Cn ?1 ? ? ? 2n ? 8 ?

1 2 n ?3 n?2 n ?1 ? ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? 2 n ? 8 ? 1 2 ? 2 ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? 2n ? 8 ?

? n2 ? 3n ? 6 ? n ? n ? 4? ? ? n ? 6? ? 0 ,
所以当 n ? 6 时, bn ? an . 所以 cn ? min ?an , bn ? ? ?
2n?2 ? ?2 , 则 cn ? ? 2 ? ?4 ? n ? 4 ? , 当 n ? 5 时, 2

?2n?1 , ?2n ? 8,

n ? 5, n ? 5.

n ? 5, n ? 5.

Sn ? c12 ? c22 ? c32 ? ? b12 ? b22 ? b32 ?
? 20 ? 2 2 ? 2 4 ?

? cn2 ? bn2
? 22 n ? 2

?

1 ? 4n 1 n ? ? 4 ? 1? . 1? 4 3

当 n ? 5 时,

Sn ? c12 ? c22 ? c32 ?
? ? b12 ? b2 2 ?

? cn2
? an 2 ?

? b5 2 ? ? ? a6 2 ? a7 2 ?

数学(理科)试题 A

第 11 页 共 15 页

?

2 1 5 ? 4 ? 1? ?4 ?? 6? 4 ? ?? 7 ? ? 3
2

?4 ?
2

? ?n ?

? 4? ?
2

?341 ? ? 4? 2 6 ? ? ?341 ? ? 4? 2 1 ? ?

7 ?

?n 2 ??

?

8? 6? 7 ? n? ?
2

?

n 1 ?6 ?? ?

5

2

? 2

2 2 ?n 2 1 ? 2 ? ??? ?

? ? ?? ?5

3 ?2 ? 6 ? 7 n? ?

?

n ? 6? 4

5

n? 1 ? n ? n ? 1?? 2 ?? ?341 ? ? 4 6 ?
? 4 3 242 n ? 18n 2 ? n ? 679 . 3 3

? 5 ? ?5 ?

? 32

?

6 ? n ?? n ? 2

?5 ?

? n6?4 ?

5

?1 n ? 4 ? 1? , ? ?3 综上可知, Sn ? ? ? 4 n3 ? 18n 2 ? 242 n ? 679, ? 3 ?3

n ? 5, n ? 5.

20. (本小题满分 1) (本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函 数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,

?c 3 5 , ? ? 由题意可得 ? a 5 ?c 2 ? a 2 ? 4. ?
解得 a ? 5 . (2)证明:由(1)可知,直线 x ?

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ?3,0? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?
? ?

因为 PF2 QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? , ?t ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 . 所以 ty0 ?

? ?

5 3

4 ? x0 ? 3? . 3

因为点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以

x0 2 y0 2 4 2 ? 5? . ? ? 1,即 y0 2 ? ? x0 5 5 4

所以 k PQ ? kOQ ?

y0 ? t y0 y 2 ? ty0 ? ? 0 5 x0 5 2 x0 ? x0 ? x0 3 3

数学(理科)试题 A

第 12 页 共 15 页

4 2 4 x0 ? 5 ? ? ? x0 ? 3? ? 4 3 ?5 ? . 5 5 x0 2 ? x0 3 4 所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 . 5
(3)证法 1:设点 H ? x, y ? ,且过点 P ?

?5 ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则 ?3 ?
4 2 4 x1 ? 5 ? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5 ? . ? 5 5

4x12 ? 5 y12 ? 20 , 4 x22 ? 5 y22 ? 20 ,即 y12 ?

?? 5 5 ? ? ? ? PM MH ?? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1? , ? PM ? ? PN , 3 3 设 .即 ?? ? ? ? ? ? ? ,则 ? PN HN MH ? ? HN . ? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x , y ? y ? . ? 1 1 2 2 ?

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ? ? 整理,得 ? y1 ? ? y2 ? 1 ? ? , ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? .

① ② ③ ④
⑤ ⑥

5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x , 由①×③,②×④得 ? ? y12 ? ? 2 y2 2 ? ?1 ? ? 2 ? y. ?
将 y1 ?
2

4 x12 ? ? 2 x2 2 4 2 4 2 2 x ? 5 y ? x ? 5 y ? ? ?4. , 代入⑥,得 ? 1 ? 2 5? 2 ? 5 5 1? ?2
4 x ? 4. 3



将⑤代入⑦,得 y ?

所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上. 证法 2:依题意,直线 l 的斜率 k 存在.

? 5? ? y ?1 ? k ? x ? ? , ? 5? 3? ? ? ? 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,由 ? 2 2 3? ? ? x ? y ? 1. ? ?5 4
2 2 2 2 消去 y 得 9 4 ? 5k x ? 30 5k ? 3k x ? 25 5k ? 6k ? 9 ? 0 .

?

?

?

?

?

?

因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

数学(理科)试题 A

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? ? 2 2 2 2 ?? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0, ? 30 ? 5k 2 ? 3k ? ? 则有 ? x1 ? x2 ? , 2 9 5 k ? 4 ? ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? . ? x1 x2 ? 9 5k 2 ? 4 ? ? ?
设点 H ? x, y ? ,

① ②



150 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? 30 ? 3x ? 5 ? ? 5k 2 ? 3k ? 将②③代入上式得 ? ? 10 x ? 0 . 9 ? 5k 2 ? 4 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?
整理得 ?3x ? 5? k ? 4x ?15 ? 0 . 因为点 H 在直线 l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? ? . 联立④⑤消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 . 所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上. ④

5 3 ? x ? x1 . 整理得 6x x ? ?3x ? 5?? x ? x ? ?10x ? 0 .1 由 ,得 ? 1 2 1 2 5 x2 ? x1 PN HN x2 ? 3

PM

MH

x1 ?

? ?

5? 3?



(本题(3)只要求证明点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上,无需求出 x 或 y 的范围. )

21. (本小题满分 1) (本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学 思想方法,以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识)
2 x 解: (1)因为 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e , 2 x x 2 x x 所以 f ?( x) ? (2x ? 2)e ? ( x ? 2x ? 1)e ? x ? 1 e ? ( x ? 1)( x ? 1)e .

?

?

?

?

当 x ? ?1 或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? .

数学(理科)试题 A

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当 ?1 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ? ?1,1? . 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? ?1,1? . (2)假设函数 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上存在“域同区间” [s, t ] (1 ? s ? t ) , 由(1)知函数 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,

? f ( s ) ? s, 所以 ? ? f (t ) ? t.

?( s ? 1) 2 ? e s ? s, 即? 2 t ? (t ? 1) ? e ? t.

也就是方程 ( x ?1)2 ex ? x 有两个大于 1 的相异实根. 设 g ( x) ? ( x ?1)2 e x ? x ( x ? 1) ,则 g?( x) ? ( x2 ?1)ex ?1 . 设 h ? x ? ? g?( x) ? ( x2 ?1)e x ?1 ,则 h? ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 1 e x . 因为在 (1, ??) 上有 h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增. 因为 h ?1? ? ?1 ? 0 , h ? 2? ? 3e ?1 ? 0 ,
2

?

?

即存在唯一的 x0 ? ?1,2? ,使得 h ? x0 ? ? 0 . 当 x ? ?1, x0 ? 时, h ? x ? ? g? ? x ? ? 0 ,即函数 g ( x) 在 ?1, x0 ? 上是减函数; 当 x ? ? x0 , ??? 时, h ? x ? ? g? ? x ? ? 0 ,即函数 g ( x) 在 ? x0 , ??? 上是增函数. 因为 g ?1? ? ?1 ? 0 , g ( x0 ) ? g (1) ? 0 , g (2) ? e2 ? 2 ? 0 , 所以函数 g ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上只有一个零点. 这与方程 ( x ?1)2 ex ? x 有两个大于 1 的相异实根相矛盾,所以假设不成立. 所以函数 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上不存在“域同区间” .

数学(理科)试题 A

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