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甘肃省兰州市2014年高三第一次诊断考试数学(理)试卷


兰州市 2014 高三第一次诊断考试数学(理科)试卷
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫米的黑色 墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效。

第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求) 1. 已知集合 P ? { x | x( x ? 3) ? 0 } , Q ? { x || x |? 2 } ,则 P ? Q ? ( ) A. ( ? 2 , 0 ) B. ( 0 , 2 ) C. ( 2 , 3 ) ) C. 1 ? 2i D. 2 ? i D. ( ? 2 , 3 )

2. i 是虚数单位,复数 A. 2 ? i 3.将函数 y ? sin( x ?

3?i = ( 1? i B. 1 ? 2i

?
6

)( x ? R) 的图象上所有的点向左平移


? 个单位长度,再把图象上各点的 4

横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为( A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ?

x ? )( x ? R) 2 12

5? )( x ? R) 12

B. y ? sin( ?

x 5? )( x ? R) 2 12 x 5? D. y ? sin( ? )( x ? R) 2 24
)

4.如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为 (

A. 3 ?

4 ? 6 3 5.设 a=log3 2,b=log 2 3,c= log 1 5 ,则(
B. 3 ?
2

?

C. 3 3 ? )

4 ? 3

D. 3 3 ?

?
6

A.c﹤b﹤a

B.a﹤c﹤b

C. c﹤a﹤b.

D.b﹤c﹤a

6. 已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ;

③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么n与? 相交;

第1页 共4页

④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 其中正确的命题是 ( A.①② ) B.②③ C.③④ D.①④

7.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲 和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有( A.150 8.已知双曲线 B.300 C.600 )种. D.900

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 | F1 F2 | 为直径的圆与 a 2 b2


双曲线渐近线的一个交点为 (3, 4) ,则此双曲线的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4
2

C. )

x2 y 2 ? ?1 9 16

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

9.下列五个命题中正确命题的个数是(

(1)对于命题 p : ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ;
2

(2) m ? 3 是直线 (m ? 3) x ? my ? 2 ? 0 与直线 mx ? 6 y ? 5 ? 0 互相垂直的充要条件;

? =1.23x+0.08 (3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 y
2 2 (4).若实数 x, y ? ? ?1, 1 ? ,则满足 x ? y ? 1 的概率为

? . 4
2

(5) 曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积是 S ?
2

? ( x ? x )dx
0

1

A.2

B.3

C.4 )

D.5

10. 执行如图所示的程序框图,那么输出的 S 为(

y
(A)3 1 (C) 2 4 (B) 3 (D)-2

Dn

Cn

O An
(第 10 题图)

Bn

x

(第 11 题图)

11.如图,矩形 An Bn C n Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另外两个顶点 C n , Dn 在函数

f ?x ? ? x ?

1 ( x ? 0) 的图象上.若点 Bn 的坐标 x

?n,0?(n ? 2, n ? N ? ) ,记矩形 A B C D 的
n n n n

周长为 a n ,则 a 2 A.208

? a3 ? ? ? a10 ?
C.212





B.216

D.220
第2页 共4页

12. 设 f ( x) 的定义域为 D ,若 f ( x) 满足下面两个条件则称 f ( x) 为闭函数:① f ( x) 是 D 上单 调函数;②存在 [a, b] ? D ,使 f ( x) 在 [a, b] 上值域为 [a, b] . 现已知 f ( x) ? 则 k 的取值范围是( A. ?1 ? k ? ? )

2 x ? 1 ? k 为闭函数,

1 2

B. k ? 1

第Ⅱ卷
5

1 ? k ?1 2 (90 分)
C.

D. k ? ?1

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
? 1 ? 13.在 ? ? x?3 ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?

.

?x ? 0 ? 14.已知 x,y 满足约束条件 ?3x ? 4 y ? 4, 则x 2 ? y 2 的最小值是 ?y ? 0 ?
15.如图,过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及
2

其准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是 16.数列 {an } 的首项为 1,数列 {bn } 为等比数列且 bn ?

。 。

an ?1 ,若 b10 ? b11 ? 2 ,则 a21 ? an

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.(本题满分 12 分)已知 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c ,向量 m = (cosB,cosC), n =(2a+c,b),且 m ⊥ n . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ?

?? ?

?

?? ?

?

3 ,求 a ? c 的范围

18.(本题满分 12 分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划,高三理科班学生的化学与物理水 平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分 A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级,设 x 、 y 分别表示化学、 物理成绩. 例如: 表中化学成绩为 B 等级的共有 20+18+4=42 人.已知 x 与 y 均为 B 等级的概率为 0.18. (1)求抽取的学生人数; (2)若在该样本中,化学成绩的优秀率是 0.3, 求 a , b 的值; (3)物理成绩为 C 等级的学生中,已知

x
y
A B C

A 7 9

B 20 18 4
P

C 5 6

a ? 10 , 12 ? b ? 17 , 随机变量 ? ? a ? b ,求 ? 的
分布列和数学期望. 19.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底面 ABCD , ABCD 是直角梯形, AB ? AD ,

a

b

E

AB / /CD , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2, E 是 PB 的中点。
A B C

第3页 共4页

D

(1)求证:平面 EAC ? 平面 PBC (2)若二面角 P ? AC ? E 的余弦值为 6 ,求直线 PA 与
3

平面 EAC 所成角的正弦值.
20.(本小题满分 l2 分)设椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a2 b2
2

焦点分别为 F1 (?1, 0) 、 F2 (1, 0) ,直线 l : x ? a 交 x 轴

???? ???? ? 于点 A ,且 AF1 ? 2 AF2 .
(1)试求椭圆的方程; (2)过 F1 、 F2 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于

D 、E 、M 、N 四点(如图所示) 试求四边形 DMEN
面积的最大值和最小值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ,其中 g ( x) 的函数图象在点 (1, g (1)) 处的切线 平行于 x 轴. (Ⅰ)确定 a 与 b 的关系;
2

(II)若 a ? 0 ,试讨论函数 g ( x) 的单调性; (Ⅲ)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 证明:

1 1 ?k? . x2 x1

四、选做题: 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D A 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (2)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB
2

E O M

D C B 23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同 的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 参数方程为 ? 标方程为 ? cos( ??

? x ? 3 cos? ? y ? sin?

( ? 为参数),直线 l 的极坐

?
4

) ? 2 2.

(1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离,并求出这个点的坐标。 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (1)已知 x 、 y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;
3 3 2 2

第4页 共4页

(2)若不等式 a ? 1 ? 3 x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3 z ? 1 对满足 x ? y ? z ? 1 的一切正实数

x, y, z 恒成立,求实数 a 的取值范围.

试卷答案(仅供参考)
一、选择:

1 B

2 A

3 B

4 D

5 C

6 D

7 C

8 C

9 A

10 C

11 B

12 A

二、填空题 13.10 14.

16 25

15.y =3x

2

16.1024


三、解答题: 17.解:∵ m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b),且 m⊥n. ∴cosB(2a+c)+ b cosC=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 分 ∴cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0 ∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即 2cosBsinA=-sin(B+C)=-sinA。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分 ∴cosB=-1/2 ∵0≤B≤180 ∴B=120.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 (2)由余弦定理,得

2 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? ac 3
? (a ? c) 2 ? (
? (a ? c) 2 ? 4
又a ?c ? b ?

a?c 2 3 ) ? (a ? c) 2 2 4

当且仅当 a ? c 时,取等号.。。。。10 分

a?c ? 2

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11 分

3

? a ? c ? ( 3,2] 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分

18.解:(Ⅰ)依题意, 得 n ? 100

18 ? 0.18 , n

..……………………………(2 分)

7?9?a (Ⅱ)由 ? 0.3 ,得 a ? 14 . 100 ∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 ,∴ b ? 17
第5页 共4页

.…………………………(6 分)

(Ⅲ)由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, 12 ? b ? 17 , ∴满足条件的 (a, b) 有:(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),共 6 组. ∵ ? ? a ? b ,∴ ? 的取值为 1,3,5,7.

P(? ? 1) ?

2 1 2 1 1 1 ? , P(? ? 3) ? ? , P(? ? 5) ? , P(? ? 7) ? . 6 3 6 6 3 6

故 ? 的分布列为

?
P

1

3

5

7

1 6 1 1 1 1 10 ∴ E? ? 1 ? ? 3 ? ? 5 ? ? 7 ? ? 3 3 6 6 3

1 3

1 3

1 6
.……………………………(12 分)

19.(Ⅰ)法一:几何方法证明:勾股定理→AC⊥BC,由已知得 AC⊥PC,证出 AC⊥平面 PCB,得证.法二:建坐标系,用向量证…………………………………………….6 分 ( Ⅱ ) 直 线 PA 与 平 面 EAC 所 成 角 的 正 弦 值

? ……………………………………………….12 分 ?
20.(本题 12 分) 解:(1)由题意, | F1 F2 | ? 2c ? 2,? A(a 2 , 0),
?????? ?

? AF1 ? 2 AF2

? F2 为 AF1 的中点

? a 2 ? 3, b 2 ? 2
即 : 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? ? 1. 3 2

…………………………………………(5分)

2 (2)当直线 DE 与 x 轴垂直时,| DE |? 2 b ? 4 ,此时 | MN |? 2a ? 2 3 ,四边形 DMEN 的

a

3

面积 S ? | DE | ? | MN | ? 4 .同理当 MN 与 x 轴垂直时,也有四边形 DMEN 的面积
2
S? | DE | ? | MN | ?4. 2
2 2

当直线 DE ,MN 均与 x 轴不垂直时, 设 DE : y ? k ( x ? 1) , 代入消去 y

? ? 6k 2 x ? x ? , 1 2 ? 得: (2 ? 3k ) x ? 6k x ? (3k ? 6) ? 0. 设 ? 2 ? 3k 2 D ( x1 , y1 ), E ( x 2 , y 2 ), 则? 2 ? x x ? 3k ? 6 , 1 2 ? 2 ? 3k 2 ?
2 2

第6页 共4页

2 4 3 (k 2 ? 1) 所以, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 3 ? k ? 1 ,所以, | DE |? k 2 ? 1 | x1 ? x 2 |? , 2 ? 3k 2 3k 2 ? 2

同理

1 1 4 3[(? ) 2 ? 1] 4 3( 2 ? 1) k k | MN |? ? . 1 3 2 ? 3(? ) 2 2? 2 k k
| DE | ? | MN | 1 4 3 (k 2 ? 1) S? ? ? ? 2 2 2 ? 3k 2 4 3(

………………………9 分

所以四边形的面积

1 1 2 ? 1) 24(k ? 2 ? 2) 2 k k ? 1 3 2 6(k ? 2 ) ? 13 2? 2 k k

令 u ? k 2 ? 1 , 得S ? 24(2 ? u ) ? 4 ? 2
k 13 ? 6u

4 13 ? 6u

因为 u ? k 2 ?

1 ? 2, 当 k ? ?1时, u ? 2, S ? 96 , 2 k 25
25

且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以 96 ? S ? 4 . 综上可知, 96 ? S ? 4 .故四边形 DMEN 面积的最大值为 4,最小值为 96 .……12 分
25

25

1 ? 2ax ? b x 由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 ∴ b ? ?2a ? 1 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分 2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) (2)由(1)得 g '( x) ? ? x x
21。解:(1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? bx ,则 g '( x) ?
2

∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ∴当 a ? 0 时, g '( x ) ? ?

由 g '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , 即函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减; 当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 若

x ?1 x

1 , 2a

1 1 1 1 ,由 g '( x) ? 0 得 ? 1 ,即 a ? 时,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? ? x ?1, 2a 2 2a 2a 1 1 即函数 g ( x) 在 (0, ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减; 2a 2a 1 1 1 1 若 或 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 得 1 ? x ? , ? 1 ,即 0 ? a ? 时,由 g '( x) ? 0 得 x ? 2a 2 2a 2a 1 1 即函数 g ( x) 在 (0,1) , ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 单调递减; 2a 2a 1 1 若 ? 1 ,即 a ? 时,在 (0, ??) 上恒有 g '( x) ? 0 , 2a 2 即函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 综上得:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减;
第7页 共4页

当0 ? a ? 增;

1 1 1 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, ) 单调递减;在 ( , ??) 上单调递 2 2a 2a

1 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 2 1 1 1 当 a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递 2 2a 2a
当a ? 增.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 分 (3)依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1 1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 证 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x ? x1 x x ?x 因 x2 ? x1 ? 0 ,即证 2 ? ln 2 ? 2 1 x2 x1 x1 x 1 令 2 ? t ( t ? 1 ),即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) t x1 1 1 1 t ?1 令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 t t t t ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增, 1 ∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 )。。① t
令 u(x)=lnt –t +1 ∵uˊ(x)=1/t-1=(1-t)/t 又∵t>1 ∴u(t)在(1,+∞)单调递减 ∴u(t)﹤u(1)=0 ∴lnt﹤t-1 。。 ② 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ),即

1 t

1 1 ? k ? . 。。。。。。。。。。12 分 x2 x1

四、选做题 22.证明:(1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB , OD ? OD 所以 ?ODE ? ?ODB .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分 所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 分 (2)延长 DO 交圆 O 于点 H 因为 DE ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH )
2

? DM ? DO ? DM ? OH .。。。。。。。。。。。7 分 1 1 2 所以 DE ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB) 2 2
所以 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB 。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分
2

第8页 共4页

23.(1)曲线 C: (2) 3 2

x2 ? y 2 ? 1,直线 l : x ? y ? 4 ? 0 。。。。。。。。。。。。。5 分 3
P( ?
3 3

3 1 ,? ) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 2 2
2 2 2 2

24.(1)证明:由 ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? x ( x ? y ) ? y ( y ? x)

? ( x ? y)( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? y ) 2 ( x ? y ) 。。。。。。3 分
又 x 、 y 都是正实数, 所以 ( x ? y ) ? 0 、 x ? y ? 0 ,即 ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? 0
2 3 3 2 2

所以 x ? y ? x y ? xy 。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 分
3 3 2 2

(2)根据柯西不等式有

?

? ? ?1? 3x ? 1 ? 1? 3 y ? 1 ? 1? 3z ? 1 ? ? ?1 ? 1 ? 1 ? ?? 3 x ? 1 ? ? ? 3 y ? 1 ? ? ? 3 z ? 1 ? ? ? 3 ? ? ?3 ? x ? y ? z ? ? 3 ? ? ? 3 ? 6 ? 18 ? ? ? ?
3x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3z ? 1
2 2 2 2 2 2 2 2

? 3 x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3 z ? 1 ? 3 2 …………………………………………………3 分
又? a ? 1 ? 3 x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3 z ? 1 恒成立,? a ? 1 ? 3 2 ,

? a ? 1 ? 3 2 或 a ? 1 ? ?3 2 ,即 a ? 3 2 ? 1 或 a ? 1 ? 3 2 ,
所以 a 的取值范围是 ??,1 ? 3 2 ? ? ?1 ? 3 2, ??

?

?

?

?

………………………5 分

第9页 共4页


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