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高中数学——圆锥曲线试题精选(含答案) 2


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高考圆锥曲线试题精选
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

x2 y 2 ) ? ? 1 的焦距为( 10 2 A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3 2 x 2.(2004 全国卷Ⅰ文、理)椭圆 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的 4 直线与椭圆相交

,一个交点为 P,则 | PF2 | = ( )
1、(2008 海南、宁夏文)双曲线 A.

3 2

B. 3

C.

7 2

D.4

5.(2007 福建理)以双曲线 ( A. C. )

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 9 16
B. D.

9. (2002 北京文)已知椭圆 双曲线的渐近线方程是( A. x ? ?

x y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和双曲线 ? 2 ? 1 有公共的焦点,那么 3m 2 5n 2m 2 3n


2

3 3 y x D. y ? ? 4 4 x2 y2 10. (2003 春招北京文、理)在同一坐标系中,方程 2 ? 2 ? 1与ax ? by 2 ? 0(a ? b ? 0) a b
B. y ? ? C. x ? ? 的曲线大致是 ( ) 二、填空题: (每小 题 5 分,计 20 分) 11. (2005 上海文)
A
y y y O x x O x O x y O

15 y 2

15 x 2

B

C

D

若椭圆长轴长与短轴长之比为 2,它的一个焦点是 2 15 ,0 ,则椭圆的标准方程是 _________________________
王新敞
奎屯 新疆

?

?

12.(2008 江西文)已知双曲线

x2 y 2 3 x, ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程为 y ? ? 2 3 a b


若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线方程为 三、解答题: (15—18 题各 13 分,19、20 题各 14 分) 15.(2006 北京文)椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上, a 2 b2 4 14 且 PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; . 3 3 (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M, 交椭圆 C 于 A, B 两点, 且 A、 关于点 M 对称,求 B
直线 l 的方程..

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? 18.(2008 辽宁文) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之
和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . 少? (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多

??? ?

??? ?

??? ?

y 2 19. (2002 广东、河南、江苏)A、B 是双曲线 x - =1 上的两点,点 N(1,2)是线段 AB 的 2 中点 (1)求直线 AB 的方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是否共圆? 为什么?

2

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“圆锥曲线与方程”单元测试(参考答案)
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案
2 2

1 D

2 C

3 A

4 A

5 A

6 A
2

7 A

8 C

9 D

10 A

二、填空题: (每小题 5 分,计 20 分) 11.

x y ? ? 1; 80 20

12.

x2 3 y 2 ? ?1 . 4 4

13. y ? 12 x .

14.

x 2 ? ( y ? 1)2 ? 10 .
三、解答题: (15—18 题各 13 分,19、20 题各 14 分) 15..解:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ?
2

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

从而 b2=a -c2=4, 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? =1. 9 4

(Ⅱ)解法一:设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). 、 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2 8 8 解得 k ? , 所以直线 l 的方程为 y ? ( x ? 2) ? 1, 9 9
因为 A,B 关于点 M 对称., 所以 即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) (Ⅱ) 解法二:已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y x2 y ? 1 ? 1, ① ? 2 ? 1, ② 9 4 9 4 ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) 由①-②得 1 ? ? 0. 9 4
因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

2

2

2

2



y1 ? y 2 8 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 ,所以直线 l 的方程为 y-1= (x+2) , x1 ? x 2 9 9 9
即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)

16.解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0). a2 b2 2 2 2 2 由已知得 a ? 3 , c ? 2, 再由a ? b ? 2 , 得b ? 1. 故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. (Ⅱ)将 y ? kx ? 2代入 3

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启智辅导 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 即k2 ?

?1 ? 3k 2 ? 0, ? ?? ? (6 2k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0. ?

1 且k 2 ? 1. ① 3

设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 x A ? x B ?

6 2k ?9 , , x A xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 由OA ? OB ? 2得x A x B ? y A y B ? 2,

而 x A x B ? y A y B ? x A x B ? (kxA ? 2 )( kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A x B ? 2k ( x A ? x B ) ? 2

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2k ?2? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 7 ? 3k 2 ? 9 1 于是 ② ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1 1 由①、②得 ? k 2 ? 1. 3 3 3 故 k 的取值范围为 (?1,? )?( ,1). 3 3 2 x0 x x 17.解: (Ⅰ)设切点 Q( x0 , ). y? ? , 知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 0 , 由 4 2 2 2 2 x x x x 故所求切线方程为 y ? 0 ? 0 ( x ? x0 ), 即y ? 0 x? 0 . 4 2 2 4 2 x 2 因为点 P (0, 在切线上, -4) 所以 ? 4 ? ? 0 , x0 ? 16, x0 ? ?4. 所以切线方程为 y=±2x-4. 4 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ). 由题设知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k>0. ? (k 2 ? 1)
因直线 AC 过焦点 F(0,1) ,所以直线 AC 的方程为 y=kx+1. 点 A,C 的坐标满足方程组 ?

? y ? k x ? 1,
2

? x ? 4 y, ? x1 ? x 2 ? 4k , 由根与系数的关系知 ? ? x1 x 2 ? ?4.

消去 y,得 x ? 4kx ? 4 ? 0,
2

AC ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 4(1 ? k 2 ).

1 1 因为AC ? BD,所以BD的斜率为 ? ,从而BD的方程y ? ? x ? 1. k k 2 1 2 4(1 ? k ) . 同理可求得 BD ? 4(1 ? (? ) ) ? 4 k2 1 8(1 ? k 2 ) 1 S ABCD ? AC BD ? ? 8(k 2 ? 2 ? 2 ) ? 32. 2 2 k k
当 k=1 时,等号成立.所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32.

? (0 18.解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),,3) 为焦点,
长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,故曲线 C 的方程为

x2 ?

y2 ? 1. 4

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? 2 y2 ? 1, ?x ? (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ? 2k 3 2 2 消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 , 故 x1 ? x2 ? ? 2 . ,x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4 ??? ??? ? ? OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 . ? 2 ? 2 ?1 ? 2 k2 ? 4 k ? 4 k ? 4 k ?4 ??? ??? ? ? 1 所以 k ? ? 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB . 2 1 4 12 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17 ???? ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 而 ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ?
2 2

42 4 ? 3 43 ?13 , ? 4? ? 172 17 17 2

所以 AB ?

???? ?

4 65 . 17
2

19.解:(1)依题意,可设直线方程为 y=k(x-1)+2 y 2 2 2 代入 x - =1,整理得 (2-k)x -2k(2-k)x-(2-k) -2=0 2 2k(2-k) 2 2-k 1 由 N(1,2)是 AB 中点得 (x1+x2)=1 2 ∴ k(2-k)=2-k ,解得 k=1,所易知 AB 的方程为 y=x+1. 2 (2)将 k=1 代入方程①得 x -2x-3=0,解出 x1=-1,x2=3,由 y=x+1 得 y1=0,y2 =4 即 A、B 的坐标分别为(-1,0)和(3,4) 由 CD 垂直平分 AB,得直线 CD 的方程为 y=-(x-1)+2,即 y=3-x ,代入双曲线方程, 整理, 2 得 x +6x-11=0 ② 记 C(x3,y3),D(x4,y4),以及 CD 中点为 M(x0,y0),则 x3、x4 是方程②的两个的实数根,所以 1 x3+x4=-6, x3x4=-11, 从而 x0= (x3+x4)=-3,y0=3-x0=6 2 |CD|= (x3-x4) +(y3-y4) = 2(x3-x4) = 2[(x3+x4) -4x3x4=4 10 1 |MC|=|MD|= |CD|=2 10, 又|MA|=|MB|= 2
2 2 2 2 2 2 2


2

记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程①的两个不同的实数根,所以 2-k ≠0,且 x1+x2=



(x0-x1) +(y0-y1) = 4+36=2 10 即 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等,所以 A、B、C、D 四点共圆. 20.(Ⅰ)解法一:设点 P( x,y ) ,则 Q(?1 y) ,由 , = 得: y Q O
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( x ? 1, ? , y) ? ( x ? 1,y)? ?2,y) ,化简得 C : y 2 ? 4 x . 0) (2 ? ( ??? ??? ??? ? ? ? ( (Ⅰ)解法二:由 = 得: FQ? PQ ? PF ) ? 0 , ??? ? ??? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ( PQ ? PF )? PQ ? PF ) ? 0 ,? PQ ? PF ? 0 , ? PQ ? PF . (

P B F A x

M

启智辅导 所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x .
2

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1(m ? 0) . 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1 ? , 联立方程组 ?

? ?

2? ?, m?

? y 2 ? 4 x,

? x ? my ? 1,

,消去 x 得:

? y1 ? y2 ? 4m, y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m) 2 ? 12 ? 0 ,故 ? ? y1 y2 ? ?4. ???? ??? ???? ? ??? ? 2 2 由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得: y1 ? ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 , m m 2 2 整理得: ?1 ? ?1 ? , ?2 ? ?1 ? , my1 my2 2 y ? y2 2 1 1 2 4m ) = ? 2 ? ·1 ∴ ? 1 ? ? 2= ? 2 ? ( ? =-2- · =0. m y1 y 2 m y1 y 2 m ?4

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