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误差与有效数字


第十一章 数据处理技术

第十一章 数据处理技术
第一节 误差 第二节 有效数字

第十一章 数据处理技术

第一节 误



掌握误差中相关概念及计 算方法,重点掌握平均偏 差、相对平均偏差、标准 偏差的概念及计算方法; 难点:平均偏差、相对平 均偏差、标准偏差的概

念及 计算方法。

第十一章 数据处理技术

一、误差产生的原因 系统误差 偶然误差

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一)系统误差
又称可测误差,是由化验操作过程中某 种固定原因造成的。具有单向性,即正 负、大小都有一定的规律性,当重复进 行化验分析时会重复出现。

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系统误差产生的原因
(1)方法误差 (2)仪器误差 (3)试剂误差 (4)操作误差

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系统误差的校正
采用标准方法与标准样品进行对照实验; 对仪器校正以减小仪器的系统误差; 采用纯度高的试剂或进行空白试验,校 正试剂误差; 严格训练与提高操作人员的技术业务水 平,以减少操作误差等。

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二)偶然误差
也称随机误差,由某些难以控制、无 法避免的偶然因素造成的,其大小与 正负值都是不固定的。如操作中温度、 湿度、灰尘等的影响都会引起分析数 值的波动。

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偶然误差的特点
(1)在一定的条件下,在有限次数测 量值中,其误差的绝对值不会超过一定 界限; (2)同样大小的正负值的偶然误差, 几乎有相等的出现机率,小误差出现的 机率大,大误差出现的机率。

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偶然误差的校正
为了减少偶然误差,应该重复多次 平行实验并取结果的平均值。在消 除了系统误差的条件下,多次测量 结果的平均值可能更接近真实值。

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二、误差的表示方法
准确度 精密度 准确度和精密度的关系

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一、准确度
绝对误差( E)=测得值( X)-真实值( T )

表示测得值与真实值之间相符合的程度。误差越 小,准确度越高;误差越大,准确度越低。

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一、准确度
例 1 :对氢氧化钠溶液的浓度进行测定, :对氢氧化钠溶液的浓度进行测定 , 第 1 次测定值为8.30 % , 已知真实值为 次测定值为 8 30% 8.34%,求该次测定的绝对误差和相对 34% 误差? 误差?

解:

绝对误差= X ? T = 8.30 ? 8.34 = ?0.04

E 0.04 相对误差(RE或E%) = × 100% = × 100% = 0.48% T 8.34

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n i x1 + x 2 + ? ? ? + x n 算术平均值( x ) = = i =1 n n ∑ xi 绝对误差( E) x ? T = = n E x ?T 相对误差( RE ) = × 100 % = × 100 % T T 式中 x ? ? n次测定结果的算术平均 值;

∑x

x i ? ?第i次测定的结果; n ? ?测定次数; T ? ?真实值(标准值或标准 样品值等)。

多次测量结果用算术平均值计算准确度

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二、精密度
精密度是指在相同条件下, 精密度是指在相同条件下 , n 次重 复测定结果彼此相符合的程度。 复测定结果彼此相符合的程度。精 密度的好坏常用偏差表示, 密度的好坏常用偏差表示,偏差小 说明精密度好。 说明精密度好。

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一)绝对偏差与相对偏差
绝对偏差(d) x ? x = d x?x 相对偏差(d%) × 100% = = × 100% x x 式中 d - -单次测定结果的绝对偏差; x - -单次测定结果; x - -n次测定结果的算术平均值; d% - -单次测定结果的相对偏差。

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二)平均偏差与相对平均偏差
平均偏差(d ) = d1 + d 2 + d 3 + ? ? ? + d n n

∑d =
n

i

d ∑ d i × 100% 相对平均偏差(d %) = × 100% = xi nx 式中d ? ?平均偏差; n ? ?测定次数; x ? ?单次测定结果; d i ? ?第i次测定值与平均值的绝对偏差,d i = x i ? x ;

∑d

i

? ?n次测定的绝对偏差之和, d i = x1 ? x + x 2 ? x + ? ? ? + x n ? x 。 ∑

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二)平均偏差与相对平均偏差
例2:用凯氏定氮法测定鸡浓缩料中粗蛋白含 量,5次测定结果如下:55.51% 55.50% 量,5次测定结果如下:55.51%, 55.50%, 55.46% 55.49% 55.51%,求5 55.46%, 55.49%, 55.51%,求5次测量值 的平均值,平均偏差及相对平均偏差。
x

∑x 算术平均值(x) =

55.51 + 55.50 + 55.46 + 55.49 + 55.51 = 55.49 n 5 ∑ d i = ∑ x i ? x =(0.02 + 0.01 + 0.03 + 0.00 + 0.02)= 0.016 平均偏差(d ) = n n 5 ∑ d i × 100% = 0.016 × 100% = 0.028% 相对平均偏差(d %) = nx 55.49
i

=

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三)标准偏差与相对标准偏差
标准偏差(S) =
2 (x i ? x ) ∑ i =1 n n

n ?1

=

∑ di
i =1

2

n

n ?1

=

∑ di
i =1

2

f

S 相对标准偏差( CV) = × 100% x
总体标准偏差( σ) =
2 (x i ? x ) ∑ i =1 n

n

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四)平均值的标准偏差
平均值的标准偏差(S x) =
式中: 式中:S—标准偏差 标准偏差 n—测定次数 测定次数

S n

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例 3 : 分析蛋糕中淀粉的含量得到如下 数据( 数据 ( % ) 。 37.45 , 37.20 , 37.50 , 37.45, 37.20, 37.50, 37.30,37.25。计算此结果的算术平均 37.30,37.25。 值、极差、平均偏差、标准偏差(变异 极差、平均偏差、标准偏差( 系数) 系数)、相对标准偏差与平均值的标准 偏差。 偏差。

第十一章 数据处理技术

算术平均值(x) = 极差(R) x max =

37.45 + 37.20 + 37.50 + 37.30 + 37.25 = 37.34% n 5 ? x min = 37.50 ? 37.20 = 0.30%
i

∑x

=

各次测定的偏差(%)分别是:d 1 = +0.11;d 2 = ?0.14;d 3 = ?0.04;d 4 = +0.16; d 5 = ?0.09。

∑d = 平均偏差(d )
n
n i =1

i

=
2 i

0.11 + 0.14 + 0.04 + 0.16 + 0.09 = 0.(%) 1 5

2 2 2 2 (0.11 2 + 0.14) + 0.04) + 0.16) + 0.09) )( ( ( ( = = = 0.13 %) 标准偏差(S) ( n ?1 5 ?1 S 0.13 相对标准偏差(CV) = × 100% = × 100% = 0.35% x 37.34

∑d

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三、准确度与精密度的关系
精密度是保证准确度的先决条件, 只有精密度好,才能得到好的准确 度; 提高精密度不一定能保证高的准确 度,须进行系统误差的校正,才能 得到高的准确度。

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复习思考题
1. 误差产生的原因? 误差产生的原因? 2. 误差的表示方法? 误差的表示方法? 3. 准确度与精密度的关系? 准确度与精密度的关系? 4. 衡量数据精密度的指标有哪些? 衡量数据精密度的指标有哪些?

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第二节 有效数字
目的要求 掌握有效数字的修约和 相关概念与计算法则;
重点: 重点:有效数字的修约和

重点与难点

计算法则;
难点: 难点:有效数字的修约和

计算法则。

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一、有效数字的使用
有效数字是指实际上能测量到的数字, 通常包括全部准确数字和一位不确定的 可疑数字。一般可理解为在可疑数字的 位数上有± 位数上有±1个单位,或在其下一位上 有±5个单位的误差。有效数字保留的 位数与测量方法及仪器的准确度有关。

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注意事项
(1)记录测量所得数据时,应当、也只 允许保留一位可疑数字。 12.5000g 不 仅 表 明 试 样 的 质 量 为 12.5000g 12.5000g , 还 表 示 称 量 误 差 在 12.5000g ±0.000lg, 是用分析天平称量的 。 如 000lg , 是用分析天平称量的。 将其质量记录成12.50g 将其质量记录成12.50g,则表示该试样 是在台称上称量的,其称量误差为 ±0.01g。 01g

第十一章 数据处理技术

注意事项
(2)有效数字的位数还反映了测量的相对 误差。 如称量某试剂的质量为0 5180g 误差 。 如称量某试剂的质量为 0.5180g , 表示该试剂质量是( 5180± 0001) 表示该试剂质量是 ( 0.5180±0.0001 ) g , 其相对误差( 其相对误差(RE)为:
± 0.0001 RE % = × 100% ≈ ±0.02% 0.5180

第十一章 数据处理技术

注意事项
(3)有效数字位数与量的使用单位无关。 如称得某物的质量是l2g,二位有效数字。 如称得某物的质量是l2g,二位有效数字。 若以mg为单位时,应记为l.2× mg,而 若以mg为单位时,应记为l.2×104mg,而 不应该记为12000mg。若以kg为单位,可记 不应该记为12000mg。若以kg为单位,可记 为0.012kg或1.2×10-2kg。 0.012kg或1.2× kg。 实验中的数字与数学中的数字 区别

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注意事项
(4)数据中的“0”要作具体分析。 )数据中的“ 字前0定位,字后0 字前0定位,字后0有效 数字中间的“ ,如2005中 00” 数字中间的“0”,如2005中“00”都是 有效数字。数字前边的“ 有效数字。数字前边的“0”,如 0.012kg,其中“0.0” 0.012kg,其中“0.0”都不是有效数字, 它们只起定位作用。数字后边的“ 它们只起定位作用。数字后边的“0”, 尤其是小数点后的“ ,如2.50中 尤其是小数点后的“0”,如2.50中“0” 是有效数字,即2.50是三位有效数字。 是有效数字,即2.50是三位有效数字。

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二、有效数字的修约
四舍六入五成双,即当尾数≤ 四舍六入五成双,即当尾数≤4时,舍 去;尾数≥ 时,进位;当尾数为5 去;尾数≥6时,进位;当尾数为5时, 则应视保留的末位数是奇数还是偶数, 5前为偶数应将5舍去,5前为奇数则将5 前为偶数应将5舍去,5前为奇数则将5 进位。

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修约法则
(1)若被舍弃的第一位数字大于5,则其 若被舍弃的第一位数字大于5 前一位数字加1 前一位数字加 1 。 如 28.2645, 取 3 位有 28.2645 , 效数字时, 其被舍弃的第一位数字为6 效数字时 , 其被舍弃的第一位数字为 6 , 大于5 则有效数字应为28. 大于5,则有效数字应为28.3。 (2)若被舍弃的第一位数字等于5,而其 若被舍弃的第一位数字等于5 后数字全部为零, 后数字全部为零,则视被保留的末位数 字为奇数或偶数(零视为偶数) 字为奇数或偶数(零视为偶数)而定进 或舍, 末位是奇数时进1 或舍 , 末位是奇数时进 1 , 末位为偶数 舍弃。 28.350, 28.250,28.050, 舍弃。如28.350, 28.250,28.050,只 取 3 位 有 效 数 字 时 , 分 别 应 为 28.4 , 28. 28.2,28.0。 28. 28.

第十一章 数据处理技术

修约法则
(3)例如将28.175和28.165处理成4位有 例如将28.175和28.165处理成4 效数字,则分别为28.18和28.16。 效数字,则分别为28.18和28.16。 (4)若被舍弃的第一位数字为5,而其后 若被舍弃的第一位数字为5 面的数字不全是零, 面的数字不全是零,无论前面数字是偶 或奇, 皆进 1 或奇 , 皆进1 。 如 28.2501, 只取3 位有 28.2501 , 只取 3 效数字时,则进1 成为28. 效数字时,则进1,成为28.3。

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修约法则
(5)若被舍弃的数字包括几位数字时, 不得对该数进行连续修约,而应根据以 上规则仅作一次处理。如2.154546,只 上规则仅作一次处理。如2.154546,只 取3位有效数字时,应为2.15,而不得 位有效数字时,应为2.15,而不得 连续修约为2.16 连续修约为2.16 (2.154546→2.15455→2.1546→2.155 →2.16)。 →2.16)。

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三、有效数字的计算法则
在处理数据时,常遇到一些准确度不同 的数据。对于这类数据,必须按照一定 的法则进行运算,既可节省计算时间, 又可避免过繁计算引入错误,使结果能 真正符合实际测量的准确度。

第十一章 数据处理技术

一)加减运算 一)加减运算
加减运算后的有效数字。 加减运算后的有效数字。 根据误差理论, 根据误差理论 , 加减运算后结果的绝对误 差等于参与运算的各数值误差之和, 差等于参与运算的各数值误差之和 , 因此运 算后的误差应大于参与运算各数中任何一个 的误差。 的误差。所以 加减运算后小数点后有效数字 的位数, 的位数 , 与参加运算各数中小数点后位数最 少的相同。 少的相同。

例:12.35+0.0056+7.8903=? 12.35+ 0056+ 8903= 解:绝对误差最大的数是12.35。 解:绝对误差最大的数是 12.35 。 应以它 为依据,先修约,再计算。 为依据,先修约,再计算。 12.35+0.01+7.89=20.25 12.35+ 01+ 89=20. 为稳妥起见,也可在修约时多保留一位, 算完后再修约一次。 算完后再修约一次。 12.35+0.006+7.890=20.246 ≈ 20.25 12.35+ 006+ 890=20. 20.

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二)乘除运算
乘除运算后的有效数字。 根据误差理论,乘除运算结果的相 对误差等于参加运算各数值的相对误差 之和。由干一般说来有效数字位数越少, 它的相对误差就越大,所以乘除运算后 它的相对误差就越大,所以乘除运算后 的有效数字位数,与参加运算各数中有 效数字位数最少的相同。

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例1:求0.0121×25.64×1.05782=? :求0.0121×25.64×1.05782=? 0.0121有效数字位数最少,应以它为标准 0121有效数字位数最少, 先 进 行 修 约 , 再 计 算 : 0.0121×25.6×1.06=0.328 0121×25. 06= 或先多保留一位有效数字,算完后再修约 一次。 一次。 0.0121×25.64×1.058=0.3282, 0.0121×25.64×1.058=0.3282, 修约为0 修约为0.328

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四、有效数字及计算法则应用
正确地记录测量数据; 正确确定样品用量和选用适当的仪器; 正确报告分析结果; 正确掌握对准确度的要求; 计算器运算结果中有效数字的取舍 。

第十一章 数据处理技术

复习思考题
1.有效数字使用应注意什么? 有效数字使用应注意什么? 2.使用有效数字计算法则,计算下列式子。 使用有效数字计算法则,计算下列式子。 ① 10.48+0.0032+6.4982=? 10.48+ 0032+ 4982= ② 8.4+0.004+5.321=? 004+ 321= ③ 0.0132×21.47×1.04832=? 0132×21.47× 04832= ④ 0.028×13.5×2.0547=? 028×13. 0547= 3.化验分析工作中如何正确运用有效数字 3.化验分析工作中如何正确运用有效数字 及其计算法则?


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