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几何证明选讲[高考数学总复习][高中数学课时训]


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几何证明选讲

基础自测 1.如图所示,已知在△ABC 中,∠C=90°,正方形 DEFC 内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC, AC=1,BC=2,则 AF∶FC= 答案
1 2

.

2.从不在⊙O 上的一点 A 作直

线交⊙O 于 B、C,且 AB·AC=64,OA=10,则⊙O 的半径等 于 答案 2
41

. 或6
2 5

3.设 P 为△ABC 内一点,且 AP = 答案
1 5

AB

+

1 5

AC

,则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比等于

.

4.如图所示,AC 为⊙O 的直径,BD⊥AC 于 P,PC=2,PA=8, 则 CD 的长为 答案 2
5

,cos∠ACB=
5 5

.

5.如图所示,PA 与圆 O 相切于 A,PCB 为圆 O 的割线,并且不过圆心 O, 已知∠BPA=30°,PA=2 答案 7
3

,PC=1,则圆 O 的半径等于

.

例1

已知:如图所示,以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为

邻边作平行四边形 ACED,连接 EB,DC 的延长线交 BE 于 F. 求证:EF=BF. 证明 连接 AE 交 DC 于 O. ∵四边形 ACED 为平行四边形, ∴O 是 AE 的中点(平行四边形对角线互相平分). ∵四边形 ABCD 是梯形, ∴DC∥AB. 在△EAB 中,OF∥AB,O 是 AE 的中点, ∴F 是 EB 的中点,即 EF=BF. 例2 如图所示,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,F 为 AB

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高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 上任意一点,CF 交 AD 于点 E.求证:AE·BF=2DE·AF. 证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M,交 FC 于点 N. 在△BCF 中,D 是 BC 的中点, DN∥BF,∴DN=
1 2

BF.

∵DN∥AF,∴△AFE∽△DNE, ∴
AE AF

=
1 2

DE DN

.
AE AF

又 DN=

BF,∴

=

2 DE BF



即 AE·BF=2DE·AF. 例3 (2008·苏、锡、常、镇三检)自圆 O 外一点 P 引切线与圆切于点 A, M 为 PA 的中点,过 M 引割线交圆于 B,C 两点. 求证:∠MCP=∠MPB. 证明
2

∵PA 与圆相切于 A,

∴MA =MB·MC, ∵M 为 PA 中点,∴PM=MA, ∴PM =MB·MC,∴
2

PM MC

=

MB PM

.

∵∠BMP=∠PMC,∴△BMP∽△PMC, ∴∠MCP=∠MPB. 例4 (14 分)如图所示,AB 是⊙O 的直径,G 为 AB 延长线 上的一点,GCD 是⊙O 的割线,过点 G 作 AB 的垂线,交 AC 的 延长线于点 E,交 AD 的延长线于点 F,过 G 作⊙O 的切线,切 点为 H. 求证: (1)C,D,F,E 四点共圆; (2)GH =GE·GF. 证明 (1)连接 BC.∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°. ∵AG⊥FG,∴∠AGE=90°. 又∠EAG=∠BAC, ∴∠ABC=∠AEG. 又∠FDC=∠ABC, ∴∠FDC=∠AEG. ∴∠FDC+∠CEF=180°. ∴C,D,F,E 四点共圆. (2)∵GH 为⊙O 的切线,GCD 为割线, ∴GH =GC·GD. 由 C,D,F,E 四点共圆, 得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF. ∴△GCE∽△GFD.∴ 即 GC·GD=GE·GF. ∴CH =GE·GF.
2 2 2

7分

GC GF

=

GF GD



14 分

希望大家高考顺利

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例 5 (2008· 徐州三检) 如图所示, O 是△ABC 的外接圆, 圆 过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D, CD=2 AB=BC=3.求 BD 以及 AC 的长.

7




2

由切割线定理得:DB·DA=DC ,
2

2

即 DB(DB+BA)=DC , DB +3DB-28=0,得 DB=4. ∵∠A=∠BCD,∴△DBC∽△DCA, ∴
BC CA

=

DB DC

,得 AC=

BC ? DC DB

=

3 2

7

.

1.已知:如图所示,从 Rt△ABC 的两直角边 AB,AC 向外作正方 形 ABFG 及 ACDE,CF,BD 分别交 AB,AC 于 P,Q. 求证:AP=AQ. 证明 ∵∠BAC+∠BAG=90°+90°=180°, ∴C,A,G 三点共线.同理 B,A,E 三点共线. ∵AB∥GF,AC∥ED,∴ 即 AP=
CA ? GF CG AP GF

=

CA CG

, .

AQ ED

=

BA BE



,AQ=

BA ? ED BE

又∵CA=ED=AE,GF=BA=AG, ∴CG=CA+AG=AE+BA=BE. ∴AP=AQ. 2.如图所示,△ABC 是⊙O 的内接三角形,且 AB=AC,AP 是 ∠BAC 的外角的平分线,弦 CE 的延长线交 AP 于点 D.求证: AD =DE·DC. 证明 连接 AE,则∠AED=∠B. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB. ∵∠QAC=∠B+∠ACB, 又∠QAP=∠PAC, ∴∠DAC=∠B=∠AED. 又∠ADE=∠CDA, ∴△ACD∽△EAD, 从而
CD AD
2 2

=

AD DE



即 AD =DE·DC. 3.(2008·南京第二次质检)如图所示,圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E, EF∥CB,EF 交 AD 的延长线于点 F,FG 切圆 O 于点 G.

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高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 (1)求证:△DFE∽△EFA; (2)如果 EF=1,求 FG 的长. (1)证明 ∵EF∥CB, ∴∠DEF=∠DCB. ∵∠DCB=∠DAB, ∴∠DEF=∠DAB. ∵∠DFE=∠EFA, ∴△DFE∽△EFA. (2)解
2

∵△DFE∽△EFA,∴

EF FA

=

FD EF

.

∴EF =FA·FD. ∵FG 切圆于 G,∴FG =FA·FD. ∴EF =FG .∴EF=FG.∵EF=1,∴FG=1. 4.已知:如图所示,在△ABC 中,AB=AC,O 是△ABC 的外心,延长 CA 到 P,再延长 AB 到 Q,使 AP=BQ. 求证:O,A,P,Q 四点共圆. 证明 连接 OA,OC,OP,OQ. ∵O 是△ABC 的外心,∴OA=OC. ∴∠OCP=∠OAC. 由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上, ∴∠OAC=∠OAQ, 从而∠OCP=∠OAQ, 在△OCP 和△OAQ 中, 由已知 CA=AB,AP=BQ, ∴CP=AQ.又 OC=OA, ∠OCP=∠OAQ, ∴△OCP≌△OAQ, ∴∠CPO=∠AQO, ∴O,A,P,Q 四点共圆. 5.(2008·徐州模拟)如图所示,已知 D 为△ABC 的 BC 边 上一点,⊙O1 经过点 B,D,交 AB 于另一点 E,⊙O2 经过 点 C,D,交 AC 于另一点 F,⊙O1 与⊙O2 交于点 G. (1)求证:∠EAG=∠EFG; (2)若⊙O2 的半径为 5,圆心 O2 到直线 AC 的距离为 3,AC=10,AG 切⊙O2 于 G,求线段 AG 的长. (1)证明 连接 GD,因为四边形 BDGE,CDGF 分别内接于⊙O1,⊙O2,∴∠ AEG=∠BDG,∠AFG=∠CDG, 又∠BDG+∠CDG=180°,∴∠AEG+∠AFG=180°. 即 A,E,G,F 四点共圆,∴∠EAG=∠EFG.
2 2 2

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(2)解

因为⊙O2 的半径为 5,圆心 O2 到直线 AC 的距离为 3,
5
2

所以由垂径定理知 FC=2

?3

2

=8,又 AC=10,

∴AF=2,∵AG 切⊙O2 于 G,∴AG =AF·AC =2×10=20,AG=2
5

2

.

一、填空题 1.如图所示,在△ABC 中,AD 是高线,CE 是中线,DC=BE,DG⊥CE 于 G,EC 的长为 8, 则 EG= .

答案 4

2.如图所示,已知△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点, BE 的延长线交 AC 于点 F,则 AF= AC.

答案

1 3

3.如图所示,在半圆 O 中,AB 为直径,CD⊥AB,AF 平分∠CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,则图中相似三角形一共有 答案 5 4.(2008· 广东理,15)已知 PA 是圆 O 的切线, 切点为 A, PA=2, 是圆 O 的直径, 与圆 O 交于点 B, AC PC PB=1, 则圆 O 的半径 R= 答案
3

对.

.

5.如图所示,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠使点 希望大家高考顺利

高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 B 落在 AD 边上的中点 E 处,则折痕 FG 的长为 答案
65 6

.

6.如图所示,已知 AP 是圆 O 的切线,P 为切点,AC 是圆 O 的割线,与圆 O 交于 B,C 两点,圆心 O 在∠PAC 的内部, 点 M 是 BC 的中点.则∠OAM+∠APM 的大小为 答案 90° 7.如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3. 过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E,则∠DAC= 为 . 答案 30° 3 8.(2008·徐州质检)如图所示,锐角△ABC 内接于⊙O, ∠ABC=60°,∠BAC=36°,作 OE⊥AB 交劣弧 点 E,连结 EC,则∠OEC= 答案 12° 二、解答题 9.已知:如图所示,在△ABC 中,D 是 BC 的中点, F 是 BA 延长线上的点,FD 与 AC 交于点 E. 求证:AE·FB=EC·FA. 证明 过 A 作 AG∥BC,交 DF 于 G 点. . 于 ,线段 AE 的长 .

∵AG∥BD,∴ 又∵BD=DC,∴ ∵AG∥CD,∴ ∴
FA FB

FA FB FA FB AG DC

= = =

AG BD AG DC AE EC

. . .

=

AE EC

.∴AE·FB=EC·FA.

10.已知:如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, CD⊥AB 于 D,DE⊥AC 于 E,DF⊥BC 于 F. 求证:AE·BF·AB=CD . 证明
2 3

∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
4 2 2

∴CD =AD·BD,故 CD =AD ·BD . 又∵Rt△ADC 中,DE⊥AC, Rt△BDC 中,DF⊥BC, ∴AD =AE·AC,BD =BF·BC. ∴CD =AE·BF·AC·BC. 又∵AC·BC=AB·CD, ∴CD =AE·BF·AB·CD,即 AE·BF·AB=CD . 11.(2008·苏南四市二检) 从⊙O 外一点 P 引圆的两条切 线 PA,PB 及一条割线 PCD,A,B 为切点.
4 3 4 2 2

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求证: 证明

AC BC

=

AD BD

.

∵PA 为⊙O 的切线,∴∠PAC=∠PDA,

而∠APC=∠DPA,∴△PAC∽△PDA, 则
AC AD

=

PA PD

.同理
AC AD

BC BD

=

PB PD

.
AC BC

∵PA=PB,∴

=

BC BD

.∴

=

AD BD

.

12.(2008·宁夏)如图所示,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 点作直线 AP 垂直于直线 OM,垂足为 P.

(1)证明:OM·OP=OA ; (2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直于直线 ON,且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线交直线 ON 于 K. 证明:∠OKM=90°. 证明 (1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA⊥AM. 又因为 AP⊥OM,在 Rt△OAM 中,由射影定理知, OA =OM·OP. (2)因为 BK 是圆 O 的切线,BN⊥OK, 同(1) ,有 OB =ON·OK,又 OB=OA, 所以 OP·OM=ON·OK,即 又∠NOP=∠MOK, 所以△ONP∽△OMK,故∠OKM=∠OPN=90°. 13.(2008·江苏)如图所示,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E,∠BAC 的平分线与 BC 交 于点 D. 求证:ED =EC·EB. 证明 如图所示,因为 AE 是圆的切线, 所以∠ABC=∠CAE. 又因为 AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD=∠CAD. 从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD. 因为∠ADE=∠ABC+∠BAD, ∠DAE=∠CAE+∠CAD, 所以∠ADE=∠DAE,故 EA=ED. 因为 EA 是圆的切线,所以由切割线定理知, EA =EC·EB, 而 EA=ED,所以 ED =EC·EB. 14.已知:如图所示,△ABC 内接于⊙O,过点 A 的切线交 BC 的延长线于点 P,D 为 AB 的中点,DP 交 AC 于 M. 求证:
PA PC
2 2
2 2 2 2 2

2

ON OP

=

OM OK

.

=

AM MC

.

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高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 证明 如图所示,过点 B 作 BN∥CM,交 PD 的延长线于点 N,

则∠N=∠AMD,∠NBD=∠DAM. 又 AD=DB,∴△BND≌△AMD.∴BN=AM. ∵CM∥BN,∴ ∴
BP PC BN CM

=

BP CP

.

=

AM MC

.
2

由切割线定理,得 PA =PC·PB. ∴
PA PC
2 2

=

PC ? PB PC
2

=

BP PC

,故

PA PC

2 2

=

AM MC

.

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