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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:质量检测4]


质量检测(四)
测试内容:立体几何 时间:90 分钟 分值:120 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(2013· 烟台诊断)一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥 的体积为( )

1 A.3 2 C.3

1 B.2 1 D.6

1 1 1 1 解析:V=3Sh=3

×2×2×1×1=3. 答案:A 2.已知水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′(斜二测画法) 是边长为 2a 的正三角形,则原△ABC 的面积为( A. 2a2 6 C. 2 a2 3 B. 2 a2 D. 6a2 )

2 解析:斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为 1∶ 4 ,则易 2 3 知 4 S= 4 ( 2a)2,∴S= 6a2.故选 D. 答案:D 3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AA1,AB 的中点, 则 EF 与对角面 BDD1B1 所成角的度数是( A.30° C.60° 解析:如图,∵EF∥A1B, )

B.45° D.150°

∴EF,A1B 与对角面 BDD1B1 所成的角相等,设正方体的棱长为 1,则 A1B= 2. 连接 A1C1,交 D1B1 于点 M,连接 BM,则有 A1M⊥面 BDD1B1, ∠A1BM 为 A1B 与面 BDD1B1 所成的角. 2 Rt△A1BM 中,A1B= 2,A1M= 2 ,故∠A1BM=30° .∴EF 与对 角面 BDD1B1 所成角的度数是 30° . 答案:A

4.(2013· 山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形, 其正(主)视图如右图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( A.4 5,8 8 C.4( 5+1),3 8 B.4 5,3 D.8,8 )

解析:由题意可知该四棱锥为正四棱锥,底面边长为 2,高为 2,
?1 ? 侧面上的斜高为 22+12= 5,所以 S 侧=4×?2×2× 5?=4 5,V= ? ?

1 2 8 × 2 × 2 = 3 3. 答案:B 5.(2013· 宁波市高三“十校”联考)若有直线 m、n 和平面 α、β, 下列四个命题中,正确的是( )

A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α 解析:α⊥β,m⊥β,则 m∥α 或 m?α,又∵m?α,∴m∥α,选 D. 答案:D

6.(2013· 保定第一次模拟)三棱锥 V-ABC 的底面 ABC 为正三角 2 形,侧面 VAC 垂直于底面,VA=VC,已知其正视图(VAC)的面积为3, 则其左视图的面积为( )

3 A. 2

3 B. 6

3 C. 4

3 D. 3

解析:利用三棱锥及三视图的特征,可设底面边长为 a,高为 h, 1 2 4 1 3 3 则2ah=3,∴ah=3,故其左视图的面积为 S=2·2 a· h= 2 ,故选 D. 答案:D

7.(2013· 南平质检)如图是某几何体的三视图,其中正视图是正 方形,侧视图是矩形,俯视图是半径为 2 的半圆,则该几何体的表面 积等于( )

A.16+2π C.16+4π

B.24π D.12π

解析:由三视图知,几何体是半个圆柱,而圆柱下底面圆的半径 为 2,其轴截面为边长为 4 的正方形,故表面积为 4×4+2π· 4+2· 2π =16+12π. 答案:A 8.(2013· 荆州质检(Ⅱ))在半径为 R 的球内有一内接圆柱,设该 r 圆柱底面半径为 r,当圆柱的侧面积最大时,R为( 1 A.4 2 C. 2 1 B.2 3 D. 2 )

解析:圆柱的底面半径为 r,则有 h=2 R2-r2,侧面积 S=2πr· h =4πr R -r =4π
2 2

r ?R -r ?≤4π

2

2

2

?r2+R2-r2?2 ? ? =2πR2,当且仅当 2 ? ?

r 2 r2=R2-r2 即R= 2 时,圆柱的侧面积取得最大值,所以选 C. 答案:C 9.(2013· 山东潍坊模拟)已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两 个不同平面,给出四个命题: ①若 α∩β=m,n?α,n⊥m,则 α⊥β;②若 m⊥α,m⊥β,则 α ∥β;③若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β;④若 m∥α,n∥β,m∥n, 则 α∥β. 其中正确的命题是( A.①② C.①④ ) B.②③ D.②④

解析:由面面平行、垂直的定义可知②③正确,故选 B. 答案:B 10. (2013· 东北三校第二次联考)三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边 长为 3的正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC.若球 O 与三棱柱 ABC- A1B1C1 各侧面、底面均相切,则侧棱 AA1 的长为( 1 A.2 C.1 3 B. 2 D. 3 )

解析:此三棱柱为正三棱柱,球 O 与三个侧面均相切,其俯视 图如图所示.

1 1 其半径为 R,R=BD· 3=2. 1 球 O 的半径为2,若球 O 与上、下底面均相切,则 AA1=2R=1, 故选 C. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

11 . (2013· 乌鲁木齐第一次诊断 ) 如图,单位正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,点 P 在平面 A1BC1 上,则三棱锥 P-ACD1 的体积为 ________. 解析:由图易知,平面 A1BC1∥平面 ACD1,∴P 到平面 ACD1 1 3 的距离等于平面 A1BC1 与平面 ACD1 间的距离,等于3B1D= 3 ,而 S 1 3 △ACD1=2AD1· CD1sin 60° =2, 1 3 3 1 ∴三棱锥 P-ACD1 的体积为3× 2 × 3 =6. 1 答案:6 12.(2013· 汕头质量测评(二))如图,某简单几何体的正(主)视图 π 与侧(左)视图都是边长为 1 的正方形,且其体积为4,则该几何体的 俯视图可以是________.

π π 解析:该几何体是高为 1 的柱体,由体积为4,知底面积为4,所 以填 D. 答案:D 13.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 3 2 2 ,底面边长为 3,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 ________. 解析: 过 O 作底面 ABCD 的垂线段 OE, 则 E 为正方形 ABCD 的 1 3 2 3 2 中心.由题意可知3×( 3)2×OE= 2 ,所以 OE= 2 ,故球的半径 R=OA= OE2+EA2= 6,则球的表面积 S=4πR2=24π. 答案:24π

14.(2013· 北京卷)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上.点 P 到直线 CC1 的距离的 最小值为________. 解析:点 P 到直线 CC1 的距离等于点 P 在平面 ABCD 上的射影

到点 C 的距离,设点 P 在平面 ABCD 上的射影为 P′,显然点 P 到 直线 CC1 的距离的最小值为 P′C 的长度的最小值. 当 P′C⊥DE 时, P′C 的长度最小,此时 P′C= 2 5 答案: 5 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 2×1 2 5 = 5 . 2 2 +1

15.(满分 12 分)(2013· 重庆卷)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ π 底面 ABCD,PA=2 3,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=3. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体 积. 解:(1)证明:因为 BC=CD,所以△BCD 为等腰三角形, 又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD.从而 BD 与平面 PAC 内两 条相交直线 PA,AC 都垂直,所以 BD⊥平面 PAC.

1 (2)三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD=2BC· CD· sin∠BCD 1 2π =2×2×2×sin 3 = 3. 由 PA⊥底面 ABCD,得 1 1 VP-BCD=3· S△BCD· PA=3× 3×2 3=2. 1 由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为8PA,故 1 1 1 1 1 VF-BCD=3· S△BCD· PA = × 3 × × 2 3 = 8 3 8 4, 1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-4=4. 16.(满分 12 分)(2013· 辽宁卷)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直 圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点.

(1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点, G 为△AOC 的重心, 求证: QG∥平面 PBC. 证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC, 由 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.

(2)连接 OG 并延长交 AC 于 M,连接 QM,QO, 由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 的中点. 由 Q 为 PA 的中点,得 QM∥PC, 又 O 为 AB 的中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM?平面 QMO, MO?平面 QMO,BC∩PC=C, BC?平面 PBC,PC?平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG?平面 QMO, 所以 QG∥平面 PBC.

17. (满分 13 分 )(2013· 新课标全国卷Ⅰ )如图,三棱柱 ABC - A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° .

(1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 解:(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° ,故△AA1B 为等边三角形,所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C,故 AB⊥A1C.

(2)由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,所以 OC=OA1= 3,又 A1C= 6,则 A1C2=OC2+OA2 1,故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC- A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V= S△ABC×OA1=3.

18.(满分 13 分)(2013· 四川卷)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120° ,D,D1 分 别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说 明理由,并证明直线 l⊥平面 ADD1A1; (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q, 求三棱锥 A1-QC1D 的体积. (锥 1 体体积公式:V=3Sh,其中 S 为底面面积,h 为高) 解:(1)证明:如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,因 为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平面 A1BC 内,由直线与平面平行的判定 定理可知,l∥平面 A1BC.

由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点,

所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交, 所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)过 D 作 DE⊥AC 于 E. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 DE⊥AA1. 又因为 AC,AA1 在平面 AA1C1C 内,且 AC 与 AA1 相交, 所以 DE⊥平面 AA1C1C. 由 AB=AC=2,∠BAC=120° ,有 AD=1,∠DAC=60° , 3 3 所以在△ACD 中,DE= 2 AD= 2 , 1 又 S△A1QC1=2A1C1· AA1=1,所以 1 1 3 3 VA1-QC1D=VD-A1QC1=3DE· S△A1QC1=3× 2 ×1= 6 . 3 因此三棱锥 A1-QC1D 的体积是 6 .


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