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高二数学◆选修1-2◆导学案 复数


高二数学◆选修 1-2◆导学案

编者:冯建新

§ 复数的运算 3.2
学习目标
1.掌握复数的代数形式的加、 减运算及其几何 意义. 2.掌握复数的代数形式的乘、除运算.

(4) (3 ? 2i)+[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] = 复数的减法如下: (1) a ? bi 的相反数:

(2)运算法则:转化为加法运算. (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i 由此可见,两个复数的差是一个确定的复数. 探究任务二:复数加、减法的几何意义 问题: 复数与复平面内的向量有一一对应的关 系.我们讨论过向量加法的几何意义,你能由 此出发讨论复数加法的几何意义吗?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P57~ P61,找出疑惑之处) 复习 1:试判断下列复数 1 ? 4i, 7 ? 2i, 6, i, ?2 ? 0i, 7i, 0 ? 3i 在复平面中落 在哪象限?并画出其对应的向量.

复习 2:求复数 z ? log2 2 ? 3i 的模

??? ???? ???? ? ? ? 由平面向量的坐标运算,有 OZ = OZ1 ? OZ2 = ( )

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复数代数形式的加减运算 规定:复数的加法法则如下: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,是任意两个复数,那 么 (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i 很明显,两个复数的和仍然是 . 问题:复数的加法满足交换律、结合律吗?
新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ? C ,有
z 1 ? z2 ? z2 ? z1 ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ?( z2 ? z) 3

新知: 复数加法的几何意义:复数的加法可以按照 向量的加法来进行 (满足平行四边形、 三角形 法则) 复数减法的几何意义:复数的减法运算也可 以按向量的减法来进行.

注:可以推广到多个复数相加:

※ 典型例题 例 1 计算 (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i)
试试:计算 (1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) = (2) (7 ? 2i)+(1 ? 4i) = (3) [(3 ? 2i)+(?4 ? 3i)] ? (5 ? i) =

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编者:冯建新

变式:计算 (1) ?8 ? 4i ? ? 5 (2) ? 5 ? 4i ? ? 3i (3)
2 ? 3i 3 ? ? ?2 ? 9i ? ?

(3) (?3 ? 4i) ? (2 ? i) ? (1 ? 5i) ; (4) (2 ? i) ? (2 ? 3i) ? 4i

?

2 ?i

?
探究任务三:复数代数形式的乘法运算 规定,复数的乘法法则如下: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,是任意两个复数,那 么 (a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 = (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 即:两个复数相乘,类似于两个多项式相乘, 只要在所得的结果中把 i 2 换成 ?1 ,并且把实 部与虚部分别合并即可.

小结: 两复数相加减, 结果是实部、 虚部分别相加减. 例 2 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、 A、C 对应的复数分别为 0, 3 ? 2i , ?2 ? 4i , 试求: ???? (1) AO 表示的复数; ??? ? (2) CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数.

问题: 复数的乘法是否满足交换律、 结合律以 及乘法对加法的分配律?

试试:计算 (1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) (2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i) ?[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)]

小结: 减法运算的实质为终点复数减去起点复 ??? ? 数,即: AB ? zB ? z A

※ 动手试试 练 1. 计算: (1) (2 ? 4i) ? (3 ? 4i) ; (2) 5 ? (3 ? 2i) ;

新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ? C ,有
z 1? z2 ? z2 ? z1

( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ?( z2 ? z) 3

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编者:冯建新

z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3 反思: 复数的四则运算类似于多项式的四则运 算,也满足其在实数集上的运算律. 复数的乘方 复数的乘方也就是相同复数的乘积, 根据乘法 的运算律, 实数范围内正整数指数幂的运算律 在复数范围内仍然成立. 即对复数 z1、z2、z 和自然数 m n 有 、

小结: 复数的乘法运算类似于实数集上的乘法 运算. 例 4 求证: (1) z ? z ? z ? z
2 2

(2) z ? z
2

??

2

?z ?

z m ? z n ? z m? n
m n

(3) z1 ? z2 ? z1 ? z2

? z m? n
n

? z1 ? z2 ?

? z1n ? z 2 n

探究任务四:复数的除法法则 问题:若 z1 , z2 是共轭复数,那么 (1)在复平面内,它们所对应的点的位置关 系为: (2) z1 ? z2 是一个怎样的数?

(a ? bi ) ? (c ? di ) ?
?

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ? c ? di (c ? di )(c ? di )
例 5 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ;

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) c2 ? d 2 c2 ? d 2

※ 典型例题 例 3 计算: (1) (3 ? 4i)(3 ? 4i) ;

(2) (1 ? i)2

变式:计算(1)

3 ? 2i 3?i , (2) (1 ? i ) 2 ? 1 (1 ? 2i ) 2

变式:计算: (1) ( 3 ? 2i)(? 3 ? 2i) ; (2) (1 ? i)2 ; (3) i(2 ? i)(1 ? 2i)

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对应的复数为 4 ? 3i ,则 z1 ? z2
2

2

?

3.2 复数的运算
同步练习 一、选择题 1.

12.设复数 z 满足 i ? z ?1? ? ?3 ? 2i i 为虚数 ( 单位) ,则 z 的实部是

?6 ? 2i ? ? ?3i ?1? 等于(



3 5 5 A. ? 3i B. ? 5i C. 7 ? i D. ? 5i 2.若复数 z 满足 z ? 2i ? 5 ? 6 ? 7i , z = ) 则 ( 5i 1 A.4i ? 2i B. C. 1 D. ? 5i 3. 在复平面内,O 是坐标原点,点 A 对应的
复 数 为 2 ? 3i , 向 量 OB 对 应 的 复 数 为

三、解答题 13.计算 (1) ? 2 ? i ?? ?1 ? 5i ??3 ? 4i ? ? 2i ;
5 (2) 4 ? i

??? ?

?

?? 6 ? 2i ? ? ? 7 ? i ? ? 4 ? 3i ? ;
7 11

??? ? ?2 ? i ,则向量 BA 对应的复数为( ) A. 1 ? 4i B. 4 ? 2i C. ?4 ? 2i D. 5 ? 2i 2?i ?( 4.复数 ) 1? i 1 3 1 3 3 3 3 3 A. ? i B. ? i C. ? i D. ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ? i ?? 2 ? i ? ? 5. i 是虚数单位, 则 的虚部为 ) ( i A. ?1 B. 1 C. ?3 D. 3 2i ? a ? bi , ? a, b ? R ? ( ) 6.复数 1? i A. a ? 1, b ? 1 B. a ? ?1, b ? ?1 C. a ? ?1, b ? 1 D. a ? 1, b ? ?1
7.已知复数 z ? ? 2 ? i ??1 ? i ? 的实部为 a ,虚
2

(3)

2?i

?3 ? 4i ??1 ? i ?
?2 3 ? i

2

? ?1 ? i ?

2

(4)

2 1996 ?( ) 1? i 1 ? 2 3i

部为 b ,则 log a b 的值等于( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14.已知复数 z1 ? ?1 ? ai , z2 ? b ? 3i , 8. i 是虚数单位, ? A. 0 二、填空题 9.已知 z1 ? m ? 3m ? m i , ? m ? R ?
2 2

1 1 1 1 ? ? ?( ) i i3 i5 i 7 B. 2i C. ? 2i D. 4i

a a, b ? R , z1 ? z2 与 z1 ? z2 均为实数, 且 求 ; b

z2 ? 4 ? ?5m ? 6? i ,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 m ?

10. 满足条件 z ? i ? 3 ? 4i 的复数 z 在复平 面内对应点的轨迹是 11. 复数 z1 , z2 分别对应复平面内的点 M1, M 2 , 且 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,线段 M1M 2 的中点 M

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A. 1

B. ?1

C. ?i

D. i

本章检测
一、选择题 1. ?1 ? i ? ? i 等于( )
2

11.复数 z 满足 z ? z ? 2 ? i ,则 z 等于( )

A.2 ? 2i B.2 ? 2i C.2 D. ?2 2.设复数 z 满足 i ? z ? 2 ? i ,则 z 等于( ) A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

a ? 1 ? bi ,其中 a , b 都是实数,i 是虚 1? i 数单位,则 a ? bi ? ( )
3.若 A. 5 B. 2 C. 3 D. 1

3 3 ? i D. ? i 4 4 1 ? 2i ? 1? i , ( ) 12.设 a , b 为实数, 若复数 则 a ? bi 3 1 A. a ? , b ? B. a ? 3, b ? 1 2 2 1 3 C. a ? , b ? D. a ? 1, b ? 3 2 2
A. ? B. C. ? 二、填空题 13.实数 x, y 满足 ?1 ? i ? x ? ?1 ? i ? y ? 2 ,则

3 i 4

3 ?i 4

5 4.复数 的共轭复数是( ) 3 ? 4i 3 4 3 4 A. 3 ? 4i B. ? i C. 3 ? 4i D. ? i 5 5 5 5 5. i 是虚数单位, 若集合 S ? ??1,0,1? , ( ) 则
A. i ? S B. i ? S C. i ? S D.
2 3

xy 的值是
14.若复数 z ? ? m ?1? ? ? m ? 2? i 对应的点在 直线 y ? 2 x 上,则实数 m 的值是 15.设 a 是实数, 且

6.设 i 是虚数单位,复数 实数 a 为( ) A. 2 B. ?2

1 ? ai 为纯虚数,则 2?i 1 2
D.

2 ?S i

a 1? i ? 是实数, a ? 则 1? i 2
3 2

16.若虚数 z 满足 z 3 ? 8 , z ? z ? 2 z ? 2 ? 三、解答题 17.计算
20 5 ? ? 1? i ? ? ? 1? i ? 100 ??1 ? 2i ? ? i ? ? ? ? ?? ? ? 1? i ? ? ? 2 ? ? ? ? 2

C. ?

1 2

7.设复数 z1 ? 3 ? bi , z2 ? 1 ? 2i ,若 数,则实数 b 的值为( ) A. 6 B. ?6 C. 0 D.

z1 是实 z2

1 6

8. a 为整实数,i 是虚数单位,

a?i ? 2 ,则 i
D. 1

a ?( )
A. 2 B. 3 C. 2 ) 9.已知复数 z1 ? 3 ? 4i , 2 ? t ? i , z1 ? z2 是 且 z 实数,则实数 t 等于(

?1 ? i ? 18.已知复数 z ?

? 3 ?1 ? i ? ,若 2?i z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求实数 a , b 的值。
2

4 4 3 B. C. ? D. ? 3 3 4 2 100 50 10.若 z ? ,则 z ? z ? 1 的值是( ) 1? i

3 A. 4


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