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【6年高考4年模拟】2013版高考数学 第六章 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和精品试题


【数学精品】2013 版《6 年高考 4 年模拟》 第六章 第一节 数列 六年高考题

等差数列、等比数列的概念及求和第一部分 荟萃 2012 年高考题

一、选择题 1.【2012 高考重庆理 1】在等差数列 {a n } 中, a 2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {a n } 的前 5 项和 S 5 = A.7 【答案】B 【 解

析 】 因 为 a 2 ? 1 , a 4 ? 5 , 所 以 a1 ? a5 ? a 2 ? a 4 ? 6 , 所 以 数 列 的 前 5 项 和 B.15 C.20 D.25

S5 ?

5(a1 ? a5 ) 5(a 2 ? a 4 ) 5 ? ? ? 6 ? 15 ,选 B. 2 2 2

2.【2012 高考浙江理 7】设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,则下列 命题错误的是 A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0
*

D. 若对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列
*

【答案】C 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,?.满足数列{S n}是递增数列, 但是 S n>0 不成立.故选 C。

a a ( a 3. 2012 高考新课标理 5】 【 已知 ? an 为等比数列, 4 ? a7 ? 2 , 5 a6 ? ?8 , a1 ? 01 ? 则
( A) 7
【答案】D

?



( B) 5

(C ) ??

( D) ??

【 解 析 】 因 为 {a n } 为 等 比 数 列 , 所 以 a5 a6 ? a 4 a7 ? ?8 , 又 a 4 ? a 7 ? 2 , 所 以

a4 ? 4,a7 ? ?2 或 a4 ? ?2,a7 ? 4 . 若 a4 ? 4,a7 ? ?2 , 解 得 a1 ? ?8,a10 ? 1 ,
a1 ? a10 ? ?7 ;若 a4 ? ?2,a7 ? 4 ,解得 a10 ? ?8,a1 ? 1 ,仍有 a1 ? a10 ? ?7 ,综上选
-1-

D. 4.【2012 高考上海理 18】设 a n ? 正数的个数是( A.25 【答案】D 【解析】当 1≤ n ≤24 时, a n >0,当 26≤ n ≤49 时, a n <0,但其绝对值要小于 1≤ n ≤24 时相应的值,当 51≤ n ≤74 时, a n >0,当 76≤ n ≤99 时, a n <0,但其绝对值要小于 51 ≤ n ≤74 时相应的值,∴当 1≤ n ≤100 时,均有 S n >0。 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律,从 题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0,这就是规律,考查综合分析问题和解决问题的能 力. 5.【2012 高考辽宁理 6】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 【答案】B 【解析】在等差数列中,? a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ? (B)88 (C)143 (D)176 ) B.50 C.75 D.100

1 n? , S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,在 S1 , S 2 , ?, S100 中, sin n 25

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式,同时考查运算求解能 力,属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。 6.【2012 高考福建理 2】等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 考点:等差数列的定义。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为等差数列的通项公式 an ? a1 ? ( n ? 1)d 。 【解析】法 1:由等差中项的性质知 a3 ? 法 2: ?

a1 ? a5 ? 5 ,又? a4 ? 7,? d ? a4 ? a3 ? 2 .故选 B. 2

?2a1 ? 4d ? 10 ?d ?2 ?a1 ? 3d ? 7

7. 【2012 高考安徽理 4】 公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数, a3a11 ? 16 , log 2 a16 = 且 则 ( )

( A) 4
【答案】B

( B) 5

(C ) ?

( D) ?

-2-

【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q ? 32 ? log 2 a16 ? 5 .
2 9

8.【2012 高考全国卷理 5】 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 的前 100 项和为 (A)

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100

【答案】A 【命题意图】 本试题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的公式的运用, 以及裂项求和的 综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和。 【 解 析 】 由 a5 ? 5, S 5 ? 15 , 得 a1 ? 1, d ? 1 , 所 以 a n ? 1 ? (n ? 1) ? n , 所 以

1 1 1 1 ? ? ? a n a n ?1 n(n ? 1) n n ? 1





1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ?? ? ? ? ? ??? ? ? 1? ? ,选 A. a1 a 2 a100 a101 1 2 2 3 100 101 101 101
二、填空题 9.【2012 高考浙江理 13】设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。若 S2=3a2+2, S4=3a4+2,则 q=______________。 【答案】
3 2

【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子. 即?
? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 ,两式作差得: a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) ,即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 , a1 ? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? 3a1q 3 ? 2 ?

解之得: q ?

3 或 q ? ?1 (舍去). 2

10.【2012 高考新课标理 16】数列 {a n } 满足 an ?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 【答案】1830
n 【解析】由 a n ?1 ? (?1) a n ? 2n ? 1得,

a n ? 2 ? (?1) n a n ?1 ? 2n ? 1 ? (?1) n [( ?1) n ?1 a n ? 2n ? 1] ? 2n ? 1 ? ?a n ? (?1) n (2n ? 1) ? 2n ? 1 ,
n n ) ) 即 a n ? 2 ? a n ? (?1)(2n ? 1 ? 2n ? 1 ,也有 a n ?3 ? a n ?1 ? ?(?1)(2n ? 1 ? 2n ? 3 ,两式相加

-3-

得 a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ?3 ? ?2(?1) n ? 4n ? 4 ,设 k 为整数, 则 a 4 k ?1 ? a 4 k ? 2 ? a 4 k ?3 ? a 4 k ? 4 ? ?2(?1) 4 k ?1 ? 4(4k ? 1) ? 4 ? 16 k ?` , 10 于是 S 60 ?

K ?0

? (a

14

4 k ?1

? a 4 k ? 2 ? a 4 k ?3 ? a 4 k ? 4 ) ?

K ?0

? (16k ?`10) ? 1830

14

2 11.【2012 高考辽宁理 14】已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,

则数列{an}的通项公式 an =______________。 【答案】 2 n 【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想,是简单题.
2 【解析】? a5 ? a10 ,? (a1q 4 ) 2 ? a1q 9 ,? a1 ? q,? an ? q n ,

1 ? 2(an ? an? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ? (舍去), an ? 2n ? 2
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。 12.【2012 高考江西理 12】设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7 , a3 ? b3 ? 21 ,则

a5 ? b5 ? __________。
【答案】35 【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 【解析】 (解法一)因为数列 {an },{bn } 都是等差数列,所以数列 ?an ? bn ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质,得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3? ,即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 ,解得

a5 ? b5 ? 35 .
(解法二)设数列 {an },{bn } 的公差分别为 d1 , d 2 , 因为 a3 ? b3 ? (a1 ? 2d1 ) ? (b1 ? 2d 2 ) ? (a1 ? b1 ) ? 2(d1 ? d 2 ) ? 7 ? 2(d1 ? d 2 ) ? 21 , 所以 d1 ? d 2 ? 7 .所以 a5 ? b5 ? (a3 ? b3 ) ? 2(d1 ? d 2 ) ? 35 . 【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等 差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公 式,前 n 项和,等差中项的性质等. 13.【2012 高考北京理 10】已知 {an } 等差数列 S n 为其前 n 项和。若 a1 ?

1 , S2 ? a3 ,则 2

a2 =_______。

-4-

【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 2 1 n ? n 4 4
1 , 2

【解析】因为 S2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? a1 ? 所以 a2 ? a1 ? d ? 1, Sn ? na1 ? n(n ? 1)d ?

1 2 1 n ? n。 4 4
2

14.【2012 高考广东理 11】已知递增的等差数列{an}满足 a1=1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an=____. 【答案】 2n ? 1
2 2 【解析】由 a3 ? a2 ? 4 得到 1 ? 2d ? (1 ? d ) ? 4 ,即 d ? 4 ,应为{an}是递增的等差数列,
2

所以 d ? 2 ,故 an ? 2n ? 1 。 三、解答题 15【2012 高考江苏 20】 (16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

, n ? N *,

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn ?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

【答案】解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn = ,∴ an ?1 ? an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2





?b ? bn ?1 ? 1? ? n ? 。 an?1 ? an ?
2

2

2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ? 2 2



?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

-5-

∴ 1 < an ?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2。 (﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q=1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 时, an?1 ? a1q n > 2 ,与(﹡)矛盾。 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q a1 q a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1q n < 1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q=1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

2?
∴ bn =

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n?1 ? 1 ? ? n ? ,从而证 an?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an ?1 ? 公比 q=1 。 从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn ?1 ? 2 ?

2

2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an } 的

bn 2 2 = ? bn 知 {bn } 是公比是 的等比数 an a1 a1
-6-

列。最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 。 16.【2012 高考湖北理 18】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 【答案】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ? a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ? d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. 所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n .

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)
(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2 4, n ? 1, ? ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ? 17.【2012 高考广东理 19】 (本小题满分 14 分) ?5?

设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an ?1 ? 2 (1) 求 a1 的值; (2) 求数列{an}的通项公式. (3) 证明:对一切正整数 n,有

n ?1

? 1 ,n∈N﹡,且 a1,a2+5,a3 成等差数列.

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解 能力与推理论证能力,难度一般. 【解析】 (1) 2Sn ? an ?1 ? 2
n ?1

? 1, 2Sn?1 ? an? 2 ? 2n? 2 ? 1 相减得: an ? 2 ? 3an ?1 ? 2n ?1

2S1 ? a2 ? 3 ? a2 ? 2a1 ? 3, a3 ? 3a2 ? 4 ? 6a1 ? 13 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列 ? a1 ? a3 ? 2(a2 ? 5) ? a1 ? 1
* (2) a1 ? 1, a2 ? 5 得 an ?1 ? 3an ? 2 对 ?n ? N 均成立
n

an ?1 ? 3an ? 2n ? an ?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n ) a 得: n ? 2 ? 3( an ?1 ? 2
n n ?1

) ? 32 ( an ?2 ? 2 n ?2 ) ? ? ? 3 n ?1( a1 ? 2) ? an ? 3 n ?2 n
-7-

(3)当 n ? 1 时,

1 3 ?1? a1 2 3 n 3 2 1 1 n n n 当 n ? 2 时, ( ) ? ( ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ? ? n 2 2 an 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ?? ? ? 1? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1? ? n ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 2
由上式得:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? 。 a1 a2 an 2

18.【2012 高考陕西理 17】 (本小题满分 12 分) 设 ? an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列。 (1)求数列 ? an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。

【解析】 (1)设数列 ? an ? 的公比为 q ( q ? 0,q ? 1 ) 。 由 a5,a3,a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q ? a1q ? a1q 。
2 4 3

由 a1 ? 0,q ? 0 得 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2 , q2 ? 1 (舍去) ,所以 q ? ?2 。
2

(2)证法一:对任意 k ? N ? , (lby lfx)

Sk ? 2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? ? Sk ? 2 ? Sk ? ? ? Sk ?1 ? Sk ?

? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?1

? 2ak ?1 ? ak ?1 ? ? ?2 ? ? 0 ,
所以,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。
2a1 ?1 ? q k ? 1? q ?


证法二:对任意 k ? N ? , 2 S k ?

Sk ? 2 ? Sk ?1 ?

a1 ?1 ? q k ? 2 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q k ?1 ? 1? q

a1 ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? 1? q



2 S k ? ? S k ? 2 ? S k ?1 ? ?

2a1 ?1 ? q k ? 1? q

?

a1 ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? 1? q

-8-

?

a1 ? 2 ?1 ? q k ? ? ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? ? ? 1? q ?
a1q k 2 ? q ? q ? 2? ? 0 , 1? q

?

因此,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。

19.【2012 高考重庆理 21】 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分.) 设数列 an 的前 n 项和 S n 满足 Sn ?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 . (I)求证: an 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a2 ? ?1 ,求证: Sn ?

n (a1 ? a2 ) ,并给出等号成立的充要条件. 2

【答案】 (1)证明:由 S2 ? a2 S1 ? a1 ,得 a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 ,即 a2 ? a2 a1 。 因 a2 ? 0 ,故 a1 ? 1 ,得

a2 ? a2 , a1

又由题设条件知 Sn ? 2 ? a2 S n ?1 ? a1 , Sn ?1 ? a2 Sn ? a1 两式相减得 Sn ? 2 ? Sn ?1 ? a2 ? Sn ?1 ? Sn ? ,即 an ? 2 ? a2 an ?1 , 由 a2 ? 0 ,知 an ?1 ? 0 ,因此

an ? 2 ? a2 an ?1

综上,

an ? 2 ? a2 对所有 n ? N * 成立,从而 ?an ? 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列。 an ?1

(2)当 n ? 1 或 2 时,显然 Sn ?

n (a1 ? an ) ,等号成立。 2
n ?1

设 n ? 3 , a2 ? ?1 且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2 为:

,所以要证的不等式化

n ?1 ? a2n?1 ? ? n ? 3? 2 n ?1 2 n 即证: 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ? ?1 ? a2n ? ? n ? 2? 2 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n?1 ?
当 a2 ? 1 时,上面不等式的等号成立。 当 ?1 ? a2 ? 1 时, a2 ? 1 与 a2
r n?r

? 1 , r ?3 , 1? n ? )同为负; ( ,1 2

当 a2 ? 1 时,

a2 r ? 1 与 a2 n ? r ? 1 , r ?3 , 1? n ? )同为正; ( ,1 2
-9-

因此当 a2 ? ?1 且 a2 ? 1 时,总有 ( a2 ? 1 ) a2 (
r

n?r

? 1 )>0,即

a2 r ? a2 n ?r ? 1 ? a2 n , r ?3 , 1? n ? ) ( 。 ,1 2
上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1 求和得, 2( a2 ? a2 ? ? ? a2
2 n?r

) ? (n ? 1) ?1 ? a2 n ?

n ?1 ?1 ? a2n ? 2 n 综上,当 a2 ? ?1 且 a2 ? 0 时,有 Sn ? (a1 ? an ) ,当且仅当 n ? 1, 2 或 a2 ? 1 时等号成立。 2
由此得 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ? 20.【2012 高考江西理 16】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn。 2n
?

1 2 1 1 n ? kn 取最大值,即 8 ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 , 2 2 2 9 7 9 故 k ? 4 ,从而 an ? Sn ? Sn ?1 ? ? n(n ? 2) ,又 a1 ? S1 ? ,所以 an ? ? n 2 2 2 9 ? 2an n 2 3 n ?1 n (1) 因为 bn ? ? n?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 n 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? n ?2 ? n ?1 ? 4 ? n ?2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2
【答案】解: (1)当 n ? k ? N 时, Sn ? ? 【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用

? S1 (n ? 1), an ? ? 来 实 现 an 与 S n 的 相 互 转 化 是 数 列 问 题 比 较 常 见 的 技 巧 之 一 , 要 注 意 S n ? S n ?1 ?
an ? Sn ? Sn?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 ? S1 来求解.运用错位相减法求数列
的前 n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等 比数列. 21.【2012 高考湖南理 19】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数, A n) a1+a2+??+an, n) a2+a3+??+an+1, n) a3+a4+?? 记( = B ( = C ( = +an+2,n=1,2,?? (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) B(n) C(n)组成等差数列,求数 , , 列{ an }的通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数
?

A(n) B(n) C(n)组成公比为 q 的等比数列. , ,

- 10 -

【答案】解(1)对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列,所以

?

B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n),
即 an ?1 ? a1 ? an ? 2 , 亦即 an ? 2 ? an ?1 ? a2 ? a1 ? 4. 故数列 ? an ? 是首项为1,公差为4的等差数列.于是 an ? 1 ? (n ? 1) ? 4 ? 4 n ? 3. (Ⅱ) (1)必要性:若数列 ? an ? 是公比为q的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

an ?1 ? anq . 由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于0,于是
B(n) a2 ? a3 ? ... ? an ?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an ? 2 q(a2 ? a3 ? ... ? an ?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an ?1 a2 ? a3 ? ... ? an ?1


B ( n) C ( n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n) B ( n)
?

(2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则

B( n) ?

q A n , ? ( n) , B n ( ) C q ( )

于是 C (n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n) ? , 得 an? 2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即

an ? 2 ? qan ? 1? a ? a . 2

1

由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an ? 2 ? qan ?1 ? 0 . 因为 an ? 0 ,所以

an ? 2 a2 ? ? q ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列, an ?1 a1

综上所述,数列 ? an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡,三个数

A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定 义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证. 22.【2012 高考山东理 20】本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 .

- 11 -

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N *,将数列 ?an ? 中落入区间 (9 ,9
m 2m

) 内的项的个数记为 bm ,求数列 ?bm ?

的前 m 项和 S m . 【答案】解: (Ⅰ)因为 {an} 是一个等差数列, 所以 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 84 ,即 a4 ? 28 .

a9 ? a4 73 ? 28 ? ? 9, 9?4 5 所以, an ? a4 ? (n ? 4)d ? 28 ? 9(n ? 4) ? 9n ? 8 (n ? N*)
所以,数列 {an} 的公差 d ? (Ⅱ)对 m?N* ,若 9m ? an ? 92m , 则 9m ? 8 ? 9n ? 92m ? 8 ,因此 9m?1 ? 1 ? n ? 92m?1 , 故得 bm ? 92m?1 ? 9m (lb ylfx) 于是 Sm ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bm

? (9 ? 93 ? 95 ? ... ? 92m ?1) ? (1 ? 9 ? 92 ? ... ? 9 m ?1) 9 ? (1 ? 81m ) 1 ? 9m ? ? 1 ? 81 1? 9 92m ?1 ? 10 ? 9m ? 1 ? 80
2011 年高考题 一、选择题 1. (天津理 4)已知

?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, S n 为
B.-90 D.110

?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的值为
A.-110 C.90 【答案】D 2. 四川理 8) ( 数列

?an ? 的首项为 3 , bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N *) . b3 ? ?2 , ? 若则
B.3 C.8 D.11

b10 ? 12

,则

a8 ?

A.0 【答案】B

【解析】由已知知

bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8,

由叠加法

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3
3. (全国大纲理 4) 设 则k ?

Sn

为等差数列

?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,Sk ?2 ? Sk ? 24 ,

- 12 -

A.8 【答案】D

B.7

C.6

D.5

4. (江西理 5) 已知数列{ A.1 【答案】A 二、填空题 B.9

an

}的前 n 项和 C.10

Sn

满足:

Sn ? Sm ? Sn ? m

,且

a1

=1.那么

a10

=

D.55

5. (湖南理 12)设 则

Sn

是等差数列

{an } (n ? N ? )

,的前 n 项和,且

a1 ? 1, a4 ? 7



S9

=



【答案】25 6. (重庆理 11)在等差数列 【答案】74

{an }

中,

a3 ? a7 ? 37

,则

a2 ? a4 ? a6 ? a8 ?

__________

1 7 . 北 京 理 11 ) 在 等 比 数 列 {an} 中 , a1= 2 , a4=-4 , 则 公 比 q=______________ ; (

a1 ? a2 ? ... ? an ?
2 n ?1 ?
【答案】

____________。—2

1 2

8. (广东理 11)等差数列 k=____________. 【答案】10 9. (江苏 13)设

an

前 9 项的和等于前 4 项的和.若

a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则

1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a7

,其中

a1 , a3 , a5 , a7

成公比为 q 的等比数列,

a 2 , a 4 , a6

成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________
3 【答案】 3

三、解答题 10. (江苏 20)设M部分为正整数组成的集合,数列 知对任意整数 k ? M,当整数 (1)设 (2)设

{a n }的首项a1 ? 1
都成立

,前 n 项和为

Sn

,已

n ? k时, S n? k ? S n?k ? 2( S n ? S k )
的值; 的通项公式

M ? {1}, a 2 ? 2, 求a5

M ? {3,4}, 求数列{a n }

本小题考查数列的通项与前 n 项和的关系、 等差数列的基本性质等基础知识, 考查考生分析探 究及逻辑推理的能力,满分 16 分。 解: (1)由题设知,当

n ? 2时, Sn?1 ? Sn?1 ? 2( Sn ? S1 )


- 13 -



( Sn ?1 ? Sn ) ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? 2S1



从而 所以

an?1 ? an ? 2a1 ? 2, 又a2 ? 2, 故当n ? 2时, an ? a2 ? 2(n ? 2) ? 2 n ? 2. a5
的值为 8。

(2)由题设知,当

k ? M ? {3, 4}, 且n ? k时,Sn? k ? Sn?k ? 2Sn ? 2Sk


且Sn ?1? k ? Sn ?1?k ? 2Sn ?1 ? 2Sk
两式相减得 所以当 列 从而当 n ? 8 时, 且 即

an?1? k ? an?1?k ? 2an?1 ,即an?1? k ? an?1?k ? an?1 ? an?1?k
成等差数列,且

n ? 8时, an ?6 , an ?3 , an , an ?3 , an ?6

an?6 , an?2 , an? 2 , an?6

也成等差数

2an ? an ?3 ? an ?3 ? an ?6 ? an ?6 .

(*) ,

an?6 ? an?6 ? an? 2 ? an?2 , 所以当n ? 8时, 2an ? an? 2 ? an?2 an ? 2 ? an ? an ? an ?2 .于是当n ? 9时, an ?3 , an ?1 , an ?1 , an ?3 an ?3 ? an ?3 ? an ?1 ? an ?1


成等差数列,

从而

故由(*)式知 当 n ? 9 时,设

2an ? an ?1 ? an ?1 ,即an ?1 ? an ? an ? an ?1 . d ? an ? an?1 . 2am?6 ? am ? am?12

当 2 ? m ? 8时, m ? 6 ? 8 ,从而由(*)式知 故

2am?7 ? am?1 ? am?13 .

从而

2(am?7 ? am?6 ) ? am?1 ? am ? (am?13 ? am?12 )
an?1 ? an ? d
对任意 n ? 2 都成立,又由

,于是

am?1 ? am ? 2d ? d ? d .
可知

因此,

Sn? k ? Sn?k ? 2Sk ? 2Sk (k ? {3, 4})


( Sn? k ? Sn ) ? ( Sn ? Sn ?k ) ? 2Sk , 故9d ? 2S3且16d ? 2S4

解得

a4 ?

7 3 d d , 从而a2 ? d , a1 ? . 2 2 2
{an }
为等差数列,由

因此,数列 所以数列

a1 ? 1知d ? 2.

{an }

的通项公式为

an ? 2n ? 1.

- 14 -

11. (北京理 20) 若数列 记 =

An ? a1 , a2, ..., an (n ? 2)


满足

an ?1 ? a1 ? 1(k ? 1, 2,..., n ? 1)

,数列

An

为 E 数列,

S ( An ) a1 ? a2 ? ... ? an
(Ⅰ)写出一个满足 (Ⅱ)若

a1 ? as ? 0

,且

S ( As )

〉0 的 E 数列

An



a1 ? 12

,n=2000,证明:E 数列

An

是递增数列的充要条件是

an

=2011;

(Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 果存在,写出一个满足条件的 E 数列

An

,使得

S ? An ?

=0?如

An

;如果不存在,说明理由。

解: (Ⅰ)0,1,2,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列, 所以

a k ?1 ? a k ? 1(k ? 1,2,?,1999 )

.

所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+(2000—1)×1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 ?? a2—a1≤1 所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故

a n?1 ? a n ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 ), 即An

是递增数列.

综上,结论得证。 (Ⅲ)令

ck ? ak ?1 ? ak ? 1 ? 0(k ? 1,2,?, n ? 1), 则c A ? ?1.

因为 a2 ? a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? c2 ??

an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ,
所以

S ( An ) ? na1 ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ? ? cn?1

?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )( n ? 1) ? (1 ? c2 )( n ? 2) ? ? ? (1 ? cn?1 )]. 2
ck ? ?1, 所以1 ? ck 为偶数(k ? 1,?, n ? 1).
- 15 -

因为

所以

*1 ? c1 )( n ? 1) ? (1 ? c2 )( n ? 2) ? ? ? (1 ? cn )

为偶数,

所以要使

S ( An ) ? 0, 必须使

n(n ? 1) 2 为偶数,

即 4 整除 n(n ? 1), 亦即n ? 4m或n ? 4m ? 1(m ? N *) . 当

n ? 4m ? 1(m ? N *)时, E数列An的项满足a4 k ?1 ? a4 k ?1 ? 0, a4 k ?2 ? ?1, a4 k ? 1

(k ? 1,2,?, m) 时,有 a1 ? 0, S ( An ) ? 0;

a 4 k ? 1(k ? 1,2,?, m), a 4 k ?1 ? 0时, 有a1 ? 0, S ( An ) ? 0;


n ? 4m ? 1(m ? N *)时, E数列An

的项满足,

a4 k ?1 ? a3k ?3 ? 0, a4 k ?2 ? ?1,

当 n ? 4m ? 2或n ? 4m ? 3(m ? N )时, n(m ? 1) 不能被 4 整除,此时不存在 E 数列 An, 使得

a1 ? 0, S ( An ) ? 0.

12. (广东理 20)

设 b>0,数列 (1)求数列

?an ?

an ?
满足 a1=b,

nban ?1 (n ? 2) an ?1 ? 2n ? 2 .

?an ? 的通项公式;

b n ?1 an ? n ?1 ? 1. 2 (2)证明:对于一切正整数 n,
解:

a1 ? b ? 0, 知an ?
(1)由

nban ?1 n 1 2 n ?1 ? 0, ? ? . an ?1 ? 2n ? 2 an b b an ?1

An ?


n 1 , A1 ? an b,



n ? 2时, An ?

1 2 ? An ?1 b b

1 2 2n ? 2 2n ?1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ?1 A1 b b b b ? 1 2 2n ?2 2n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n . b b b b

- 16 -

①当 b ? 2 时,

1 ?2? (1 ? ? ? ) n n b ?b? ? b ?2 , An ? 2 b n (b ? 2) 1? b

n

n b ? 2时, An ? . 2 ②当
? nb n (b ? 2) ,b ? 2 ? an ? ? b n ? 2 n ?2, b?2 ?

nb n (b ? 2) b n ?1 b n ?1 b n ? 2n n an ? n ? n ?1 ? 1, 只需证nb ? ( n ?1 ? 1) b?2 ) b ? 2n 2 2 (2)当 b ? 2 时, (欲证 (2n ?1 ? b n ?1 ) b n ? 2n ? (2n ?1 ? b n ?1 )(b n ?1 ? 2b n ?2 ? ? ? 2n ?1 ) b?2

? 2n?1 bn?1 ? 2n?2 bn?2 ? ? ? 22n ? b2n ? 2b2n?1 ? ? ? 2n?1 bn?1

2 22 2n bn b n ?1 b ? 2n b n ( ? 2 ? ? ? n ? n ? n ?1 ? ? ? ) b b 2 b 2 2
? 2n bn (2 ? 2 ? ? ? 2) ? 2n ? 2n bn ? n ? 2n ?1 bn ,

? an ?

nbn (b ? 2) bn ?1 ? n ?1 ? 1. b n ? 2n 2
bn?1 ? 1. 2n ?1



b ? 2时, an ? 2 ?

综上所述

an ?

bn ?1 ? 1. 2n ?1

13. (湖北理 19) 已知数列

?an? 的前 n 项和为 Sn , 且满足:a1 ? a (a ? 0) ,an ? 1 ? rSn (n ? N*,r ? R, r ? ?1) . ?an? 的通项公式;

(Ⅰ)求数列

S S (Ⅱ) 若存在 k ? N*, 使得 Sk ? 1 , k , k ? 2 成等差数列, 是判断: 对于任意的 m?N*, m ? 2 , 且

am ? 1 , am , am ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论.
- 17 -

本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般 的思想。 (满分 13 分) 解: (I)由已知

an?1 ? rSn ,

可得

an ? 2 ? rSn ?1

,两式相减可得

an? 2 ? an?1 ? r ( Sn?1 ? Sn ) ? ran?1 ,
即 又

an ? 2 ? (r ? 1)an ?1 , a2 ? ra1 ? ra,
所以 r=0 时,

数列

{an }

为:a,0,?,0,?;

当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知

a ? 0, 所以an ? 0

( n? N ) ,
*

于是由

an ? 2

an? 2 ? r ? 1(n ? N ? ) ? (r ? 1)an ?1 , an ?1 可得 ,
成等比数列,

? a2 , a3 ,?, an ? ?

n?2 ?当n ? 2时 , an ? r (r ? 1) a.

n ? 1, ? an an ? ? n?2 {a } ?r (r ? 1) a, n ? 2 综上,数列 n 的通项公式为
(II)对于任意的 m ? N ,且
*

m ? 2, am?1 , am , am? 2

成等差数列,证明如下:

? a, n ? 1, am ? ? ?0, n ? 2 当 r=0 时,由(I)知,

?对于任意的 m ? N ,且 m ? 2, am?1 , am , am? 2 成等差数列,
*

当 r ? 0 , r ? ?1 时,

? Sk ? 2 ? Sk ? ak ?1 ? ak ?2 , Sk ?1 ? ak ?1.
若存在 k ? N ,使得
*

Sk ?1 , S1 , Sk ? 2

成等差数列,



Sk ?1 ? Sk ?2 ? 2Sk



? 2Sk ? 2ak ?1 ? ak ? 2 ? 2Sk ,即ak ? 2 ? ?2ak ?1 ,
由(I)知,

a2 , a3 ,?, am ,?
*

的公比 r ? 1 ? ?2 ,于是

对于任意的 m ? N ,且

m ? 2, am?1 ? ?2am , 从而am? 2 ? 4am ,
- 18 -

? am?1 ? am? 2 ? 2am ,即am?1 , am , am?2
综上,对于任意的 m ? N ,且
*

成等差数列, 成等差数列。

m ? 2, am?1 , am , am? 2

14. (辽宁理 17) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;

? an ? ? n ?1 ? 2 ? 的前 n 项和. (II)求数列 ?
解:

? a1 ? d ? 0, ? 2a ? 12d ? ?10, {an } (I)设等差数列 的公差为 d,由已知条件可得 ? 1 ? a1 ? 1, ? ? d ? ?1.
{an }
的通项公式为

解得

故数列

an ? 2 ? n.

??????5 分

an a a }的前n项和为Sn Sn ? a1 ? 2 ? ? ? nn 1 , 故S1 ? 1 n ?1 2 2? (II)设数列 2 ,即 , {

Sn a1 a2 a ? ? ??? n . 2 2 4 2n
所以,当 n ? 1时,

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2
n . 2n
所以

Sn ?

n . 2n?1

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 综上,数列 2 {
15. (全国大纲理 20)

??????12 分

- 19 -

设数列

?an ?

1 1 ? ? 1. a1 ? 0 1 ? a n ?1 1 ? a n 满足 且

(Ⅰ)求

?a n ? 的通项公式;
bn ? 1 ? an ?1 n , 记Sn ? ? bk , 证明:S n ? 1.
k ?1 n

(Ⅱ)设 解:

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an (I)由题设

1 { } 1 ? an 是公差为 1 的等差数列。 即 1 1 ? 1, 故 ? n. 1 ? a1 1 ? an 又

1 an ? 1 ? . n 所以
(II)由(I)得

bn ? ?

1 ? an ?1 n

,

n ?1 ? n n ?1 ? n 1 1 ? ? n n ?1 ,
Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1 n n

????8 分

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1

????12 分

16. (山东理 20) 等比数列

?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何
第一列 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

两个数不在下表的同一列. 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 3 6 9

?an ? 的通项公式;

- 20 -

(Ⅱ)若数列 解: (I)当 当 当

?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
时,不合题意;

a1 ? 3

a1 ? 2

时,当且仅当

a2 ? 6, a3 ? 18

时,符合题意;

a1 ? 10

时,不合题意。

因此

a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18,

所以公式 q=3, 故

an ? 2 ? 3n ?1.
(II)因为

bn ? an ? (?1)n ln an

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以

S2 n ? 2(1 ? 3 ? ? ? 32 n ?1 ) ? [?1 ? 1 ? 1 ? ? ? (?1) 2 n ](ln 2 ? ln 3) ? [?1 ? 2 ? 5 ? ? ? (?1) n n]ln 3,
所以

当 n 为偶数时,

Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ? ln 3 1? 3 2

n ? 3n ? ln 3 ? 1; 2
当 n 为奇数时,

Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ?1 ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 1? 3 2

? 3n ?

n ?1 ln 3 ? ln 2 ? 1. 2

综上所述,

? n n ?3 ? 2 ln 3 ? 1, n为偶数 ? Sn ? ? ?3n - n ? 1 ln3-ln2-1,n为奇数 ? ? 2
17. 上海理 22) 已知数列 ( 将集合

{an }



{bn }

的通项公式分别为

an ? 3n ? 6 bn ? 2n ? 7 n ? N * , ( ) ,

{x | x ? an , n ? N *} ? {x | x ? bn , n ? N *}

中的元素从小到大依次排列,构成数列

- 21 -

c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?
(1)求

。 ;

c1 , c2 , c3 , c4

(2)求证:在数列 (3)求数列 解:⑴

{cn }

中.但不在数列

{bn }

中的项恰为

a2 , a4 ,?, a2 n ,?



{cn }

的通项公式。 ; ,则 k ? 3n ? 2 ,即

c1 ? 9, c2 ? 11, c3 ? 12, c4 ? 13
*

⑵ ① 任意 n ? N ,设

a2 n?1 ? 3(2n ? 1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7

a2 n ?1 ? b3n ?2

1 * a2 n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? k ? 3n ? 2 ? N ② 假设 (矛盾) ,∴
∴ 在数列 ⑶

a2 n ?{bn }

{cn }

中.但不在数列

{bn }

中的项恰为 ,

a2 , a4 ,?, a2 n ,?



b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2 k ?1


b3k ?1 ? 6k ? 5


a2 k ? 6k ? 6



b3k ? 6k ? 7

6k ? 3 ? 6k ? 5 ? 6k ? 6 ? 6k ? 7

b ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ∴ 当 k ? 1 时,依次有 1 ,??



? 6k ? 3 ( n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 ( n ? 4k ? 2) ? cn ? ? ,k ? N* 6k ? 6 ( n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k ) ?



18. (天津理 20)

已知数列

{an }



{bn }

满足:

bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, bn ?

3 ? (?1) n * 2 , n ?N ,且

a1 ? 2, a2 ? 4
(Ⅰ)求 (Ⅱ)设

. 的值; ,证明:

a3 , a4 , a5

cn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N *

?cn ? 是等比数列;

(III)设

Sk ? a2 ? a4 ? ??? ? a2 k , k ? N ,
*

证明: k ?1

?a

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) 6 .
- 22 -

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分.

(I)解:由

bn ?

3 ? (?1) n , n ? N *, 2

可得 又

?1, n为奇数 bn ? ? ?2,n为偶数

bn an ? an?1 ? bn?1an? 2 ? 0,

当n=1时,a1 +a 2 +2a 3 =0,由a1 =2,a 2 =4,可得a 3 ? ?3; 当n=2时,2a 2 +a 3 +a 4 =0,可得a 4 ? ?5; 当n=3时,a 3 +a 4 +2a 5 =0,可得a 4 ? 4.
(II)证明:对任意 n ? N ,
*

a2 n?1 ? a2 n ? 2a2 n?1 ? 0, 2a2 n ? a2 n?1 ? a2 n? 2 ? 0, a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? 2a2 n ?3 ? 0,
②—③,得

① ② ③ ④

a2 n ? a2 n ?3 .

将④代入①,可得 即 又

a2 n?1 ? a2n?3 ? ?(a2 n?1 ? a2 n?1 )

cn ?1 ? ?cn (n ? N * )

c1 ? a1 ? a3 ? ?1, 故cn ? 0,

cn ?1 ? ?1, 所以{cn } cn 因此 是等比数列.
(III)证明:由(II)可得

a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? (?1) k



* 于是,对任意 k ? N 且k ? 2 ,有

a1 ? a3 ? ?1, ?(a3 ? a5 ) ? ?1, a5 ? a7 ? ?1, ? (?1) k (a2 k ?3 ? a2 k ?1 ) ? ?1.
将以上各式相加,得

a1 ? (?1)k a2 k ?1 ? ?(k ? 1),
- 23 -



a2 k ?1 ? (?1) k ?1 (k ? 1)



此式当 k=1 时也成立.由④式得 从而

a2 k ? (?1)k ?1 (k ? 3).

S2 k ? (a2 ? a4 ) ? (a6 ? a8 ) ? ? ? (a4 k ?2 ? a4 k ) ? ?k ,

S2 k ?1 ? S2 k ? a4 k ? k ? 3.
所以,对任意 n ? N , n ? 2 ,
*

n Sk S S S S ? ? ( 4 m ?3 ? 4 m ?2 ? 4 m ?1 ? 4 m ) ? a m?1 a a4 m?2 a4 m?1 a4 m k ?1 k 4 m ?3
n

4n

? ?(
m ?1

2m ? 2 2 m ? 1 2 m ? 3 2m ? ? ? ) 2m 2m ? 2 2 m ? 1 2 m ? 3 2 3 ? ) 2m(2m ? 1) (2m ? 2)(2m ? 2)

? ?(
m ?1

n

?

n 2 5 3 ?? ? 2 ? 3 m? 2 2m(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 n 5 3 ? ?? ? 3 m? 2 (2m ? 1)(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 5 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3)

1 5 5 1 3 ? ? ? ? ? 3 6 2 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 7 ? . 6
对于 n=1,不等式显然成立. 所以,对任意 n ? N ,
*

S S S1 S2 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n a1 a2 a2 n ?1 a2 n

?(

S S S S S1 S2 ? ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? ( 2 n ?1 ? 2 n ) a1 a2 a3 a4 a2 n ?1 a2 n

1 1 1 2 1 n ? (1 ? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ? n ) 2 4 12 4 4 ? (4 ? 1) 4 (4 ? 1)
- 24 -

1 1 1 2 1 n ? n?( ? )?( 2 ? 2 2 ) ?? ? ( n ? n n ) 4 12 4 4 (4 ? 1) 4 4 (4 ? 1)
1 1 1 ? n?( ? ) ? n? . 4 12 3
19. (浙江理 19)已知公差不为 0 的等差数列

{an }

的首项

a1

为 a( a ? R ),设数列的前 n 项

1 1 1 S a a a 和为 n ,且 1 , 2 , 4 成等比数列
(1)求数列

{an }

的通项公式及

Sn

An ?
(2)记 与

1 1 1 1 1 1 1 1 Bn ? ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? a1 a2 a22 a2n A S1 S2 S3 Sn , ,当 n ? 2 时,试比较 n

Bn

的大小.

本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论思想。 满分 14 分。

1 2 1 1 ) ? ? , {a } a a1 a4 (I)解:设等差数列 n 的公差为 d,由 2 (


(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d )

因为 d ? 0 ,所以 d ? a 所以

an ? na1 , Sn ?

an(n ? 1) . 2

1 2 1 1 ? ( ? ) Sn a n n ? 1 ,所以 (II)解:因为 An ? 1 1 1 1 2 1 ? ? ?? ? ? (1 ? ) S1 S2 S3 Sn a n ?1
,所以

因为

a2n?1 ? 2n ?1 a

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 2 (1 ? 1 ). Bn ? ? ? ??? ? ? a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 a 2n 2

0 1 2 n n ? 2时, 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 1



1?


1 1 ? 1? n , n ?1 2

- 25 -

所以,当 当

a ? 0时, An ? Bn ;

a ? 0时, An ? Bn .

20. (重庆理 21) 设实数数列 (I)若

{a n }

的前 n 项和

Sn

,满足

S n?1 ? a n?1 S n (n ? N * )

a1 , S2 ? 2a2

成等比数列,求

S2



a3



(II)求证:对

k ? 3有0 ? ak ?1 ? ak ?

4 3

2 ? S 2 ? ?2a1 a2 , 2 得S 2 ? ?2 S 2 ? S ? a2 S1 ? a1 a2 , (I)解:由题意 ? 2 ,

由 S2 是等比中项知 由

S2 ? 0.因此S2 ? ?2.
解得

S2 ? a3 ? S3 ? a3 S2

a3 ?

S2 ?2 2 ? ? . S2 ? 1 ?2 ? 1 3
Sn ? an ?1 ? an ?1 Sn ,

(II)证法一:由题设条件有

Sn ? 1, an ?1 ? 1且an ?1 ?
故 从而对 k ? 3 有

Sn a , Sn ? n ?1 , Sn ? 1 an ?1 ? 1

ak ?1 Sk ?1 ak ?1 ? S k ? 2 ak ?1 ? 1 ak2?1 ak ? ? ? ? 2 . ak ?1 Sk ?1 ? 1 ak ?1 ? S k ? 2 ? 1 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ak ?1 ? ?1 ak ?1 ? 1 ak ?1 ?
1 3 2 2 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? (ak ?1 ? )2 ? ? 0且ak ?1 ? 0 a ?0 2 4 因 ,由①得 k
2 ak ?1 4 4 ? , ak ? 2 3 ,由①只要证 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3 要证
2 2 3ak ?1 ? 4(ak ?1 ? ak ?1 ? 1),即(ak ?1 ? 2) 2 ? 0.



即证

- 26 -

此式明显成立.

因此

ak ?

4 (k ? 3). 3

最后证

ak ?1 ? ak .

ak ?1 ?
若不然

2 ak ? ak , 2 a k ? ak ? 1

ak ? 0, 故
又因 因此

ak ? 1,即(ak ? 1) 2 ? 0. a ? ak ? 1 矛盾.
2 k

ak ?1 ? ak (k ? 3). Sn ?1 ? Sn ? an ?1 ? an ?1 Sn


证法二:由题设知 故方程

x 2 ? Sn ?1 x ? Sn ?1 ? 0有根Sn 和an ?1
2 ? ? Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 0.

(可能相同).

因此判别式

Sn ? 2 ? Sn ?1 ? an ? 2 ? an ? 2 Sn ?1得an ? 2 ? 1且Sn ?1 ?
又由
2 an ? 2 4an ? 2 2 ? ? 0,即3an ? 2 ? 4an ? 2 ? 0 2 an ? 2 ? 1 (a ? 1) 因此 n ? 2 ,

an ? 2 . an ? 2 ? 1

4 0 ? an? 2 ? . 3 解得 0 ? ak ? 4 (k ? 3). 3

因此

ak ?


Sk ?1 ? 0 (k ? 3) Sk ?1 ? 1 ,得
Sk S k ?1 S ? ak ? ak ( ? 1) ? ak ( 2 k ?1 ? 1) Sk ? 1 ak S k ?1 ? 1 S k ?1 ?1 S k ?1 ? 1 S
2 k ?1

ak ?1 ? ak ?

??

ak ?? ? Sk ?1 ? 1

ak ? 0. 1 2 3 ( S k ?1 ? ) ? 2 4

因此

ak ?1 ? ak

(k ? 3).
2010 年高考题

一、选择题
- 27 -

1.(2010 浙江理) (3)设 S n 为等比数列 ? an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ?11
3

S5 ? S2

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 ? a 2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所 求式可知答案选 D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式,属 中档题 2. (2010 全国卷 2 理) .如果等差数列 ? an ? 中,a3 ? a4 ? a5 ? 12 , (4) 那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (B)21 (C)28 (D)35

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

3.(2010 辽宁文) (3)设 S n 为等比数列 ? an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 , 则公比 q ? (A)3 【答案】 B 解析:选 B. 两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ? (B)4 (C)5 (D)6

a4 ?4. a3

S 4. 2010 辽宁理) 6) ( ( 设{an}是有正数组成的等比数列, n 为其前 n 项和。 已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,
则 S5 ? (A) 【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式,考查了同学们解决问题的能 力。 【解析】由 a2a4=1 可得 a1 q ? 1 ,因此 a1 ?
2 4

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

1 2 ,又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q ) ? 7 ,联力两式有 2 q

- 28 -

1 1 1 ( ? 3)( ? 2) ? 0 ,所以 q= ,所以 S5 ? q q 2

4 ? (1 ?

1 ) 25 ? 31 ,故选 B。 1 4 1? 2

5.(2010 全国卷 2 文)(6)如果等差数列 ? an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +????+ a7 = (A)14 【答案】C 【解析】本题考查了数列的基础知识。 (B) 21 (C) 28 (D) 35



a3 ? a4 ? a5 ? 12

1 a4 ? 4 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? 2 ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 ,∴
2

6.(2010 安徽文)(5)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ,则 a8 的值为 (A) 15 【答案】 A 【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 【方法技巧】直接根据 an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) 即可得出结论. 7.(2010 浙江文)(5)设 sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (C)5 (B)-8 (D)11
3

(B)

16

(C)

49

(D)64

S5 ? S2

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 ? a 2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所 求式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 8.(2010 重庆理) (1)在等比数列 ? an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为 A. 2 【答案】A B. 3 C. 4 D. 8

解析:

a 2010 ?q 3 ? 8 a 2007

?q ? 2

9.(2010 广东理)4. 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与

- 29 -

2 a7 的等差中项为 A.35 【答案】C

5 ,则 S 5 = 4
B.33 C.31 D.29

解析:设{ an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知, a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 ,即 a4 ? 2 。由 a4 与 2 a7 的等差中项为 ∴q ?
3

5 5 1 5 1 5 1 知, a4 ? 2a7 ? 2 ? ,即 a7 ? (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? . 4 4 2 4 2 4 4

a7 1 1 1 ? ,即 q ? . a4 ? a1q 3 ? a1 ? ? 2 ,即 a1 ? 16 . a4 8 2 8

10.(2010 广东文)

11.(2010 山东理)

12.(2010 重庆文) (2)在等差数列 ? an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为

- 30 -

(A)5 (C)8 【答案】 A 解析:由角标性质得 a1 ? a9 ? 2a5 ,所以 a5 =5 二、填空题

(B)6 (D)10

1. ( 2010 辽 宁 文 ) 14 ) 设 S n 为 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 若 S3 ? 3,S6 ? 24 , 则 (

a9 ?



解析:填 15.

3? 2 ? ? S3 ? 3a1 ? 2 d ? 3 ? a1 ? ?1 ? ,解得 ? ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 1 ? 6 2 ?

2.(2010 福建理)11.在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通 项公式 an ? 【答案】 4n-1
n-1 【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4 。



【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 3. (2010 江苏卷) 函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 8、 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________ 解析:考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak )处的切线方程为: y ? ak ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ?
2
2

2

2

ak , 2

所以 ak ?1 ? 三、解答题

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 。 2

1.(2010 上海文)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小 题满分 8 分。
* 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N

(1)证明: ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ? S n ? 的通项公式,并求出使得 Sn ?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .
- 31 -

5 解析:(1) 当 n?1 时,a1??14;当 n≥2 时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 an ? 1 ? (an?1 ? 1) , 6

又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? (2) 由(1)知: an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? ?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6?
n ?1 n ?1

?5? ,得 an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6?

n ?1

,从而

? n ? 90 (n?N*);

?5? 由 Sn?1>Sn,得 ? ? ?6?

n?1

?

2 2 , n ? log 5 ? 1 ? 14.9 ,最小正整数 n?15. 5 25 6

2.(2010 陕西文)16.(本小题满分 12 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; 解 (Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn.
an

(Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 Sm=2+2 +2 +?+2 =
2 3 n

1 ? 2d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

am

=2 ,由等比数列前 n 项和公式得

n

2(1 ? 2n ) n+1 =2 -2. 1? 2

3.(2010 全国卷 2 文) (18) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且

a1 ? a2 ? 2(

1 1 1 1 1 ? ) , a3 ? a4 ? a5 ? 64( ? ? ) a3 a4 a5 a1 a2

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? ( an ?

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an

【解析】本题考查了数列通项、前 n 项和及方程与方程组的基础知识。 (1)设出公比根据条件列出关于

a1

与 d 的方程求得

a1

与 d ,可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出 BN 的通项公式,由其通项公式化可知其和可分成 两个等比数列分别求和即可求得。
- 32 -

4.(2010 江西理)22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。
2 2 2

(2) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an ,bn ,cn 成
2 2 2

等差数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证 a ? c ? 2b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2

证明:考虑到结构特征,取特值 1 ,5 , 7 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整数 a 均能成立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形,再证明互不相似,且无穷。 证明:当 an,bn ,cn 成等差数列,则 bn ? an ? cn ? bn ,
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

分解得: (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn ) 选取关于 n 的一个多项式, 4n(n ? 1) 做两种途径的分解
2

4n(n2 ? 1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n2 ? 2n)(2n ? 2) 4n(n2 ? 1)

?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 对比目标式,构造 ? bn ? n 2 ? 1 (n ? 4) ,由第一问结论得,等差数列成立, ? c ? n 2 ? 2n ? 1 ? n
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m, 若△m,△ n 相似: n, 则三边对应成比例 由比例的性质得:

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2 m ? 1 ? ? , n 2 ? 2n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1

m ?1 m ? 1 ? ? m ? n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。 n ?1 n ? 1

5.(2010 安徽文) (21) (本小题满分 13 分) 设 C1 , C2 ,?, Cn ,? 是坐标平面上的一列圆, 它们的圆心都

- 33 -

在 x 轴的正半轴上,且都与直线 y ?

3 x 相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn?1 相互外 3

切,以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括 能力以及推理论证能力. 【解题指导】 1)求直线倾斜角的正弦,设 Cn 的圆心为 (?n , 0),得 ?n ? 2rn ,同理 得 (

n rn

?n ?1 ? 2rn ?1 ,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即 {rn } 中 rn ?1
与 rn 的关系,证明 {rn } 为等比数列; (2)利用(1)的结论求 {rn } 的通项公式,代入数列 然后用错位相减法求和.

n , rn

- 34 -

3 3 1 x的倾斜角记为,则有tan? = ,sin ? ? , 3 3 2 r 1 设Cn的圆心为(?n,0),则由题意得知 n ? ,得?n ? 2rn;同理 ?n 2 解:(1)将直线y=

?n+1 ? 2rn+1,从而?n+1 ? ?n ? rn ? rn+1 ? 2rn+1,将?n ? 2rn 代入,
解得rn+1 ? 3rn 故 rn 为公比q ? 3的等比数列。 (?)由于rn ? 1,q ? 3,故rn ? 3n ?1,从而 记Sn ? 1 2 n ? ? ..... ? , 则有 r1 r2 rn n ? n *31? n , rn

Sn ? 1 ? 2*3?1 ? 3*3?2 ? ......n *31? n Sn ? 1*3?1 ? 2*3?2 ? ...... ? ( n ? 1) *31? n ? n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn ? 1 ? 3?1 ? 3?2 ? ... ? 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 ? ? n *3? n ? ? ( n ? ) *3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n ? 3) *31? n ? S n ? ? (n ? ) *31? n ? 4 2 2 4
【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关 于数列相邻项 an 与 an ?1 之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通项 公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数 列时,通常是利用前 n 项和 S n 乘以公比,然后错位相减解决. 6.(2010 重庆文) (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知 ? an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, S n 为 ? an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 S n ; (Ⅱ) ?bn ? an ? 是首项为 1, 设 公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项 和 Tn .

- 35 -

7.(2010 浙江文) (19) (本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn,满足 S 5 S 6 +15=0。 (Ⅰ)若 S 5 =5,求 S 6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。

8.(2010 北京文) (16) (本小题共 13 分) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0

- 36 -

所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

9.(2010 四川理) (21) (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有
*

a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(Ⅰ)求 a3,a5; (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)q
n-1
*

(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决 问题的能力. 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20????????????2 分 (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得
*

a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即

bn+1-bn=8

所以{bn}是公差为 8 的等差数列??????????????????5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

an=

a2 n ?1 ? a1 2 -(n-1) . 2

- 37 -

那么 an+1-an=

a2 n ?1 ? a2 n ?1 -2n+1 2 8n ? 2 = -2n+1 2
=2n
n-1

于是 cn=2nq

.

当 q=1 时,Sn=2+4+6+??+2n=n(n+1) 当 q≠1 时,Sn=2·q +4·q +6·q +??+2n·q 两边同乘以 q,可得
0 1 2

n-1

.

qSn=2·q1+4·q2+6·q3+??+2n·qn.
上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q +??+q
2

n-1

)-2nq

n

1 ? qn n =2· -2nq 1? q
=2·

1 ? ( n ? 1) q n ? nq n ?1 1? q

所以 Sn=2·

nq n ?1 ? (n ? 1) q n ? 1 (q ? 1) 2

? n(n ? 1) (q ? 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n ?1 ? ( n ? 1) q n ? 1 ??????????12 分 ( q ? 1) 2 ? 2? (q ? 1) ?

10.(2010 全国卷 1 理) (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 , bn ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an ?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

- 38 -

11.(2010 山东理) (18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ? an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ? an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn=

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26
2 所以 an ? 3 ? (n ? 1)=2n+1 ; S n = 3n+

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

- 39 -

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 ,所以 bn=

1 1 1 1 1 1 1 = = ?( = ? ), 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? (1- + ? +? + ) = ? (1)= 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n 。 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

2009 年高考题

一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B
2 8 4 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q

?

? ,即 q
2

2

? 2 ,又因为等比数列 {a n } 的公比

为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ? ? ,选 B q 2 2
为等差数列, C. 3 D.7 ,则 等于

2.(2009 安徽卷文)已知 A. -1 B. 1

【 解 析 】 ∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同 理 可 得 a4 ? 33 ∴ 公 差
d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。

【答案】B 3. (2009 江西卷文) 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若 a4 是 a3与a7 的等比中项,

S8 ? 32 ,则 S10 等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
- 40 -

【答案】C 【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由
2
2

56 d ? 32 得 2 90 S1 0? 10a ?1 d ? 60 ,.故选 C 2 S8 ? 8a1 ?

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 所 以

4. (2009 湖南卷文) S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和, 设 已知 a2 ? 3 ,a6 ? 11 , S 7 等于( 则 A.13 【解析】 S7 ? 或由 ? B.35 C.49 D. 63

)

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2

?a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ?a6 ? a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2

7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2 5.(2009 福建卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
所以 S7 ? A.1 【答案】 :C [解析]∵ S3 ? 6 ? B

5 3

C.- 2

D 3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2

6.(2009 辽宁卷文)已知 ? an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 【答案】B

1 2

7.(2009 四川卷文)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a 2 是 a1 和 a 5 的等比中项, 则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B 【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100
2

B. 100

C. 145

D. 190

S 8. 2009 宁夏海南卷文) ( 等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , 已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , 2 m?1 ? 38 ,
2

则m?
- 41 -

A.38 【答案】C

B.20

C.10

D.9

【解析】因为 ? an ? 是等差数列,所以, am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:2 a m
2

- a m =0,所以, a m =2,又 S2 m?1 ? 38 ,即
2

(2m ? 1)( a1 ? a 2 m ?1 ) =38,即(2m-1)×2= 2

38,解得 m=10,故选.C。 9.. 2009 重庆卷文) ? an ? 是公差不为 0 的等差数列, 1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, ? an ? ( 设 则 a 的前 n 项和 S n =( )

A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

【答案】A 【解析】 设数列 {an } 的公差为 d , 则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 5d ) , 解得 d ? (舍去) ,所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 二、填空题 10.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 答案 24 解析

1 或d ? 0 2

n(n ? 1) 1 n 2 7 n ? ? ? 2 2 4 4

??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .
11.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ? 答案:15 解析 对于 s4 ?

S 1 ,前 n 项和为 S n ,则 4 ? a4 2



a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q 3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q )
?

12.(2009 北京文)若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N ) ,则 a5 ? 8 项的和 S8 ? 答案 225 .(用数字作答)

;前

- 42 -

.解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 的考查.

属于基础知识、基本运算

a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 2, a3 ? 2a2 4, a4 ? 2a3 ? 8, a5 ? 2a4 ? 16 ,
易知 S8 ?

28 ? 1 ? 255 ,∴应填 255. 2 ?1
×

13. (2009 全国卷Ⅱ文) 设等比数列{ a n }的前 n 项和为 s n 。 a1 ? 1, s 6 ? 4s3 , a 4 = 若 则 答案:3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 ? 1, s 6 ? 4s3 得 q =3 故 a4=a1q =3
3 3

14.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

解析 ??an ? 为等差数列,? 答案 9

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

15.(2009 辽宁卷理)等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案
1 3

三、解答题
* 16.(2009 浙江文)设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
2

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

解(Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1,

n ? 2, a n ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1 ( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? a n ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,? a 2 m ? a m .a 4 m , 即 (4km ? k ? 1) ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: mk (k ? 1) ? 0 ,
2

- 43 -

对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1
?

17.(2009 北京文)设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q (n ? N , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如 下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果 不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解(Ⅰ)由题意,得 an ? ∴
?

1 1 1 1 20 . n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? 2 3 2 3 3

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知 当 m ? 2k ?1 时, bm ? k k ? N

m ?1 . 2

?

*

? ;当 m ? 2k 时, b

m

? k ? 1? k ? N * ? .

∴ b1 ? b2 ? ? ? b2 m ? ? b1 ? b3 ? ? ? b2 m ?1 ? ? ? b2 ? b4 ? ? ? b2 m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?

m ? m ? 1? 2

?

m ? m ? 3? 2

? m 2 ? 2m .

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?
?

m?q . p

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? ? 3 p ? 1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p

- 44 -

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3
?

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ;

p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 , ? ? q ? ? .. 3 3 3
?

18.(2009 山东卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N 均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
x

,点 (n, Sn ) ,

(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) , 均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像 上.所以得 S n ? b ? r ,
n

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b ? r ? (b
n n ?1

? r ) ? b n ? b n?1 ? (b ? 1)b n?1 ,
所以 an ? (b ? 1)b
n ?1

又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b 则 Tn ?
n ?1

? 2n ?1 ,

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 n ?1 1 23 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
- 45 -

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 S n 求 an 的基本题型,并运 用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn . 19. 2009 全国卷Ⅱ文) ( 已知等差数列{ a n }中, a3 a7 ? ?16, a 4 ? a6 ? 0, 求{ a n }前 n 项和 s n . 解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ? a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?

? a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ? a1 ? ?4d
解得 ?

? a1 ? ?8, ? a1 ? 8 或? d ? 2, ? ? d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ? 1? ? n ? n ? 9 ?,或S n ? 8n ? n ? n ? 1? ? ?n ? n ? 9 ? 20.(2009 安徽卷文)已知数列{ } 的前 n 项和 ,数列{ }的前 n 项和

(Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设

}与{

}的通项公式; <

,证明:当且仅当 n≥3 时,

( n ? 1) ? a1 【思路】由 a ? ? ? sn ? sn ?1 ( n ? 2)

可求出 an 和bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在求

出 an 和bn 后,进而得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 a1 ? s1 ? 4 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? (2n ? 2n) ? [2(n ? 1) ? 2(n ? 1)] ? 4n ? am ? 4n(n ? N )
2 2 *

又当 x ? n 时 bn ? Tn ? Tn ?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ? 2bn ? bn ?1

1 1 ?数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ? bn ? ( )n?1 2 2

- 46 -

C 1 (2)由(1)知 C1 ? a12 ? bn ? 16n 2 ? ( ) n ?1 ? n ?1 ? 2 Cn

1 16(n ? 1) 2 ? ( )( n ?1) ?1 (n ? 1) 2 2 ? 1 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2

Cn ?1 (n ? 1) 2 ? 1得 ? 1 即 n2 ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3 由 Cn 2n
又 n ? 3时

C (n ? 1)2 ? 1 成立,即 n ?1 ? 1 由于 Cn ? 0 恒成立. 2 Cn 2n

因此,当且仅当 n ? 3 时, Cn ?1 ? Cn 21.(2009 江西卷文)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3

(1) 求 S n ;

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? 解: (1) 由于 cos ,故 ? sin 2 ? cos 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) 12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 2 2 ? (? ? 3 ) ? (? ? 6 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

?

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) , ? ??? ? 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2
S3 k ? 2 k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ? ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n ? 3k ? 2 ? ?3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k?N )
*

(2) bn ?

S3n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n?1 ], 2 4 4
- 47 -

两式相减得

9 9 ? n 1 9 9 9n ? 4 1 9n ? 4 1 9n 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 4 4 ? ] ? 8 ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 , n 1 2 4 4 4 2 4 2 2 1? 4 8 1 3n 故 Tn ? ? ? 2 n ?1 . 2 n ?3 3 3? 2 2
22. (2009 天津卷文)已知等差数列 {a n } 的公差 d 不为 0,设 S n ? a1 ? a 2 q ? ? ? a n q
n ?1

Tn ? a1 ? a 2 q ? ? ? (?1) n?1 a n q n?1 , q ? 0, n ? N *
(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S 3 成等比数列,求 q 的值。

1 (Ⅲ)若 q ? ?1, 证明( ? q)S 2 n ? (1 ? q )T2 n

2dq(1 ? q 2 n ) ? ,n? N* 2 1? q
2

(1)解:由题设, S 3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q , 将q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 代入解得 d ? 4 ,所以 a n ? 4n ? 3 n ? N * (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S 3 ? d ? 2dq ? 3dq ,? S1 , S 2 , S 3 成等比数列,所
2

2 2 ( 以 S 2 ? S1 S 3 ,即 d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2
2

(3)证明:由题设,可得 bn ? q

n ?1

,则 ① ②

S 2 n ? a1 ? a 2 q ? a3 q 2 ? ? a 2 n q 2 n ?1 T2 n ? a1 ? a 2 q ? a3 q 2 ? ? ? a 2 n q 2 n ?1
①-②得,

S 2 n ? T2 n ? 2(a 2 q ? a 4 q 3 ? ? ? a 2 n q 2 n?1 )
①+②得,

S 2 n ? T2 n ? 2(a1 q ? a3 q 2 ? ? ? a 2 n ?1 q 2 n ?2 )


2 2 n?2

③式两边同乘以 q,得 q( S 2 n ? T2 n ) ? 2(a1 q ? a3 q ? ? ? a 2 n ?1 q 所以 (1 ? q ) S 2 n ? (1 ? q )T2 n ? 2d (q ? q ? ? ? q
3 2 n ?1

)

)?

2dq(1 ? q 2 n ) 1? q2
- 48 -

(3)证明: c1 ? c 2 ? (a k1 ? al1 )b1 ? (a k 21 ? al2 )b2 ? (a k n ? aln )bn = (k1 ? l1 )db1 ? (k 2 ? l 2 )db1 q ? ? ? (k n ? l n )db1 q 因为 d ? 0, b1 ? 0 ,所以
n ?1

c1 ? c 2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n ?1 db1
若 k n ? l n ,取 i=n, 若 k n ? l n ,取 i 满足 k i ? li ,且 k j ? l j , i ?1 ? j ? n 由(1) (2)及题设知, 1 ? i ? n ,且

c1 ? c 2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n ?1 db1
① 当 k i ? li 时, k i ? li ? ?1 ,由 q ? n , k i ? li ? q ? 1, i ? 1,2?, i ? 1
i ?2

即 k1 ? l1 ? q ? 1 , (k 2 ? l 2 )q ? q(q ? 1), ? (k i ?1 ? li ?1 )q 所以

? q(q ? 1) i ?2

c1 ? c 2 1 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ? ? (q ? 1)q i ? 2 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? q i ?1 ? ?1 db1 1? q

因此 c1 ? c 2 ? 0 ② 当 k i ? li 时,同理可得

c1 ? c 2 ? ?1, 因此 c1 ? c 2 ? 0 db1

综上, c1 ? c2

【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列通项公式与前 n 项和等基本 知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 23. (2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, S n ?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

a 解: (I)由 a1 ? 1, 及 S n ?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4 1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,? b1? a2? 2a1? 3

- 49 -

由 S n ?1 ? 4an ? 2 ,. ..①

则当 n ? 2 时,有 S n ? 4an ?1 ? 2 ...② ..

②-①得 an ?1 ? 4an ? 4an ?1 ,? an ?1 ? 2an ? 2(an ? 2an ?1 ) 又? bn ? an ?1 ? 2an ,? bn ? 2bn ?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an ?1 ? 2an ? 3 ? 2
n ?1

,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ? 1) ? 2n ?2 2 2 4 4 4

?数列 {

评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn ?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2
n ?1

,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:

an ?1 ? pan ? q n ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n?1 .
总体来说, 年高考理科数学全国 I、 09 Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列 (全 国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题 作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重 视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 24. (2009 辽宁卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 sn 解: (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2 1 2
2

5分

(Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) ? 3 ( 故 a1 ? 4

- 50 -

1 n ( ? ? )) 41( 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( ? ? )) 1( 1 3 2 1? ? ) ( 2

10 分

25. (2009 陕西卷文)已知数列 ? an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2= 1a

an ? an?1 , n ? N* . 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 ? an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
n? 2 当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? )

1 2

1 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n?2 ] ? ? (? )n?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? (? ) (n ? N ) 。 3 3 2
26.(2009 湖北卷文)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列, 且满足 a3a6=55, a2+a7=16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ) 若数列{an}和数列{bn}满足等式: n== a 的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 ? an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②
2

b1 b2 b3 b 求数列{bn} ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) , 2 2 2 2n

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220
- 51 -

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(2)令 cn ?

bn , 则有an ? c1 ? c2 ? ? ? cn , an?1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 2n an ?1 ? an ? cn ?1 ,由(1)得a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2
?2, (n ? 1) ? bn ? ? n ?1 ?2 (n ? 2)

两式 相减得? cn ?1 ? 2, cn ? 2(n ? 2), 即当n ? 2时,bn ? 2n ?1 又当n=1时,b1 ? 2a1 ? 2

于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 4

n ?1

= 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n?1 -4=

2(2n ?1 ? 1) ? 4 ? 2n ? 2 ? 6,即Sn ? 2n ? 2 ? 6 2 ?1

27. (2009 福建卷文)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 若 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项 和 Sn 。 解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2
3

(Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n2 ? 22n 2

28(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 3 分, (Ⅱ)问 4 分, (Ⅲ)问 5 分) 已知 a1 ? 1, a2 ? 4, an ? 2 ? 4an ?1 ? an , bn ?

an ?1 ,n? N?. an

(Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值; (Ⅱ)设 cn ? bnbn ?1 , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 17n ;
- 52 -

(Ⅲ)求证: b2 n ? bn ?

1 1 . ? 64 17n?2 17 72 , b3 ? 4 17

解: (Ⅰ)? a2 ? 4, a3 ? 17, a4 ? 72 ,所以 b1 ? 4.b2 ? (Ⅱ)由 an ? 2 ? 4an ?1 ? an 得

an ? 2 a 1 ? 4 ? n 即 bn ?1 ? 4 ? an ?1 an ?1 bn
(n ≥ 2)

所以当 n≥ 2 时, bn ? 4 于是 c1 ? b1 , b2 ? 17, cn ? bnbn ?1 ? 4bn ? 1 ? 17 所以 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 17n (Ⅲ)当 n ? 1 时,结论 b2 ? b1 ? 当 n≥ 2 时,有 bn ?1 ? bn ?| 4 ?

1 17 成立 ? 4 64

b ?b 1 1 1 ?4? |?| n n ?1 |≤ | bn ? bn ?1 | bn bn ?1 bnbn ?1 17



1 1 1 1 | bn?1 ? bn?2 |≤? ≤ n ?1 | b2 ? b1 |? ? n ?2 2 17 17 64 17

(n ≥ 2)

所以

b2 n ? bn ≤ bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ? bn ?1 ? ? ? b2 n ? b2 n ?1

1 1 ( )n?1 (1 ? n ) 1 ? 1 n?1 1 n 1 2 n ?2 ? 1 17 17 ? 1 ? 1 (n ? N * ) ?(17 ) ? (17 ) ? ? ? (17 ) ? ? 4 ? 1 4? 64 17 n ?2 ? 1? 17

2007—2008 年高考题 一、选择题 1.(2008 天津)若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( A.12 答案 B 2.(2008 陕西)已知 {an } 是等差数列,a1 ? a2 ? 4 ,a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等 于( A.64 答案 B 3.(2008 广东)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? A.16 答案 D
- 53 -

)

B.13

C.14

D.15

) B.100 C.110 D.120

1 , S 4 ? 20 ,则 S 6 ? ( ) 2
D.48

B.24

C.36

4. (2008 浙江) 已知 ?a n ?是等比数列,a 2 ? 2,a5 ? A.16( 1 ? 4 ? n ) C.

1 , a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 = 则 ( 4



B.6( 1 ? 2 ? n ) D.

32 (1 ? 4 ?n ) 3

32 (1 ? 2 ?n ) 3

答案 C 5.(2008 四川)已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是() A. ? ??, ?1? C. ?3, ?? ? 答案 D 6.(2008 福建)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为 ( A.63 答案 C ) ) B.64 C.127 D.128 B. ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ? D. ? ??, ?1? ? ?3, ?? ?

7.(2007 重庆)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,则公比 q 为( A.2 答案 A B.3 C.4 D.8

8.(2007 安徽)等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S x 若 a 2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 答案 B B.10 C.8 D.6



a a S 9. 2007 辽宁) ( 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S3 ? 9 , 6 ? 36 , a7 ? 8 ? 9 ? ( 若 则
A.63 答案 B 10.(2007 湖南) 在等比数列 {an } ( n?N* )中,若 a1 ? 1 , a4 ? 为( A. 2 ? ) B.45 C.36 D.27



1 ,则该数列的前 10 项和 8 1 211

1 24

B. 2 ?

1 22

C. 2 ?

1 210

D. 2 ?

答案 B

- 54 -

11.(2007 湖北)已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn , 且

An 7n ?4 5 , ? Bn n?3

则使得

an 为整数的正整数 n 的个数是( bn
B.3 D



A.2 答案

C.4

D.5

12.(2007 宁夏)已知 a,b c,d 成等比数列, 且曲线 y ? x ? 2 x ? 3 的顶点是 (b,c) , ad 则 ,
2

等于( A.3 答案 D

) B.2 C.1 D. ?2

13.(2007 四川)等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( A.9 答案 B 二、填空题 B.10 C.11 D.12



15.(2008 四川)设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为 ______. 答案 4 .

16.(2008 重庆)设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= 答案 -72

17.(2007 全国 I) 等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列,则 ? an ? 的公比为 答案 .

1 3

18.(2007 江西)已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? . 答案 7

, 3, 19.(2007 北京)若数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 10n(n ? 1 2,?) ,则此数列的通项公式
2



;数列 ?nan ? 中数值最小的项是第

项.

- 55 -

答案

2n ?11

三、解答题 21.(2008 四川卷) 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 ban ? 2 ? ? b ? 1? Sn .
n

(Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2n ?1 是等比数列; (Ⅱ)求 ? an ? 的通项公式 解 由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ? b ? 1? Sn
n

?

?

ban ?1 ? 2n ?1 ? ? b ? 1? Sn ?1
两式相减得 b ? an ?1 ? an ? ? 2 ? ? b ? 1? an ?1
n

即 an ?1 ? ban ? 2n



(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an ?1 ? 2an ? 2n 于是 an ?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
n ?1 又 a1 ? 1? 2n ?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,即 an ? ? n ? 1? 2 当 b ? 2 时,由由①得

n ?1

an ?1 ?

1 1 ? 2n?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b b ? ban ? ? 2n 2?b
1 ? ? ? b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?

因此 an ?1 ?

1 1 ? ? ? 2n ?1 ?? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

?

2 ?1 ? b ? 2?b

? bn

- 56 -

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 n n ?1 n?2 ? 2 ? b ? 2 ? ? 2 ? 2b ? b ? ? ? ?
22.(2008 江西卷)数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 为等比 数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 ? ?? ? ? . S1 S2 Sn 4

解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? q n ?1

? ban?1 q3? nd ? 3?( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ?
由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3,6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8 故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8
n ?1

(2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4
23..(2008 湖北).已知数列 {an } 和 {bn } 满足:

a1 ? ? , an?1 ?

2 an ? n ? 4, bn ? (?1)n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实数, n 为正整数. 3

(Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论;

- 57 -

(Ⅲ)设 0 ? a ? b , S n 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有

a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想, 考查综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数 λ ,使{an}是等比数列,则有 a 2=a1a3,即
2

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+21]=(-1) ( =
n+1 n+1

2 an-2n+14) 3

2 2 n (-1) ·(an-3n+21)=- bn 3 3
+

又 b1x-(λ +18),所以 当 λ =-18,bn=0(n∈N ),此时{bn}不是等比数列: 当 λ ≠-18 时,b1=(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴

ba ?1 2 ? ? (n∈N+). bn 3

故当 λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 λ =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18)·(-
n   Sn=- (? ? 18)·?1-(- )?. 5 3

2 为公比的等比数列. 3

2 n-1 ) ,于是可得 3

3

? ?

2 ? ?

要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3 2 n + (λ +18)·[1-(- ) ] n∈N ) 〈b( 5 3
a 3 ? ? (? ? 18) ? 5 2 b 2 1 ? (? ) n 3           




2 1 ? (? ) n 3

令f (n) ? 1 ? (? ),则

5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9
当 n 为正奇数时,1<f(n) ?
- 58 -

于是,由①式得

5 3 3 a<- (λ +18),< b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18. 9 5 5

当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18,不存在实数满足题目要求; 当 b>3a 存在实数 λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<2.

第二部分

四年联考题汇编

2012-2013 年联考题 1【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】数列{an}的通项公式是 an= 若前 n 项和为 10,则项数 n 为( A.120 【答案】A 【 解 析 】 由 B.99 C.11 ) D.121
1 n ? n ?1



an ?

n ?1 ? n ?? n ? 1 ? n ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n )







a1 ? a2 ? ? ? an ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? 10 , 即

n ? 1 ?1 ? 1 0 即 ,

n ?1 ? 1 1 ,解得 n ? 1 ? 121, n ? 120 .选 A.
2.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ( x) ? a x , 且 f ' ( x ) g ( x? ) g ( x)
( n ? N * )的前 n 项和等于 A.4 【答案】B 【 解 析 】 [ B.5

f ( x ) g ', ) (x

? f (n) ? f (1) f (?1) 5 ? ? ,若有穷数列 ? ? g (1) g (?1) 2 ? g (n) ?

31 ,则 n 等于( ) 32
C.6 D. 7

f (x ) f x (g x ?( f )x g ( ) ' ( ) ' ) x ]? ' , 因 为 f ' ( x ) g (? ) x 2 g ( x) g ( x)

f ( x ) g, ( ) 'x 以 所

[

f ( x) f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) f ( x) ]' ? ? 0 ,即函数 ? ax 单 调 递 减 , 所 以 0 ? a ? 1 . 又 2 g ( x) g ( x) g ( x)

f (1) f (?1) 5 5 1 5 1 ? ? a ? a ?1 ? a? ? a? a?2 g (1) g (?1) 2 , 即 2 ,即 a 2 ,解得 2 .所以 (舍去)或

- 59 -

f ( x) 1 x f (n ) 1 1 1 ? ( ) ,即数列 ? ( )n 为 首 项 为 a1 ? , 公 比 q ? 的 等 比 数 列 , 所 以 g ( x) 2 g ( n) 2 2 2

1 n 1? ( ) a1 (1? q n ) 1 2 ? 1 ? ( 1 ) n ,由1 ? ( 1) n ? 31 得 ( 1 ) n ? 1 ,解得 n ? 5 ,选 B. Sn ? ? ? 2 32 2 32 1? q 2 1? 1 2 2
3.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足

S15 ? 0, S16 ? 0, 则 S1 , S 2 ,?, S15 中 最 大 的 项 为
a1 a 2 a15

A.

S6 a6

B. S 7
a7

C. S 9
a9
【答案】D 【解析】由 S15 ?

D. S 8
a8

15(a1 ? a15 ) 15(a1 ? a16 ) 15(a9 ? a8 ) =15a8 ? 0 ,得 a8 ? 0 .由 S16 ? = ?0, 2 2 2

得 a9 ? a8 ? 0 ,所以 a9 ? 0 ,且 d ? 0 .所以数列 {an } 为递减的数列.所以 a1 ,? a8 为正,

a9 ,? an 为 负 , 且 S1 ,? S 1 5 ? 0 , S16 ,? Sn ? 0 , 则

S9 S S ? 0 , 10 ? 0? , 8 ? 0 , 又 a9 a10 a8

S8 ? S1, a1? a8 ,所以

S8 S1 S ? ? 0 ,所以最大的项为 8 ,选 D. a8 a1 a8

4. 云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】 S n 为等差数列 {an }的前n 项和, 【 设 若 a3 ? 3, S9 ? S6 ? 27 ,则该数列的首项 a1 等于 A. ? C.

6 5

B. ? D.

3 5

6 5

3 5

【答案】D 【解析】由 ?

? a1 ? 2d ? 3 ? a1 ? 2d ? 3 3 得? ,解得 a1 ? ,选 D. 5 ?9a1 ? 36d ? (6a1 ? 15d ) ? 27 ? a1 ? 7 d ? 9
n

5. 【 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 】 等 差 数 列 {a

}中,如果

a1 ? a4 ? a7 =39 , a3 ? a6 ? a9 =27 ,数列{a n }前 9 项的和为
A. 297 B. 144 C. 99 D. 66

- 60 -

【答案】C 【解析】由 a1 ? a4 ? a7 =39 ,得 3a4 =39,a4 =13 。由 a3 ? a6 ? a9 =27 ,德 3a6 =27,a6 =9 。 所以 S9 ?

9(a1 ? a9 ) 9(a4 ? a6 ) 9 ? (13 ? 9) = = =9 ?11=99 ,选 C. 2 2 2

6.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 已知正项等比数列{a n }满足:

a7 =a6 ? 2a 5 ,若存在两项 an , am 使得 am an ? 4a1 ,则
3 A. 2 5 B. 3 25 C. 6

1 4 ? 的最小值为 m n

D. 不存在

【答案】A 【解析】因为 a7 =a6 ? 2a5 ,所以 a5 q 2 =a5 q ? 2a5 ,即 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 。若存
2

在两项 an , am ,有 am an ? 4a1 ,即 am an ? 16a12 , a12 q m? n?2 ? 16a12 ,即 2m? n ?2 ? 16 ,所以

m ? n ? 2 ? 4, m ? n ? 6





m?n ?1 6







1 4 1 4 m?n 1 4m n 1 4m n 3 4m n ? ? ( ? )( ) ? (5 ? ? ) ? (5+2 ? )= , 当 且 仅 当 = 即 m n m n 6 6 n m 6 n m 2 n m
n 2 ? 4m2 , n ? 2m 取等号,此时 m ? n ? 6 ? 3m ,所以 m ? 2, n ? 4 时取最小值,所以最小值


3 ,选 A. 2

7. 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考 (理) 设等比数列 ?a n ? 中, n 项和为 S n , 】 前 已知 S3 ? 8,S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A.

1 8

B. ?

1 8

C.

57 8

D.

55 8

【答案】A 【 解 析 】 因 为 a7 ? a8 ? a9 ? S9 ? S6 在 等 比 数 列 中 S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 也 成 等 比 , 即 ,

1 8,1, S9 ? S6 成等比,所以有 8( S9 ? S6 ) ? 1 ,即 S9 ? S6 ? 8 ,选 A.
8.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理) 】已知 an ? ( ) ,把数列 ?a n ? 的各

1 3

n

项排列成如下的三角形状,

- 61 -

记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( ,12) = 10 A. ) (

1 3

93

B. ) (

1 3

92

C.( )

1 3

94

D. ) (

1 3

112

【答案】A 【解析】前 9 行共有 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 17 ?

(1 ? 17) ? 9 为数列中的第 10 ? 81 项,所以 A( ,12) 2

1 81 ? 12 ? 93 项,所以 a93 ? ( )93 ,选 A. 3
9.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】已知函数 ?an ? 满足

a1 ? a, an ? an?1 ? 2 .定义数列 ?bn ? ,使得 bn ?
项为 A. b2 【答案】B B. b3 C. b4 D. b5

1 , n ? N ? .若 4<a<6,则数列 ?bn ? 的最大 an

【解析】由 a ? a, a ? a ? 2 得, a ? a ? ?2 ,所以数列 ?an ? 是公差为 ?2 的等差数列, 1 n n ?1 n ?1 n

2 n 所 以 an ? a ? ( n ? 1 ) ? a ? 2 ? 2 则 a ? an ? 2n ? 2 , 因 为 4 ? a ? 6 , 所 以 , 4 ? an ? 2 ? ? ,即 6 ? 2 n ? a n ? 8 ? 2 n ,则 4 ? a1 ? 6 , 2 ? a2 ? 4 , 0 ? a3 ? 2 ,所以 n 2 6 0 ? a3 ? a2 ? a1 , 所 以

1 1 1 ? ? 0 , 即 b3 ? b2 ? b1 0 , 当 n ? 4 时 , ? ? a3 a2 a1 1 ? 0 ,所以 b3 最大,选 B. an

6? 2 ? n n a

? 8 ? 2 ,此时 bn ? n ?0

10【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】已知各项均不为零的数列

?an ? ,定义向量 cn ? ? an , an?1 ? , bn ? ? n, n ? 1? , n ? N ? .下列命题中真命题是
? A.若 ?n ? N 总有 cn ? bn 成立,则数列 ?an ? 是等比数列 ? B.若 ?n ? N 总有 cn / /bn 成立,则数列 ?an ? 是等比数列

?? ?

?? ?

- 62 -

? C.若 ?n ? N 总有 cn ? bn 成立,则数列 ?an ? 是等差数列

D. 若 ?n ? N 总有 cn / /bn 成立,则数列 ?an ? 是等差数列
?

【答案】D

【解析】由 故数列

?? ?? ? ? cn / /bn

an ?1 n ? 1 an?1 an ? ? nan?1 ? (n ? 1)an n ,所以 an ? na1 , n ? 1 n ,所以 an 得, ,即

?an ? 是等差数列,选 D。

11.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】在各项均为正数的等比数列 {an } 中,
2 a3 ? 2 ? 1, as ? 2 ? 1, 则 a3 ? 2a2 a6 ? a3a7 ?

A.4 【答案】C

B.6

C.8

D. 8 ? 4 2

【解析】在等比数列中, a3a7 ? a5 , a2 a6 ? a3a5 ,所以 a3 ? 2a2 a6 ? a3a7 ? a3 ? 2a3a5 ? a5
2
2 2

2

? (a3 ? a5 ) 2 ? ( 2 ? 1 ? 2 ? 1) 2 ? (2 2) 2 ? 8 ,选 C.
12.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? ?2013 , 其前 n 项和为 S n ,若 A.-2012 【答案】B 【 解 析

S12 S10 ? ? 2 ,则 S 2013 的值等于( 12 10
C.2012



B.-2013

D.2013



S12 ? 12a1 ?

12 ?11 d 2



S10 ? 10a1 ?

10 ? 9 d 2







12 ?11 d S S S 9 11 2 ? a1 ? d , 10 ? a1 ? d , 所 以 12 ? 10 ? d ? 2 , 所 以 10 2 12 10 12 2 2013 ? 2012 S2013 ? 2013a1 ? d ? 2013(?2013 ? 2012) ? ?2013 ,选 B. 2 1 13.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】 在等差数列 ? an ? 中,a9 ? a12 ? 6 , 2 S12 ? 12 12a1 ?
则数列 ? an ? 的前 11 项和 S11 等于 A.24 【答案】D 【 解 析 】 由 a9 ? B.48 C.66 D.132

1 a 1 2? 6 得 2a9 ? a12 ? 12 , 即 a6 ? a 1 2? a 1? 12 , 所 以 a6 ? 12 . 又 2 2
- 63 -

S11 ?

11(a1 ? a11 ) ? 11a6 ,所以 S11 ? 11a6 ? 132 ,选 D. 2

a 14. 山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 【 已知 ? an 为等比数列, 4 ? a7 ? 2 ,

?

a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (
A. 7 【答案】D B. 5

) C. ?? D. ??

【解析】在等比数列中, a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 ,所以公比 q ? 0 ,又 a4 ? a7 ? 2 ,解得 ?

? a4 ? ? 2 ? a7 ? 4

或?

? a1 ? 1 ? a4 ? 4 ? a4 ? ? 2 9 3 。由 ? ,解得 ? 3 ,此时 a1 ? a10 ? a1 ? a1q ? 1 ? (?2) ? ?7 。 a7 ? ?2 a7 ? 4 q ? ?2 ? ? ?

?a1 ? ?8 ? a4 ? 4 1 ? 9 9 由? ,解得 ? 3 1 ,此时 a1 ? a10 ? a1 ? a1q ? a1 (1 ? q ) ? ?8(1 ? ) ? ?7 , 8 ? a7 ? ?2 ?q ? ? 2 ?
综上 a1 ? a10 ? ?7 ,选 D. 15. 山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 【 等差数列 {an } 的前 n 项的和为 S n , 且 a1013 ? S2013 ? 2013 ,则 a1 ? ( A. 【答案】D 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , S2013 ? 2012 B. -2012 C. ) 2011 D. -2011

2013(a1 ? a 2 0 1)3 ? 2013 , 所 以 a1 ? a 2 0 1 ? 2 , 所 以 3 2

a1 ? 2 ? a2013 ? 2 ? 2013 ? ?2011 ,选 D.
16.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=1, an?1 ? 3s n (n ? 1) ,则 a 6 =( A. 4
4

) C . 3× 4
4

B.3 × 4 +1

4

D. 4 +1

4

【答案】C 【 解 析 】 由 an?1 ? 3s n (n ? 1) 得 an ? 2 ? 3sn ?1 , 两 式 相 减 得 an ? 2 ? an ?1 ? 3an ?1 , 即

an ? 2 ? an ?1? 3 an ?,所以 an ? 2 ? 4an ?1 , 即 , 1

an ? 2 4 4 ? 4 ,a2 ? 3S1 ? 3 , 所以 a6 ? a2 4 ? 3 ? 4 , an ?1

- 64 -

选 C. 17. 【 山 东 省 聊 城 市 东 阿 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 初 考 试 】 等 差 数 列 ?a n ? 中 , 若

a 2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 a 5 等于
A.3 【答案】C B.4

( C.5

) D.6

【解析】因为等差数列 a2 ? a8 ? 2a5 ? 15 ? a5 ? a5 ? 5 ,因此选 C 18. 【 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 】 在 等 差 数 列

{an }中, a1 ? ?2012, 其前n项和为Sn , 若
A.—2011 【答案】B 【解析】设公差为 d ,则 B.—2012

S12 S10 ? ? 2, 则S2012 的值等于 12 10
C.—2010 D.—2013

S S S S12 11 9 ? a1 ? d , 10 ? a1 ? d ,所以 12 ? 10 ? d ? 2 ,所以 12 10 12 2 10 2

S2012 ? 2012a1 ?

2012 ? 2011 d ? ?2012 ,选 B. 2

19.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知等比数列 {an } 的前 n 项和为

Sn ? 3n ?1 ? a , n ? N* ,则实数 a 的值是
A. ?3 【答案】A 【解析】 n ? 2 时,an ? Sn ? Sn ?1 ? 3 当
n ?1

B. 3

C. ?1

D.1

? 3n ? 2 ? 3n , n ? 1 时,a1 ? S1 ? 9 ? a , 当 因为 {an }

是等比数列,所以有 9 ? a ? 2 ? 6 ,解得 a ? ?3 ,选 A. 20.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

S10 ? ? (1 ? 2 x)dx ,则 a5 ? a6 ?
0

3

A.

12 5

B. 12

C. 6

D.

6 5

【答案】A 【解析】 S10 ?

?

3

(1 ? 2 x)dx ? ( x ? x 2 ) 3 ? 12 ,等差数列中 0

0

S10 ?

10(a1 ? a10 ) 12 ? 5(a5 ? a6 ) ? 12 ,所以 a5 ? a6 ? ,选 A. 2 5
- 65 -

21.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】已知等差数列 ?a n ? 的公差 d 不为 0, 等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数。若 a1 ? d , b1 ? d , 且
2

a1 ? a2 ? a3 是正整 b1 ? b2 ? b3
2 2 2

数,则 q 的值可以是( A.



1 7

B.-

1 7

C.

1 2

D.-

1 2
2 2 2 2

【答案】C 【解析】由题意知 a2 ? a1 ? d ? 2d , a3 ? a1 ? 2d ? 3d ,b2 ? b1q ? d q, b3 ? b1q ? d q ,所 以
2 2 2 a12 ? a2 2 ? a32 d 2 ? 4d 2 ? 9d 2 a ? a2 ? a3 14 ? 2 ? ,因为 1 是正整数,所以令 b1 ? b2 ? b3 b1 ? b2 ? b3 d ? d 2q ? d 2q 2 1 ? q ? q 2

t t 14 2 2 , 即 q ? q ?1? ?0 , 解 得 ? t , t 为 正 整 数 。 所 以 q ? q ?1 ? 2 14 14 1? q ? q
?1 ? 1 ? 4(1 ? q? 2 14 14 56 ) ?1 ? 1 ? 4(1 ? ) ?1 ? ?3 ? t ? t ? t ,因为 t 为正整数,所以当 2 2

t ? 8 时, q ?

?1 ? ?3 ? 7 ?1 ? 2 1 ? ? 。符合题意,选 C. 2 2 2
2

22.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 已知函数 f (n) ? n cos(n? ) ,且

an ? f ( n) ? f ( n? 1),则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ?
A. 0 【答案】B 【解析】因为 f (n) ? n cos(n? ) ,所以
2

B. ?100

C. 100

D. 10200

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? [ f (1) ? f (2) ? ? ? f (100)] ? [ f (2) ? ? ? f (101)]

f (1) ? f (2) ? ? ? f (100) ? ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? 992 ? 1002
? (22 ? 12 ) ? (42 ? 32 ) ? ?(1002 ? 992 ) ? 3 ? 7 ? ? ? 199 ?

50(3 ? 199) ? 5050 , 2

f (2) ? ? ? f (101) ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? 992 ? 1002 ? 1012
=(22 ? 32) 42 ? 52) ? ? 1002 ?1012) ?5 ? 9 ? ? ? 201 ? ? ( + ( ?


50(?5 ? 201) ? ?5150 ,所 2

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? [ f (1) ? f (2) ? ? ? f (100)] ? [ f (2) ? ? ? f (101)]
- 66 -

? ?5150 ? 5050 ? ?100 ,选 B.

- 67 -

23. 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】 【 已知数列{ a n }的前 n 项和为 s n , 且, s n ? 2a n ? 2 则 a 2 等于 ( A. 4 【答案】A 【 解 析 】 因 为 s n ? 2a n ? 2 , 所 以 a1 ? s 1? 2a ? 2 , 解 得 a1 ? 2 , 所 以 1 B.2 ) C.1 D. ? 2

s2 ? 2 a2 ? 2 =a1 ? ,即 a2 ? a1 ? 2 ? 4 ,选 A. a2
24.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a2 ? 3, a6 ? 11, 则 S 7 等于 A.13 【答案】C 【 解 析 】 因 为 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , 所 以 a1 ? a7 ? a2 ? a6 3 ? B.35 C.49 D.63 ( )

11 ?,所以 ? 14

S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7 ?14 ? ? 49. 选 C. 2 2

25.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】已知数列 {a n } 为等比数列,

a 4 ? a7 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为
A. 7 【答案】D B. ? 5 C. 5 D. ? 7

【解析】在等比数列中, a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 ,所以公比 q ? 0 ,又 a4 ? a7 ? 2 ,解得 ?

? a4 ? ? 2 ? a7 ? 4

或?

? a1 ? 1 ? a4 ? 4 ? a4 ? ? 2 9 3 。由 ? ,解得 ? 3 ,此时 a1 ? a10 ? a1 ? a1q ? 1 ? (?2) ? ?7 。 a7 ? ?2 a7 ? 4 q ? ?2 ? ? ?

?a1 ? ?8 ? a4 ? 4 1 ? 9 9 由? ,解得 ? 3 1 ,此时 a1 ? a10 ? a1 ? a1q ? a1 (1 ? q ) ? ?8(1 ? ) ? ?7 , 8 ? a7 ? ?2 ?q ? ? 2 ?
综上 a1 ? a10 ? ?7 ,选 D. 26【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】设数列? an ? 的前 n 项的和为 sn ,且

a1 ? 1, an ?1 ? 3Sn ? n ? 1, 2, ???? ,则 log 2 S4 等于__._.
- 68 -

【答案】6 【解析】 因为 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 3Sn , 所以 Sn?1 ? 4Sn , 所以数列 {S n } 是以 S1 ? a1 ? 1, q ? 4 为 公比的等比数列,所以 S4 ? 4 ,所以 log 2 S4 ? log 2 4 ? 6 .
3 3

27 【 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 ) 正 项 等 比 数 列 】 ,则 【答案】16 等于______.

中,若

4 【解析】在等比数列中, a2 a98 ? a40 a60 ,所以由 log 2 (a2 a98 ) ? 4 ,得 a2 a98 ? 2 ? 16 ,即

a40a 60 ? 16 。
28【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】设正项等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 若 S 3 ? 3, S 9 ? S 6 ? 12 ,则 S 6 ? 【答案】9 【解析】在等比数列 {an } 中, S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 也成等比数列,即 3, S6 ? 3,12 成等比,所以 ;

( S6 ? 3) 2 ? 3 ?12 ? 36 ,所以 S6 ? 3 ? ?6 ,所以 S6 ? 9 或 S6 ? ?3 (舍去).
29【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】对正整数 n,设曲线 y ? x (1 ? x) 在
n

x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则 { 【答案】 2
n?1

an } 的前 n 项和是 n ?1



?2
n n n ?1

【解析】曲线 y ? x (1 ? x) ? x ? x

,曲线导数为 y ' ? nx

n ?1

? (n ? 1) x n ,所以切线效率为

k ? n2n?1 ? (n ? 1)2n ? ?(n ? 2)2n ?1 , 切 点 为 ( 2?, n 2 ,) 所 以 切 线 方 程 为 y ? 2n ? ?(n ? 2)2n?1 ( x ? 2) ,令 x ? 0 得, y ? 2n ? (n ? 2)2n ,即 y ? (n ? 1)2n ,所以
an ? (n ? 1)2n , 所 以
an ? 2n , 是以 2 为首 项, q ? 2 为 公比 的等 比数 列,所 以 n ?1

Sn ?

2(1 ? 2n ) ? 2n ?1 ? 2 。 1? 2

30【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】数列{a n }中,若 a 1 =1,

an?1 ? 2an ? 3 (n≥1) ,则该数列的通项 a n =________。

- 69 -

【答案】 an ? 2n ?1 ? 3, n ? 1 【解析】因为 an ?1 ? 2an ? 3 ,所以 an ?1 ? 3 ? 2an ? 3 ? 3 ? 2(an ? 3) ,即数列 {an ? 3} 是 以 a1 ? 3 ? 4 为首项,公比 q ? 2 的等比数列,所以数列的通项 an ? 3 ? 4 ? 2n ?1 ? 2n ?1 , n ? 1 。 所以 an ? 2n ?1 ? 3, n ? 1

31【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,项数是 偶数, 所有奇数项之和为 15 , 所有偶数项之和为 35 , 则这个数列的项数为______________ ; 【答案】 20 【解析】因为项数是偶数,所以由题意知 a1 ? a3 ? ? ? an ?1 ? 15 , a2 ? a4 ? ? ? an ? 35 ,两

? ( 5 式 相 减 得 (a2 ? a 1 ) a( ? a ? ) ? an ? an ? ?1 ) ? 3 ? 4 3?
n? 40 40 ? ? 20 。 d 2
2011-2012 年联考题 一、选择题 1. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文)

n 1 , 即2 0d ? 20 , 所 以 5 2

?an ? 中 , a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 4 已知数列
( A. 3 答案 C. )
n?1

(n ? N * 且n ? 2)
,则数列

? an ? 通 项 公 式 an 为

B. 3

n?1

?8

n C. 3 ? 2

D. 3

n

2.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)已知等差数列

{a n }

的前 n 项和为 S n ,若

a4 ? 18 ? a5 , 则S8 ? (
A.18 答案 D. B. 36

) C. 54 D. 72

3.(福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理)已知公差不为 0 的等差数列 足

{an }



a1 , a3 , a4

成等比数列,

Sn为{a n }的前n

项和,则

S3 ? S 2 S5 ? S3 的值为( )

- 70 -

A.2 答案 A.

B.3

1 C. 5

D.4

4.(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)数列 且

{an }

是公差不为 0 的等差数列,

a1 , a3 , a7

为等比数列

{bn }

的连续三项,则数列

{bn }

的公比为( )

A.

2

B.4

C.2

1 D. 2

答案 C. 5.(福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理)已知数列{an}的通项公式为

an ?

2 n ? 4n ? 5
2

则{an}的最大项是(

) D.a4

A.a1 B.a2 C.a3 答案 B. 6. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) 等比数列 A. ?4 答案 B. 7.(福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理) 已知等差数列

?an ? 中, a3 ? 2, a7 ? 8,
C. 6 D. ?4



a5

=





B. 4

{an }

的公差为 ?2 ,且

a2 , a4 , a5

成等比数列,则

a2

等于(



A.-4 B.-6 c C.-8 D.8 答案 D. 8. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)已知数列{an}的前 n 项和

n ?1 ,则a3 ? Sn= n ? 2
1 A. 20
答案 A. 9. (广东省华附、中山附中 2011 届高三 11 月月考理)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 且

1 B. 24

1 C. 28

1 D. 32

Sn ,

S2 = 10, S5 = 55 ,则过点 P(n, an ) 和 Q(n + 2, an+ 2 )

(n ? N*)的直线的斜率是

- 71 -

A.4 B.3 答案 A.

C.2

D.1

10.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)设

?an ? 是公差为正数的等差数列,若

a1 ? a2 ? a3 ? 15



a1a2 a3 ? 80


,则

a11 ? a12 ? a13 ?

) C. 90 D. 75

A. 120 答案 B.

B. 105

11. (北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题)已知等差数列 若 原点 A.100 答案 A. ) ,则 ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过 =( ) C. 200 D. 201

的前 项和为



B. 101

12.(贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理)在等差数列 则此数列的前 13 项的和等于( A.13 B.26 答案 A. ) C.8 D.16

{an }

中,

a3 ? a5 ? 2a10 ? 4



13. (河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文) 在等比数列 那么

{an }

中, 已知

a1a3a11 ? 8



a2 a8

= (B)4 (C)12 (D)16

(A)3 答案 B.

14. (黑龙江大庆实验中学 2011 届高三上学期期中考试理)若一个等差数列前 3 项的和为 34 , 最后 3 项的和为 146 ,且所有项的和为 390 ,则这个数列有( )

A.13 项
答案 A.

B.12 项

C.11 项

D.10 项

15. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文)已知等差数列 且

?an ? 的前 n 项和为 S n ,

a3 ? 3a7 ? a11 ? 15
( )

,则

S13 ?

A. 104 B. 78 C. 52 答案 D.

D. 39

- 72 -

16. (福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理) 如 果 数 列

{a n }( a n ? R)对任意m, n ? N *满足a m? n ? a m ? a n , 且a3 ? 8, 那么a10

等 于

( ) A.256 B.510 C.512 D. 1024 答案 D. 17. (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考) (理科)已知数列

?an ? 满足

a1 ? 33,

an ?1 ? an a ? 2, n n 则 n 的最小值为
B.10.5 D .8





A .10 C .9 答案 B.

18. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理)等差数列 ( A. ?2 ) B.0 C.1 D.2

{an }

满足:

a2 ? a9 ? a6

,则

S9

=

答案 B. 19. (重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考理) 在数列

{an }

中,

a1 ? 1, an ?1 ? an ? n, (n ? N * ), 则a100

的值为





A.55050 B.5051 C.4950 D.4951 答案 D. 20. (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15= 120,则 2a6-a4 的值为 A.24 B.22 C.20 D.-8 答案 A. 21. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)若{a n }为等差数列,且 a 2 +a 5 +a 8 =39,则 a 1 +a 2 +?+a 9 的值为 A.117 答案 A. B.114 C.111 D.108

, 22.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)已知 a,b c,d 成等比数列,且曲线
y ? x 2 ? 2 x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于(
A.3 答案 B. 23 . 浙 江 省 温 州 市 啸 秋 中 学 2010 学 年 第 一 学 期 高 三 会 考 模 拟 试 卷 ) 数 列 ?an ? 满 足 ( B.2 C.1 ) D. ?2

- 73 -

1 ? ? 2 an ( 0 ? a n ? 2 ) ? an ?1 ? ? ?2a ? 1 ( 1 ? a ? 1) n ? n 2 ?



a1 ?

6 7 ,则 a8

?
3 C. 7
1 D. 7

6 A. 7

5 7 B.

答案 B. 24. (宁夏银川一中 2011 届高三第五次月考试题全解全析理) 等比数列

{ an }

首项与公比分别是复数 i ? 2 ( i 是虚数单位 ) 的实部与虚部,则数列 ( B. 2
10

{ an }

的前

10 项的和为
A. 20

) C. ? 20 D. ? 2i

?1

【答案】A 【分析】根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比,按照等比数列的求和 公式进行计算。 【解析】该等比数列的首项是 2 ,公比是 1 ,故其前 10 项之和是 20 。 【考点】数列、复数 【点评】本题把等比数列和复数交汇,注意等比数列的求和公式是分公比等于 1 和不等于1 两 种情况,在解题中如果公比是一个不确定的字母要注意分情况解决。 25. (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考) (文科)设

Sn

是等比数列

?an ? 的前

S3 1 S6 ? S 3 ,则 S12 等于 项和, 6





1 A. 3 1 C. 8

1 B. 5 1 D. 9

答案 B 26. (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)

?2 x ? 1( x ? 0) f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0) ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺序排列 已知函数
- 74 -

成一个数列,则该数列的通项公式为





A. C. 答案 B

an?

n(n ? 1) (n ? N * ) a ? n ? 1(n ? N * ) 2 B. n
D.

an ? n(n ? 1)(n ? N * )

an ? 2n ? 2(n ? N * )

27. (北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理) 已知等差数列 那么

{a n }

的前 20 项的和为 100,

a 7 a14

的最大值为(

)

(A) 25

(B) 50

(C ) 100

(D) 不存在

答案 A. 28. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理)

1 1 3是3a 与3b的等比中项,则 ? a b 的最小值为 ( 设 a ? 0, b ? 0. 若
A.4 B.8



C.1 答案 A.

1 D .4

29.(浙江省嵊州二中 2011 届高三 12 月月考试题理)已知函数 y ? f (x) 的定义域为 R ,当

x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,
且对任意的实数 x, y ? R ,等式 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y ) 成立,

若数列

?an ? 满足 a1 ?

f (0) ,且

f (an ?1 ) ?
(C)4019

1 (n ? N * ) a f (?2 ? an ) ,则 2011 的值为(
(D)4021



(A)4017 答案 D. 二、填空题

(B)4018

30. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文)已知等差数列 且

?an ? 的前 n 项和为 S n ,

S13 ? 0, S14 ? 0,




at at ?1 ? 0

则t

= 答案 7.

31. (福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理) 已知等比数列

?a n ?各项均为正数,前 n
- 75 -

项和为

Sn

,若

a2 ? 2



a1a5 ? 16

.则

S5 ?

▲▲.

答案 31. 32. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理)已知数列 1, a1, a2, a3 , a4 ,4

a3 ? a 2 ? b2 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则 _______.
5 答案 2

33. (河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文) 若数列 只有有限个正整数 m 使得
? n

?an ? 满足:对任意的 n ? N ? ,
( an )?
,则得到一个新数列

am<n

成立,记这样的 m 的个数为
? n

?(a ) ? .例如,若数列 ?a ? 是 1, 2,3,…,n,… ,则数列 ?(a ) ? 是 0,1, 2,…,n ?1,… .已
n

(a5 ) ? a ? n2 知对任意的 n ? N , n ,则
答案 n2

?

?



((an )? )? ?
{an }
的前 n 项和为



34. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) 数列 的各项按如下规则排列:

Sn

, 且数列

{an }

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 n ?1 , , , , , , , , , , ? , , , ?, , ?, 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n n


a15



,若存在正整数 k ,使

Sk ? 10, Sk ?1 ? 10,

则k ?



5 答案 6 、 20.
35. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理) 在 ?ABC中,a, b, c分别是?A,?B,?C的对边 且 a, b, c 成等差数列。则 ?B 的范围是

(0, ] 3 . 答案

?

36. 浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文) 9 个正数组成的矩阵 ( 由 中,每行中的三个数成等差数列,且

? a 11 ? ? a 21 ?a ? 31

a 12 a 22 a 32

a 13 ? ? a 23 ? a 33 ? ?
成等

a 11 ? a 12 ? a 13 a 32



a 21 ? a 22 ? a 23



a 31 ? a 32 ? a 33

比数列.给出下列结论:①第 2 列中的 a 12 ,a 22 ,

必成等比数列;②第1列中的 a 11 、a 21 、

a 31

不一定成等比数列;③

a 12 ? a 32 ? a 21 ? a 23

;④若这 9 个数之和等于 9,则 a 22 ? 1 .其中

- 76 -

正确的序号有 答案:①②③ 三、简答题

▲ (填写所有正确结论的序号) .

37. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷) 已知 且

{an }

为等比数列,

a3 ? a6 ? 36, a4 ? a7 ? 18.

(1)若

an ?

1 {a } S S 2 ,求 n ; (2)设数列 n 的前 n 项和为 n ,求 8 .

? a1 ? 128 ? ? 1 1 an ? 128 ? ( ) n ?1 n ?1 ?q ? 2 an ? a1q ? 2 答案 解:设 ,由题意,解之得 ,进而

1 1 an ? 128 ? ( )n?1 ? 2 2 ,解得 n ? 9. (1)由
Sn ?
(2)

???3 分

a1 (1 ? q n ) 1 ? 256[1 ? ( ) n ] 1? q 2

1 ? S8 ? 256[1 ? ( )8 ] ? 255. 2

???3 分

38. (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考) (本小题满分 13 分)在数列{

an

}中,

a1 ?

1 1 bn ? (n ? N ? ) ? an n ? N , n ? 2 都有 an ? an?1 ? an?1 ? an 成立,令 3 ,并且对任意 .
bn
}的通项公式 ;

(Ⅰ)求数列{

an T (Ⅱ)求数列{ n }的前 n 项和 n .

b1 ?
解: (1)当 n=1 时,

1 ?3 a1 ,当 n ? 2 时,



an ? an?1

1 1 ? ? 1, ? an?1 ? an a n a n ?1 b ? bn ?1 ? 1 得 所以 n
是首项为 3,公差为 1 的等差数列, 的通项公式为

所以数列 所以数列

{bn } {bn }

bn ? n ? 2

- 77 -

an 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ????8分 n n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 (2)
1 1 1 3 1 1 3n 2 ? 5n ? ) ? [ ?( ? )] ? ??11分 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 4(n 2 ? 3n ? 2) 3 4(n ? 1) ? 2 ? ? 4 4(n ? 1)( n ? 2) ?
39.(福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理) (本题满分 13 分)

数列

?a n ?

n? ? ? 1 2 n? a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? ?1 ? cos2 , n ? 1,2,3 ? ? ? ?a n ? 2 sin 2 ? 2 ? 3 满足
及数列

(1)求

a 3, a 4

?a n ?的通项公式;(2)设 S n

? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a n

,求

S 2n



答案 (本题满分 13 分)

数列

?a n ?

n? ? ? 1 2 n? a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? ?1 ? cos2 , n ? 1,2,3 ? ? ? ?a n ? 2 sin 2 ? 2 ? 3 满足
及数列

(1)求

a 3, a 4

?a n ?的通项公式;(2)设 S n

? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a n

,求

S 2n



解: (1)

?? ? ? 1 a3 ? ?1 ? cos2 ?a1 ? 2 sin 2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 2? 2 ? 3
2? ? 2 4 ? 1 ? 1? 2 2? a 4 ? ?1 ? cos2 ? ?1 ? ?a 2 ? ? 2 ? ?a 2 ? 2 sin 2 ? 2 ? 3? 3 3 ? 3

----2 分

2n ? 1 ? ? 1 2 2n ? 1 a 2 n ?1 ? ?1 ? cos2 ? ? a 2 n ?1 ? 2 ?a 2 n ?1 ? 2 sin a a 2 ? 2 ? 3 一般地, 即 2 n ?1 - 2 n ?1 =2
即数列{

a2 n ?1

? a 2 n ?1 ? 2n ? 1 }是以 a1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列。

----4 分

2n ? 2n 2 ? 1 又 ? a 2 m? 2 ? ?1 ? cos2 ? ?a 2 n ? 2 sin 2 ? ? a 2 n 2 ? 2 3 ? 3
?2? 2 ? a2n ? a2 ? ? a ?3? 即数列{ 2 n }是首项为 a 2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列
n ?1

?2? ? 2? ? ?3?

n ?1

--6 分

?n, n ? 2m ? 1, m ? N ? ? ? n?2 综上可得a n ? ? 2 2 ? ? ?2? ? , n ? 2m, m ? N ? ? ?3? ?

----8 分
- 78 -

(2)

S 2 n ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? ?a2 n?1 ? a2 n ? ?a1 ? a3 ? ? ? ? ? a2 n?1 ? ? ?a2 ? a4 ? ? ? ? ? a2 n ?

n ?1 ? n 4 ?2? ? ? ?1 ? 3 ? ? ? ? ? ?2n ? 1?? ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? n 2 ? 6 ? 6 ? ? 2 ? ? ? 3 ?3? ? ? ? ? ? 3 ? ---13 分

40.(浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) (本小题满分 15 分) 已知数列

{an }



{bn }

中,

{an }

为 公 比 q ? 0 的 等 比 数 列, 且 分别为数列

S4 ? 20, S8 ? 340, b1 ? 1



bn?1 ? qTn (n ? N *)
(I)求数列

,其中

S n , Tn

{an }



{bn }

的前 n 项和

{an }

的通项公式; 的通项公式; 的前 n 项和

(II)求数列

{bn }

(III)求数列

{nbn }

Hn



答案 (本小题满分 15 分)

4 an ? ?2n ?1 3 (1)
n ?1 ? 1 bn ? ? n ? 2 3 n?2 ?2? (2)

Tn ?
(3)

1 1 ? (n ? )? n ?1 3 2 2

41. (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文) (本小题满分 14 分) 已知数列

?a n ?是公比为 d

(d ? 1) 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列.

(Ⅰ) 求 d 的值; (Ⅱ) 设数列 试比较

?bn ? 是以 2 为首项, d 为公差的等差数列,其前 n 项和为 S n ,

Sn



bn

的大小.

答案 (Ⅰ) 解:

? 2a3 ? a1 ? a 2 , ? 2a1d 2 ? a1 ? a1d , ? 2d 2 ? d ? 1 ? 0

? d ? 1, ? d ? ?

1 2

n 5 ? 1? ? bn ? 2 ? (n ? 1) ? ? ? ? ? ? ? , 2 2 ? 2? (Ⅱ) 解:

- 79 -

? Sn ?

n(b1 ? bn ) ? n 2 ? 9n ? , 2 4 ? n 2 ? 9n n 5 ? (n ? 1)( n ? 10) ? (? ? ) ? 4 2 2 4

? S n ? bn ?

? n ? 1或n ? 10时, S n ? bn ;

  2 ? n ? 9时,

S n ? bn ;
.

n ? 11时, S n ? bn

42. (重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考理) (13 分)已知数列 数列,

{an }

是公比大于 1 的等比

Sn

为数列

{an }

的前 n 项和,

S3 ? 7

,且

a1 ? 3,3a2 , a3 ? 4

成等差数列。

(1)求数列 (2)令 答案

{an }

的通项; 的前 n 项和

bn ? nan , 求数列{bn }

Tn .

43. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理) (本小题满分 12 分)

S a1 ? 1, an ? n ? 2(n ? 1), (n ? N * ). S , {a } n 设数列 n 的前 n 项和为 n
(1)求数列

{an }

的通项公式

an ;

sn s1 s2 2 ? ? ? ? n ? 1? ? 2011 .... ? n 2 (2)是否存在正整数 n 使得 1 ?若存在,求出 n 值;
若不存在,说明理由. 答案

- 80 -

44.(河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文) (本小题满分 12 分) 已知

?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. ?an ? 的通项;
,求数列

(I)求数列 (II)记

bn ? 2an ? n

?bn ? 的前 n 项和 S n

答案 解:设公差为 d ,则: 解得: d ? 1

(a1 ? 2d ) 2 ? a1 ? (a1 ? 8d )

? an ? n
bn ? 2n ? n

Sn ? 2n?1 ?

n(n ? 1) ?2 2
{a n }
满足

45. ( 贵 州 省 遵 义 四 中 2011 届 高 三 第 四 次 月 考 理 ) 12 分 ) 已 知 数 列 (

a1 ? 0且
(1)求 (2)设

S n ?1 ? 2S n ?

1 n(n ? 1), (n ? N *) 2
(4 分) ; 分) (4

a2 , a3 , 并证明 : an?1 ? 2an ? n, (n ? N *); bn ? a n ?1 ? a n (n ? N *), {an }(n ? N *)
求证:

bn?1 ? 2bn ? 1

(3)求数列

的通项公式。 分) (4

答案 (理)解答: (1)由已知 S 2 ? 2S1 ? 1 ,即 a1 ? a 2 ? 2a1 ? 1, a 2 ? 1

S 3 ? 2S 2 ? 3

,即

a1 ? a2 ? a3 ? 2(a1 ? a2 ) ? 3,



a3 ? 4

1 1 S n?1 ? 2S n ? n(n ? 1) S n ? 2S n?1 ? (n ? 1)n(n ? 2) 2 2 由 ,有 1 1 ? S n?1 ? S n ? 2( S n ? S n?1 ) ? n(n ? 1) ? n(n ? 1) 2 2 ,
- 81 -



an?1 ? 2an ? n, (n ? 2)

同时, a2 ? 2a1 ? 1 ? 1,

? an?1 ? 2an ? n, (n ? N *)
(2)由(1) :

a n ?1 ? 2a n ? n

,有

an? 2 ? 2an?1 ? n ? 1 即bn?1 ? 2bn ? 1

? a n? 2 ? an?1 ? 2(a n?1 ? an ) ? 1
(3)由(2) :

bn?1 ? 1 ? 2(bn ? 1)

而 b1 ? 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,

?{bn ? 1}

是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ,

? bn ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n


bn ? 2 n ? 1

a n ?1 ? a n ? 2 n ? 1

,而

a n ?1 ? 2a n ? n



有:

2a n ? n ? a n ? 2 n ? 1,

? a n ? 2 n ? n ? 1(n ? N *)
(文)解答: (1)

a 2 ? 2a1 ? 1 ? 1, a3 ? 2a 2 ? 2 ? 4

?a n ? 2 ? 2a n ?1 ? n ? 1 ?? a ? 2a n ? n 证明: ? n ?1

? a n? 2 ? an?1 ? 2(a n?1 ? an ) ? 1
(2)

? bn?1 ? 2bn ? 1

? bn ?1 ? 1 ? 2(bn ? 1)

而 b1 ? 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,

?{bn ? 1}

是以 2 为首项,2 为公比的等比数列;

(3)由(2)可知: 即

bn ? 1 ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n
,而



bn ? 2 n ? 1

a n ?1 ? a n ? 2 n ? 1

a n ?1 ? 2a n ? n



有:

2a n ? n ? a n ? 2 n ? 1,

? a n ? 2 n ? n ? 1(n ? N *)
46. (宁夏银川一中 2011 届高三第五次月考试题全解全析理)

- 82 -

(本小题满分 12 分)
y? x * ?a ? 3 的图像上,且 在 各 项 均 为 负 数 的 数 列 n 中 , 已 知 点 ?a n , a n?1 ?(n ? N ) 在 函 数 a2 ? a5 ? 8 27 . 2

(1)求证:数列 (2)若数列

?a n ? 是等比数列,并求出其通项;

?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且 bn ? an ? n ,求 S n .

3 【分析】 (1)把点的坐标代入直线方程,根据等比数列的定义进行证明,显然公比是 2 ,再 a2 ? a5 ? 8 ?b ? 27 求出首项即可求出这个数列的通项公式; (2)数列 n 是一个等比数列

根据条件

和一个等差数列的对应项的和组成的数列,分别求和即可。

【解析】 (1)因为点

(an , an ?1 )(n ? N )
*

y?
在函数

2 x 3 的图像上,

a n ?1 ?
所以

a 2 2 2 a n , 即 n ?1 ? , q? 3 an 3 故数列 ?a n ?是公比 3 的等比数列

因为

a 2 a5 ?

8 8 2 2 , 则a1 q ? a1q 4 ? ,即a12 ( ) 5 ? ( ) 3 , 27 27 3 3 由于数列 ?a n ? 的各项均为负数,



a1 ? ?

3 2 a n ? ?( ) n ? 2 2 所以 3 ????.6 分

2 2 an ? ?( )n ? 2 , bn ? ?( ) n ? 2 ? n 3 3 (2)由(1)知, ,
2 n2 ? n ? 9 Sn ? 3 ? ( )n?1 ? . 3 2 所以 ?12 分
【考点】数列。 【点评】本题考查等比数列的概念、通项,等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查 难度在下降,其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列,以及数列求和方 面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法,即通过列出方程或者方程组求出 等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法,一个是本题 使用的分组求和,第二个是错位相减法,第三个是裂项求和法。 47. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理) (本小题满分 13 分)在数列

{an }中, a1 ? 1, an ?1 ? 1 ?

1 2 , bn ? , 其中n ? N * 4an 2an ? 1 .
- 83 -

(1)求证:数列

{bn }

是等差数列,并求数列

{an }

的通项公式

an



(2) 设

cn ?
*

1 2 Tn ? an {c c }的前n T cm cm ?1 对 n ?1 , 数列 n n ? 2 项和为 n , 是否存在正整整 m, 使得

于 n ? N 恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,说明理由.

? bn ?1 ? bn ?
答案 解: (1)证明:

2 2an ?1 ? 1

?

2 2an ? 1

?

4an 2 2 2 ? ? ? ? 2(n ? N * ) 1 2an ? 1 2an ? 1 2an ? 1 2(1 ? ) ?1 4an
????3 分

?数列 {bn } 是等差数列
? a1 ? 1,? b1 ? 2 ?2 2a1 ? 1
? bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n

bn ?


2 2an ? 1

得, 2an ? 1 ?

2 1 ? (n ? N * ) bn n

? an ?

n ?1 2n 2 1 an ? . n ?1 n

????6

(2)

cn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2 Tn ? c1c2 ? c2 c4 ? c3c5 ? ? cn cn ? 2 cn cn ? 2 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 1 3 2 4 3 5 4 6 n n?2

?

1 1 1 1 3 (1 ? ? ? )? . 2 2 n ?1 n ? 2 4
Tn ?

??????10 分

依题意要使

1 3 对于n ? N * m(m ? 1) ? , cm cm ?1 4 恒成立,只需

3 1 m ? ? 或m ? . 2 2 所以 m 的最小值为 1 解得
? BC ? 7
???13 分

??????12 分

- 84 -

48.(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)(本题满分 14 分) 已知数列 ?

an ?

中,

a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ?

.

(1)写出 a2、a3 的值(只写结果)并求出数列 ?

an ?

的通项公式;

bn ?
(2)设

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n ,若对任意的正整数 n ,当 m? ? ?1,1? 时,不等式

t 2 ? 2mt ?

1 ? bn 6 恒成立,求实数 t 的取值范围。
a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ?
?????2 分

答案 解: (1)∵ ∴

a2 ? 6, a3 ? 12
当 n ? 2 时, ∴

an ? an?1 ? 2n, an?1 ? an? 2 ? 2 ? n ? 1? , ???, a3 ? a2 ? 2 ? 3, a2 ? a1 ? 2 ? 2




an ? a1 ? 2 ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2? ? ?



an ? 2 ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? ?
a1 ? 1? ?1 ? 1? ? 2

n ? n ? 1? 2

? n ? n ? 1?
an ?

???????5 分

当 n ? 1 时,

也满足上式, ∴数列 ?

的通项公式为

an ? n ? n ? 1?

?6 分

bn ?
(2)

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 a2 n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 2 ?? n ? 3? 2n ? 2n ? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2n ? 2n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? 3?

?

?

1 1 n 1 ? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1? 2n ? 3n ? 1 (2n ? 1 ) ? 3 n

???????8 分

令 ∴

f ? x ? ? 2x ?
f ? x?

1 1 f ?? x? ? 2 ? 2 ? x ? 1? x x , 当 x ? 1时, f ? ? x ? ? 0 恒成立 ,则
上是增函数,故当 x ? 1 时,



x ? ?1, ?? ?

f ? x ? min ? f ?1? ? 3

即当 n ? 1 时,

(bn )max ?

1 6
m? ? ?1, 1 ?

?????11 分

要使对任意的正整数 n ,当

时,不等式

t 2 ? 2 mt ?

1 ?b n 6 恒成立,则须使

- 85 -

t 2 ? 2mt ?

1 1 2 ? (bn )max ? 6 6 ,即 t ? 2mt ? 0, 对?m ? ? ?1,1? 恒成立 ,



?t 2 ? 2t ? 0 , 解得,t ? 2或t ? ?2 ? ?t2 ? 2t ? 0

∴ 实数 t 的取值范围为 ?

??, ?2 ? ? ? 2, ?? ?

?14 分

另解:

bn ?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? n ? 2 2n ? 3 n ? 1 2 n ? 1 n ? 2 2n ? 1 ? 2n ? 3 n ? 1 ?

?

3n ? 3 3n ? 4 ? 2 ?0 2n ? 5n ? 2 2n ? 5n ? 3
2



(bn )max ? b1 ? a 6 数列 ? n ? 是单调递减数列,∴

1

49. (福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理) (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? ln x ? x ? 1( x ? [1,??)) ,数列 ?a n ?满足
(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)求

a1 ? e,

a n ?1 ? e( n ? N * ) an .

?a n ?的通项公式 a n ;


f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a n )
n ( n ?1) 2

(Ⅲ)求证: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? e 答案

(n ? N * ).

- 86 -

50. (福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理) (本小题满分 13 分) 已知数列

{a n }



1 1 1 ? ??? a a2 an Vn ? 1 ,n? N * n 定义其倒均数是 。

(1)求数列{

an

}的倒均数是

Vn ?

n ?1 2 ,求数列{ a n }的通项公式 a n ; q? 1 2 ,其倒数均为 V n ,若存在正整数 k,使

(2)设等比数列

{bn }

的首项为-1,公比为

n ? k时,Vn ? ?16

恒成立,试求 k 的最小值。

1 1 1 ? ?? ? a1 a 2 an n ?1 ? n 2 答案 【解】(1)依题意, :
1 1 1 n2 ? n ? ?? ? ? a a2 an 2 ???????2 分 即 1 1 1 1 (n ? 1) 2 ? (n ? 1) n ? 2时, ? ??? ? a1 a 2 a n ?1 2 当

1 ? n.( n ? 2) a1 两式相减得,得 1 ?1 a1 当 n=1 时,



an ?

1 (n ? 2) n ????????4 分

∴ a1 =1 适合上式???????5 分



an ?

1 . n ??????????6 分
1 ? ?2 n ?1. b ∴ n ?????.. 8 分

1 bn ? ?( ) n?1 2 (2)由题意,

1 1 1 ? (2 ? 2 n ) ? ??? b b2 bn 1 ? 2n Vn ? 1 ? 1? 2 ? n n 2 ??????10 分

1 ? 2n ? ?16, 也即2 n ? 1 ? 16 n Vn ? ?16 n 不等式 恒成立,即 恒成立。????12 分
经检验: k ? 7 时均适合题意,即 K 的最小值为 7。????????13 分
- 87 -

51. ( 福 建 省 厦 门 外 国 语 学 校 2011 届 高 三 11 月 月 考 理 ) 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 ( f(x)=ln(1+x)-x. (Ⅰ)求 f(x)的最大值;

1 a ? 1 = bn, (Ⅱ)数列{an}满足:an+1= 2f ' (an) +2,且 a1=2.5, n

1 ⑴数列{ bn+ 3 }是等比数列

⑵判断{an}是否为无穷数列。

1 1 1 2 (Ⅲ)对 n∈N*,用⑴结论证明:ln(1+ n + 3n )< n ; 1 ?x 答案 【解】 :⑴x>-1, f'(x)= 1 ? x -1= 1 ? x ,
x (-1,0) 0 (0,+∞) f'(x) + 0 f(x) ↗ 极大值 ↘ ∴极大值为 f(0)=0,也是所求最大值;????????4 分

1 ? an 2 1 2 1 ? an ,∴an+1-1= 1 ? an ,∴ an ?1 ? 1 =-1- an ? 1 ,????????5 分 (Ⅱ)an+1=

1 1 1 则 bn+1=-2 bn-1, ∴bn+1+ 3 =-2(bn+ 3 ), b1+ 3 =1, 1 ∴数列{ bn+ 3 }是首项为 1,公比为-2 的等比数列,???????7 分 1 ∴bn+ 3 =(-2)n-1, ????????8 分
1

1 1 (?2) n?1 ? b 3 +1,????????9 分 ∴an= n +1=

1 明显 a1=2.5>-1,n≥2 时(-2)n-1- 3 <-2, ∴an>0>-1 恒成立,
∴数列{an}为无穷数列。????????11 分

1 1 1 2 (Ⅲ)由⑴ln(1+x) ≤x,∴ln(1+ n + 3n )< ln(1+ 3n )3????????12 分 1 1 1 =3 ln(1+ 3n )≤3× 3n = n 成立。

???14 分
- 88 -

52. (甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理) (12 分)数列{an}的前 n 项和记
n?2 为 Sn,已知 a1=1,an+1= n Sn(n=1,2,3,?).

证明:(1).数列{ (2).Sn+1=4an. 答案 . (12 分) 证明:(1).数列{ (2).Sn+1=4an.

Sn n

}是等比数列;

Sn n

}是等比数列;

(1)由

a n ?1 ?

n?2 n?2 2n ? 2 Sn S n ?1 ? S n ? Sn S n?1 ? Sn n n n 得: 即
?Sn ? ? ? n 所以数列 ? ? 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列.
S n ? n ? 2 n ?1 S n ?1 ? (n ? 1) ? 2 n

所以

S n ?1 S n ? n ?1 n

Sn ? 2 n ?1 (2)由(1)得 n

所以 所以

?1(n ? 1) ?1(n ? 1) an ? ? ?? ? (n ? 1) ? 2 n ? 2 n?2 ?S n ? S n ?1 (n ? 2) ?(n ? 1) ? 2 (n ? 2)

S n?1 ? 4an

53. (广东省华附、中山附中 2011 届高三 11 月月考理)

an ?1 ? kn ? 1, ?an ? 中, a1 ? 1, an?1an?1 ? an an?1 ? an ? n ? N ? , n ? 2 ? ,且 an (14 分)已知数列
2

(1)求证: k ? 1 ; (2)求数列

?an ? 的通项公式;
f ? x?

(3)设 答案

an x n ?1 g ( x) ? ? n ? 1?!
an ?1 ? kn ? 1 an

,

是数列

? g ? x ?? 的前 n 项和,求 f ( x) 的解析式;

?
解:

a2 ? a2 ? k ? 1 a1 故 ,.??????????????1 分

- 89 -

又因为

a1 ? 1, an ?1an ?1 ? an an ?1 ? an 2 ? n ? N ? , n ? 2 ?

a3 a ? a2 ? 1, 又 3 ? 2k ? 1,? a2 ? 2k a a ? a2 a1 ? a2 a a2 则 3 1 ,即 2 .?????????3 分
2

所以

k ? 1 ? a2 ? 2k ,? k ? 1

,

??????????????4

(2)

an ?1 ? n ? 1, an
an an ?1 a ? ?????? 2 ? a1 n ? ? n ? 1? ? ... ? 2 ?1 ? n ! an ?1 an ? 2 a1 = ?????????????8
g ? x? ? an x n ?1 ? n ? 1?! = nx n?1

an ?

因为

所以,当 x ? 1 时, 当 x ? 1 时,

f ? x ? ? f ?1? ? 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n ?

n ? n ? 1? 2
?????????9

f ? x ? ? 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ... ? nx n ?1

???.(1)

?1? ? x 得 xf ? x ? ? x ? 2 x 2 ? 3x3 ? ... ? ? n ? 1? x n?1 ? nx n ??(2)

?1? ? ? 2 ? : ?1 ? x ? f ? x ? ? 1 ? x ? x 2 ? ... ? x n?1 ? nx n
1 ? xn ? nx n = 1? x
? f ? x? ? 1 ? xn

?1 ? x ?

2

nx n ? 1? x

??????????12

综上所述:

? n( n ? 1) x ?1 ? 2 , ? f ( x) ? ? n n ? 1 ? x ? nx , x ? 1 ? (1 ? x ) 2 1 ? x ?

???????????14

f ( x) ?
54. (广东省惠州三中 2011 届高三上学期第三次考试理) 已知曲线 上 有 一 点 列

log 2 ( x ? 1) ( x ? 0) x ?1
Qn ( xn ,0)
, 且

Pn ( xn , y n )( n ? N * )
, x1 ? 1 .

, 点

Pn

在 x 轴 上 的 射 影 是

xn ? 2 xn?1 ? 1(n ? N * )
(1)求数列

{x n }

的通项公式;
- 90 -

1 1 1 ? ??? ?4 Pn Qn Qn?1 Pn?1 Sn S1 2 S 2 nSn (2)设四边形 的面积是 ,求证:
答案 解: (1) 由 故 ∴

xn ? 2 xn?1 ? 1(n ? N * )



xn ? 1 ? 2( xn?1 ? 1)

∵ x1 ? 1

,∴

xn ? 1 ? 0



{x n ? 1}

是公比为 2 的等比数列

? x n ? 1 ? ( x1 ? 1) ? 2 n ?1

xn ? 2 n ? 1(n ? N * )

.??????????????????????6 分

(2)∵

y n ? f ( xn ) ?

log 2 (2 n ? 1 ? 1) n ? n 2n ?1 ? 1 2 ,



| Qn Qn?1 |? (2 n?1 ? 1) ? (2 n ? 1) ? 2 n

, 而

| Pn Qn |?

n 2 n , ???????9 分

∴四边形

Pn Qn Qn?1 Pn?1

的面积为:

Sn ?

1 1 n ?1 n 3n ? 1 (| Pn?1Qn?1 | ? | Pn Qn |)? | Qn Qn?1 |? ( n?1 ? n ) ? 2 n ? 2 2 2 4 2

1 4 12 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 12( ? ) ? 12( ? ) ? 4( ? ) nS n(3n ? 1) 3n(3n ? 1) 3n 3n ? 1 3n 3n ? 3 n n ?1 , ∴ n
1 1 1 1 ? ?? ? ? 4(1 ? )?4 S1 2S2 nSn n ?1 故 .?????????????????14 分
55.(浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) (本小题满分 15 分) 甲、乙两容器中分别盛有浓度为 10% , 20% 的某种溶液 500ml, 同时从甲、乙两个容器中 各取出 100ml 溶液,将其倒入对方的容器搅匀,这称为一次调和. 记 经 n ? 1(n ? 2) 次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为 (I)试用

a1 ? 10%



b1 ? 20%



an



bn

an ?1



bn ?1

表示

an bn



bn



(II)求证:数列{ (III)求出数列{

an



}是等比数列,数列{ }的通项公式.

an bn
+

}是常数列;

an

}{ ,

bn

答案 (本小题满分 15 分)

(1)

an ?

400an?1 ? 100bn?1 4 1 ? an?1 ? bn ?1 500 5 5

bn ?

400bn?1 ? 100an?1 4 1 ? bn ?1 ? an ?1 500 5 5
- 91 -

(2)两式相减

3 an ? bn ? (an?1 ? bn?1 ) 5
两式相加

a1 ? b1 ? 0

所以等比

an ? bn ? an ?1 ? bn ?1

=??.=

a1 ? b1 ? 30%

所以常数列;

3 an ? bn ? ?10%( )n ?1 5 (3) 3 3 an ? ?5%( )n?1 ? 15%, bn ? 5%( )n?1 ? 15% 5 5
56. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理) (本小题满分 12 分)

已知数列

{an }

an ?1 ?
满足递推式:

2 2 ? an ? (n ? 2), a1 ? 1, a2 ? 3 an an ?1

bn ?
(1)若 (2)求证:

1 , 求数列{bn } 1 ? an 的通项公式;
| a1 ? 2 | ? | a2 ? 2 | ? ? ? | an ? 2 |? 3, (n ? N * ).

? an ?1 ?
答案 解: (1)

2 2 2 ? an ? ? ? ? a2 ? ? 3 ? 2 ? 1 an an ?1 a1
2 ?1 an 2( an ? 1) 1 )? an ? 1 an

? an ?1 ?

即an ?1 ? 1 ? 2( ?

1 1 a 1 1 ? ? n ? (? ? 1) 1 ? an ?1 2 1 ? an 2 1 ? an

1 (1 ? bn ) 2 1 1 1 ? bn ?1 ? ? ? (bn ? ) 3 2 3 1 1 n ?1 1 1 1 ? bn ? ? (? ) (b1 ? ) ? ? ( ? ) n 3 2 3 3 2 即bn ?1 ?

1 1 ? bn ? [1 ? (? )n ] 3 2

??????5 分

1 1 1 ? [1 ? (? ) n ] 1 ? an 3 2 (2)由(2)知

- 92 -

? an ? 1 ?

3 1 1 ? (? ) n 2

1 (? )n 3 2 ?| an ? 2 |? 3 | |? 1 | (?2) n ? 1 | 1 ? (? ) n 2 3 | a2 k ?1 ? 2 |? 2 k ?1 2 ?1 3 | a2 k ? 2 |? 2 k 2 ?1 1 1 ?| a2 k ?1 ? 2 | ? | a2 k ? 2 |? 3( 2 k ?1 ? 2k ) 2 ?1 2 ?1 22 k ?1 ? 22 k 22 k ?1 ? 22 k 1 1 ? 3 ? 4 k ?1 ? 3? ? 3( 2 k ?1 ? 2 k ) 2 k ?1 4 k ?1 2 ?2 ?1 2 2 2

f ( x) ?
57. (重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考理) (22 分)已知函数 的反函数为 f
?1

x (0 ? x ? 1) 1? x

( x) ,数列 {an }和{bn } 满足:

1 a1 ? , an?1 ? f ?1 (an ),函数y ? f ?1 ( x)的图象在点(n, f ?1 (n))(n ? N * ) 2 处的切线 在 y
轴上的截距为

bn . {an }
的通项公式;

(1)若数列

- 93 -

bn ? b ? ? }的项仅{ 5 ? }最小, 求? 2 2 an a a5 a5 (2)若数列 n 的取值范围; {

g ( x) ? [ f ?1 ( x) ? f ( x)] ?
(3)令函数

1 ? x2 1 (0 ? x ? 1), 数列{xn }满足 : x1 ? , 2 2 1? x

0 ? xn ? 1, 且xn?1 ? g ( xn ), 其中n ? N * .

( x ? xn ) 2 ( x2 ? x1 ) 2 ( x3 ? x2 ) 2 5 ? ? ? ? n ?1 ? . x1 x2 x2 x3 xn xn ?1 16 证明:
答案

- 94 -

58. ( 浙 江 省 嵊 州 二 中 2011 届 高 三 12 月 月 考 试 题 理 ) 本 小 题 满 分 14 分 ) 从 集 合 (

M ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9?

中,抽取三个不同元素构成子集

?a1 , a2 , a3 ? .

a ? aj ? 2 (Ⅰ)求对任意的 i ? j ,满足 i 的概率;
(Ⅱ)若

a1 , a2 , a3

成等差数列,设其公差为

? ?? ? 0 ?

,求随机变量 ? 的分布列与数学期望.

答案 (Ⅰ)基本事件数为
3 C7

C93

,满足条件

ai ? a j ? 2

,及取出的元素不相邻,则用插空法,有


- 95 -

3 C7 5 P? 3 ? C9 12 故所求事件的概率是

7分

(Ⅱ)分析三数成等差的情况:

? ? 1 的情况有 7 种,123,234,345,456,567,678,789

? ? 2 的情况有 5 种,135,246,357,468,579 ? ? 3 的情况有 3 种,147,258,369 ? ? 4 的情况有 1 种,159
分布列是

? P
E? ? 1?

1

2

3

4

7 16

5 16

3 16

1 16
14 分

7 5 3 1 15 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 16 16 16 16 8 .

2010 年联考题 题组二 一、填空题 1. (岳野两校联考)等差数列

{a n }

a 中, a1 ? 2 ,公差 d ? 0 ,且 a1 、 3 、 a11 恰好是某等比


数列的前三项,那么该等比数列的公比为(

A.2 答案 D

1 B. 2

1 C. 4

D.4

2.(三明市三校联考)在等比数列 ?an ? 中,已知 a3 a7 ? 16 ,则 a 4 a 6 的值为





A.16 B.24 C.48 D.128 答案 A 3. (昆明一中一次月考理) 已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列, a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. 则 q ? 且 A.1 或 ? 答案:A 4. (安徽六校联考)若等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? a10 ? a12 为确定的常数,则下列各式 中,也为确定的常数是( ) A. S13 B. S15 C. S17 D. S19
- 96 -

1 2

B.1

C. ?

1 2

D . ?2

答案 B 5. 昆明一中四次月考理) ( 等差数列 ? an ? 的公差为 2, a1 , a , 4a 成等比数列, a2 ? 若 则 ( 3 (A) ? 6 答案:A (B) ?8 (C)8 (D)6 )

6. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 4 ? 18 ? a5 , 则S 8 等于( ) A.18 答案 D B.36 C.54 D.72

7 . 玉 溪 一 中 期 中 理 ) 等 差 数 列 ?a n ? 中 , a 4 ? a5 ? 15 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 (

S 7 ? S 6 ? 15, 则a 2 ? (
A. ? 3 答案:C B.1

) C. 0 D. 2

8. ( 祥 云 一 中 二 次 月 考 理 ) 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若

S10 ? 2, S 30 ? 14, 则 S 40 等于(
A.16 答案:C B. 26

) C. 30 D. 80
?

9.(祥云一中二次月考理)在数列 a n 中,a1 ? 1, 当x ? N 时,a n ?1 ? a n ? n, 则a100 的值为 ( ) A. 4950 答案:B B 4951 C.5050 D. 5051

? ?

中,a1 ? 3, 且a1 , a4 , a10 成等比数列,则 a n 的通 10.(祥云一中二次月考理)在等差数列 ?a n ?
项公式为 ( ) B. a n ? n ? 2 D. a n ? n ? 2 或 a n ? 3

A. a n ? 2n ? 1 C. a n ? 2n ? 1或a n ? 3 答案:D 二、填空题

11. (安庆市四校元旦联考)对于数列{ a n },定义数列{ a n ?1 ? a n }为数列{ a n }的 “差数列”,若 a1 ? 2 ,{ a n }的“差数列”的通项 为 2 ,则数列{ a n }的前 n 项和 S n =
n

- 97 -

答案 2 n ?1 ? 2 12. (祥云一中三次月考理)已知数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 和为 S n ,则 答案:1 13. (祥云一中三次月考文) 数列 ?an ?中, a1 ? 2, an ? 1 ? 答案:2

1 ,数列 {a n } 的前 n 项 n ? (n ? 1)

lin S n =_________
n??

1 (n = 2, 3, 4,?) ,则 a4 = an ?1

三、解答题 14. (池州市七校元旦调研)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 , 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式; n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 S n 解: (I)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2
1 * ( n? N ) n ?1 2

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?

n , 2n ?1

? S n = ? (2k ?
k ?1

n

n n k k ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2 n



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ? 2
k ?1 k ?1

n

k
k ?1

是一个典型的错位相减法模型,

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? S n = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

15.(三明市三校联考) (本小题满分 13 分) 已知数列 ? a n ?的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 3a n?1 ? 2S n ? 3 ( n 为正整数) (Ⅰ)求出数列 ? a n ?的通项公式;

- 98 -

(Ⅱ)若对任意正整数 n , k ? S n 恒成立,求实数 k 的最大值. 解: (Ⅰ)? 3a n?1 ? 2S n ? 3 , ① ? 当 n ? 2 时, 3a n ? 2S n?1 ? 3 . 由 ① - ②,得 3a n ?1 ? 3a n ? 2a n ? 0 . 又 ? a1 ? 1 , 3a 2 ? 2a1 ? 3 ,解得 a 2 ? ②

?

a n ?1 1 ? an 3

( n ? 2) .

1 . 3

1 ? 数列 ? a n ?是首项为 1,公比为 q ? 的等比数列. 3 n ?1 ?1? ? a n ? a1 q n ?1 ? ? ? ( n 为正整数) ????????(7 分) ?3?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知? S n ?

3? 1 n? ?1 ? ( 3 ) ? 2? ?

由题意可知,对于任意的正整数 n ,恒有 k ?

3 ? ?1? ?1? ? ? 2 ? ? 3? ?

n

? ? ,. ? ?

n ? 2 ? ? ?1? ? ? 数列 ? 1 ? ? ? ? 单调递增, 当 n ? 1 时,数列中的最小项为 , 3? ? 3 ? ? ? ? ? 必有 k ? 1,即实数 k 的最大值为 1 ?????? (13 分)

16. (安庆市四校元旦联考) (本题满分 16 分)各项均为正数的数列 ?a n ?中, a1 ? 1, S n 是数
? 列 ?a n ?的前 n 项和,对任意 n ? N ,有 2S n ? 2 pan ? pan ? p( p ? R) ;
2

⑴求常数 p 的值; ⑶记 bn ?

⑵求数列 ?a n ?的通项公式;

4S n ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 T 。 n?3

解: (1)由 a1 ? 1 及 2 S n ? 2 pan ? pan ? p (n ? N ) ,得: 2 ? 2 p ? p ? p
2

?

? p ?1

(2)由 2S n ? 2a n ? a n ? 1
2

① ②
2

得 2 S n ?1 ? 2a n ?1 ? a n ?1 ? 1
2

由②—①,得

2a n ?1 ? 2(a n ?1 ? a n ) ? (a n ?1 ? a n )
2

即: 2(a n ?1 ? a n )( a n ?1 ? a n ) ? (a n ?1 ? a n ) ? 0

- 99 -

? (a n?1 ? a n )( 2a n?1 ? 2a n ? 1) ? 0
由于数列 ?a n ?各项均为正数,

? 2a n ?1 ? 2a n ? 1



an?1 ? a n ?

1 2

1 ?数列 ?a n ?是首项为1,公差为 的等差数列, 2 1 n ?1 ?数列 ?a n ?的通项公式是 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? 2 2
(3)由 a n ?

n ?1 n(n ? 3) ,得: S n ? 2 4

? bn ?

4S n ? 2n ? n ? 2n n?3

? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ?? ? n ? 2 n 2 ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n?1

? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ?
Tn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 1? 2

17.(祥云一中二次月考理) (本小题满分 12 分)

中,a1 ? ?3, a n ? 2an?1 ? 2 ? 3(n ? 2, 且n ? N ?). 在数列 ?a n ?
n

(1) 求a 2 , a3的值; (2)设 bn ?

an ? 3 ?b (n ? N ? ), 证明: n ?是等差数列; 2n

的前n项和S n. . (3)求数列 ?a n ?
18.解(1)? a1 ? ?3, a n ? 2a n ?1 ?2 ? 3(n ? 2, 且n ? N ?),
n

? a2 ? 2a1 ? 2 2 ? 3 ? 1
a3 ? 2a2 ? 2 3 ? 3 ? 13.
(2)证法一:对于任意 n ? N ,
?

? bn?1 ? bn ?
=

a n?1 ? 3 a n ? 3 1 ? ? n?1 ??a n?1 ? 2a n ? ? 3? n ?1 n 2 2 2

1 2
n ?1

??2

n ?1

? 3 ? 3 ? 1,

? ?

- 100 -

?数列 ?bn ? 是首项为

a1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 0 ,公差为 1 的等差数列. 2 2

证法二: (等差中项法) (3)由(2)得,

an ? 3 ? 0 ? (n ? 1) ? 1, 2n

? a n ? (n ? 1) ? 2 n ? 3(n ? N ? ). ? S n ? ?3 ? (1 ? 2 2 ? 3) ? (2 ? 2 3 ? 3) ? ? ? ?n ? 1? ? 2 n ? 3 ,
即 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2 ? 3n.
2 3 4 n

?

?

设 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2 ,
2 3 4 n

则 2Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2
3 4 5 2 3 4 n

n ?1

,
n ?1

两式相减得, ?T n? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?n ? 1? ? 2

4(1 ? 2 n ?1 ) ? ? (n ? 1) ? 2 n ?1 , 1? 2
整理得, T n? 4 ? (n ? 2) ? 2 从而 S n ? 4 ? (n ? 2) ? 2
n ?1 n ?1

,

? 3n(n ? N ? ).

题组一(1 月份更新) 一、选择题 1、 (2009 滨州一模)等差数列 ?a n ? 中, a5 ? a11 ? 30 , a4 ? 7 ,则 a12 的值为 A.15 答案 B 2、 (2009 昆明市期末)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,且 a1,a3,a4 成等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 B.23 C.25 D.37

S3 的值为 S5





A. ? 答案 D

3 5

B.

3 5

C. ?

9 10

D.

9 10

- 101 -

3、 (2009 番禺一模)已知等比数列 ?a n ?的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn ,若 T5 =1 ,则必 有( ) B. a 3 =1 C. a 4 =1 D. a 5 =1

A. a1 =1 答案 B

4、 (2009 昆明一中第三次模拟)己知等比数列 ? an ? 满足 a1 ? a2 ? 3, a2 ? a3 ? 6, 则 a7 =( A.64 答案 A 5、 (2009 茂名一模) 已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 , a2 , a ,5a 成等比数列, a2 等于 且 则 ( 4 A、-4 答案 D B、-6 C、-8 D、8 B81 C.128 D.243

)



6、 (2009 牟定一中期中)等比数列 ? an ? 中,若 a2 、 a4 是方程 2 x ? 11x ? 8 ? 0 的两根,则 a3
2

的值为( (A)2 答案 B

) (B) ?2 (C) 2 (D) ? 3

7、 (2009 上海十四校联考)无穷等比数列 1, A. 2 ? 2 答案 B B. 2 ? 2

2 1 2 , , , ?各项的和等于 2 2 4
C. 2 ? 1 D. 2 ? 1





8、 (2009 江门一模)已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? p ? 2 ? 2 ,?a n ?是等比数列的充要条件
n

是 A. p ? 1 答案 D 9、 (2009 杭州高中第六次月考) 数列{ an }满足 a n ? a n?1 ? 的前 n 项和,则 S 21 的值为 Bp?2 C. p ? ?1 D. p ? ?2

1 (n ? N ? ) ,a 2 ? 1 ,S n 是 {a n } 2
( )

- 102 -

A. 9

B. 11

C.6

D.10

2
答案 A

2

10、 (2009 聊城一模)两个正数 a、b 的等差中项是 5,等比例中项是 4,若 a>b,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 等于 a b
A.





3 2

B.

5 2

C.

17 50

D. 3

答案 B 11、 (2009 深圳一模)在等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , S n 表示数列 {an } 的前 n 项和, 则 S11 ? A. 18 答案 B B. 99 C. 198 D. 297

二、填空题
2 a n ?1 * 1、 (2009 上海十四校联考)若数列 {a n }满足 2 ? p ( p为正常数, n ? N ), 则称{a n } 为 an

“等方比数列”。则“数列 {a n } 是等方比数列”是“数列 {a n } 是等方比数列”的
n

条件

2、 (2009 上海八校联考)在数列 ?a n ?中,a1 ? 0, a2 ? 2 ,且 a n ? 2 ? a n ? 1 ? (?1) (n ? N ?) ,

S100 ? _________。
答案 2550 3、 (2009 江门一模) S n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S 2 ? 4 , 则 an ? 答案 2n ? 1 4、(2009 宁波十校联考)已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4, a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 =________ .

- 103 -

答案 100

三、解答题 1、(2009 杭州二中第六次月考)数列 {an } 中, a1 ? t , a2 ? t , 其中 t ? 0 且 t ? 1, x ? t 是
2

函数

f ( x) ? an ?1 x3 ? 3[(t ? 1)an ? an ?1 ]x ? 1(n ? 2) 的一个极值点.
(Ⅰ)证明: 数列 {an ?1 ? an } 是等比数列; (Ⅱ)求 an . (1)由题意得 f ?( t ) ? 0, 即 3an ?1t ? 3[(t ? 1)an ? an ?1 ] ? 0 ,

? an?1 ? an ? t (an ? an ?1 ), (n ? 2) ,

?当 t ? 1时,数列 {an?1 ? an } 是以 t 2 ? t 为首项, t 为公比的等比数列,
(2)? an ?1 ? an ? (t ? t )t
2 n ?1

, 即 an ?1 ? t n?1 ? an ? t n , ? an ? t n ? a1 ? t ? 0,

? an ? t n (n ? N ? ) ,此式对 t ? 1也成立.
2、 (2009 滨州一模)已知曲线 C : xy ? 1, 过 C 上一点 An ( xn , yn ) 作一斜率为 kn ? ?

1 的 xn ? 2

直线交曲线 C 于另一点 An ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) ,点列 ? An ? 的横坐标构成数列 ? xn ? ,其中 x1 ? (I)求 xn 与 xn ?1 的关系式; (II)令 bn ?

11 . 7

1 1 ? ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; xn ? 2 3
n

(III)若 cn ? 3 ? ?bn (λ 为非零整数,n∈N*) ,试确定 λ 的值,使得对任意 n∈N*,都有 cn+1>cn 成立。 (1) 解:过 An ( xn , yn ) 的直线方程为 y ? yn ? ?

1 ( x ? xn ) xn ? 2

1 ? ( x ? xn ) ? y ? yn ? ? xn ? 2 联立方程 ? 消去 y 得 ? xy ? 1 ?

- 104 -

xn 1 x 2 ? ( yn ? ) ?1 ? 0 xn ? 2 xn ? 2
∴ xn x
n ?1

? xn ? 2

即 xn ?1 ?

xn ? 2 xn

(2)

bn ?1 bn

1 1 ? xn 1 1 xn ? 2 1 3 xn ? 2 ? xn 3 ? ?2 ? x ?2 3 xn 2 ? xn 3 3(2 ? xn ) ? n ?1 ? ? ? ? ?2 1 1 1 1 1 1 3 ? xn ? 2 ? ? ? xn ? 2 3 xn ? 2 3 xn ? 2 3 3( xn ? 2)

∴ ?bn ? 是等比数列

b1 ?

1 1 ? ? ?2 x1 ? 2 3
( III )

, q ? ?2 ;

由 ( II ) 知 , bn ? (? 2 ), 要 使 cn ?1 ? cn 恒 成 立 由
n
n

cn ?1 ? cn ? ?3n ?1 ? ? (?2) n ?1 ? ? ?3n ? ? ? ( ? ? ?
即(-1) λ >-(
n

? 2 =)2 ? 3n ? 3? (?2)n >0 恒成立, ?

3 n-1 ) 恒成立. 2 3 n-1 ⅰ。当 n 为奇数时,即 λ <( ) 恒成立. 2 3 n-1 又( ) 的最小值为 1.∴λ <1. 2 3 n-1 ⅱ。当 n 为偶数时,即 λ >-( ) 恒成立, 2 3 n-1 3 3 又-( ) 的最大值为- ,∴λ >- . 2 2 2 3 即- <λ <1,又 λ ≠0,λ 为整数, 2
∴λ =-1,使得对任意 n∈N*,都有 cn ?1 ? cn . 3、(2009 台州市第一次调研)已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? (Ⅰ)求证: a n ?1 ?

10 分

11 分

12 分

1 2 ,前 n 项和 S n ? n a n . 2

n an ; n?2
?Tn

(Ⅱ)记 bn ? ln S n , Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,求 e

? n 的值.

2 解: (1)由 S n ? n a n ①,得 S n ?1 ? (n ? 1) 2 a n ?1 ②,

- 105 -

②-①得: a n ?1 ? (2)由 a n ?1 ?

n an . n?2

4分

n a n 求得 a n ? 1 . n?2 n(n ? 1)

7分

∴ S n ? n 2 an ?

n , bn ? ln S n ? ln n ? ln(n ? 1) 11 分 n ?1

Tn ? (ln1 ? ln 2) ? (ln 2 ? ln 3) ? (ln 3 ? ln 4) ? ? ? (ln n ? ln( n ? 1)) ? ? ln( n ? 1)
∴ e ?Tn ? n ? e ln(n?1) ? n ? 1 . 14 分

4、 (2009 上海青浦区)设数列 ?an ? 的前 n 和为 S n ,已知 S1 ?

64 1 13 16 , S 2 ? , S3 ? , S 4 ? , 3 3 3 3

? (n ? 1) 2 4 n ?1 ? (2 ? 1), (当n为奇数时) ? ? 12 3 一般地, S n ? ? ( n? N * ) . 2 ? n ? 4 (2 n ? 1). (当n为偶数时) ? 12 3 ?

(1)求 a 4 ; (2)求 a2n ; (3)求和: a1a2 ? a3a4 ? a5a6 ? ? ? a2n ?1a2n . (1) a 4 ? 16 ; (2)当 n ? 2k 时, k ? N * ) ( ??3 分

a 2 k ? S 2 k ? S 2 k ?1 ?
n

( 2k ) 2 4 2 k ( 2k ) 2 4 2 k ? 2 ? (2 ? 1) ? [ ? (2 ? 1)] ? 2 2 k , ??6 分 12 3 12 3
??8 分

所以, a 2 n ? 4 ( n ? N * ) . (3)与(2)同理可求得: a 2 n ?1 ?

1 (2n ? 1) , 3

??10 分

设 a1 a 2 ? a3 a 4 ? a5 a6 ? ? ? a 2 n ?1 a 2 n = Tn , 则 Tn ?

1 (用等比数列前 n 项和公式的推导方法) [4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 1) ? 4 n ] , 3 1 4Tn ? [4 2 ? 3 ? 4 3 ? 5 ? 4 4 ? ? ? (2n ? 1) ? 4 n?1 ] ,相减得 3 1 ? 3Tn ? [4 ? 2(4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ) ? (2n ? 1) ? 4 n?1 ] ,所以 3 2n ? 1 n?1 32 4 ??14 分 Tn ? ? 4 ? ? (4 n?1 ? 1) ? . 9 27 9

5、 (2009 上海八校联考)已知点列 B1 (1, y1 ), B2 (2, y2 ), ?, Bn (n, yn ), ? (n ? N *) 顺次为
- 106 -

直线 y ?

x 上的点,点列 A1 ( x1 , 0), A2 ( x2 , 0), ?, An ( xn , 0), ? (n ? N *) 顺次为 x 轴上 4

的点,其中 x1 ? a (0 ? a ? 1) ,对任意的 n ? N * ,点 An 、 B n 、 An?1 构成以 B n 为顶点的等腰 三角形。 (1)证明:数列 ?y n ?是等差数列; (2)求证:对任意的 n ? N * , x n ?2 ? x n 是常数,并求数列 ?x n ? 的通项公式; (3)对上述等腰三角形 An Bn An ?1 添加适当条件,提出一个问题,并做出解答。 (根据所提问题及解答的完整程度,分档次给分) 解: (1)依题意有 yn ?

n 1 ,于是 y n ?1 ? y n ? . 4 4
??? .4 分

所以数列 ?y n ?是等差数列.

(2)由题意得

xn ? xn?1 ? n ,即 x n ? x n ?1 ? 2n , ( n ? N ? ) 2




所以又有 x n ? 2 ? x n ?1 ? 2(n ? 1) . 由② ? ①得: xn ? 2 ? xn ? 2 , 所以 x n ? 2 ? x n 是常数. 由 x1 , x 3 , x 5 ,??;

??? 6分

x 2 , x 4 , x 6 ,?? 都是等差数列. x2 k ?1 ? x1 ? 2(k ? 1) ? 2k ? a ? 2 ,
(k ?N )
?

x1 ? a(0 ? a ? 1), x 2 ? 2 ? a ,那么得

x2 k ? x2 ? 2(k ? 1) ? 2 ? a ? 2(k ? 1) ? 2k ? a .
故 xn ? ?

??? 8分

? n ? a ? 1 (n为奇数) (n为偶数). ? n?a

??? 10分

(3) 提出问题①:若等腰三角形 An Bn An ?1 中,是否有直角三角形,若有,求出实数 a 提出问题②:若等腰三角形 An Bn An ?1 中,是否有正三角形,若有,求出实数 a 解:问题①

??? 11分

当 n 为奇数时, An (n ? a ? 1,0), An ?1 (n ? 1 ? a,0) ,所以 An An ?1 ? 2(1 ? a); 当 n 为偶数时, An (n ? a,0), An ?1 (n ? a,0), 所以 An An ?1 ? 2a; 作 Bn C n ? x 轴,垂足为 C n , 则 Bn C n ?

n ,要使等腰三角形 An Bn An ?1 为直角三角形,必须且 4
- 107 -

只须: An An ?1 ? 2 Bn C n . 当 n 为奇数时,有 2(1 ? a ) ? 2 ?

??? 13分

n n ,即 a ? 1 ? ① 4 4 3 1 ? 当n ? 1时, a ? ; 当 n ? 3时, a ? , 当 n ? 5 , a ? 0 不合题意.??? 15 分 4 4 n n 1 当 n 为偶数时,有 2a ? 2 ? , a ? ,同理可求得 当n ? 2 时 a ? 4 4 2
当 n ? 4 时, a ? 0 不合题意.

??? 17分

综 上 所 述 , 使 等 腰 三 角 形 An Bn An ?1 中 , 有 直 角 三 角 形 , a 的 值 为

3 1 1 或 或 . 4 4 2

??? 18分
解:问题②

??? 11分

当 n 为奇数时, An (n ? a ? 1,0), An ?1 (n ? 1 ? a,0) ,所以 An An ?1 ? 2(1 ? a); 当 n 为偶数时, An (n ? a,0), An ?1 (n ? a,0), 所以 An An ?1 ? 2a; 作 Bn C n ? x 轴,垂足为 C n , 则 Bn C n ? 须: An An ?1 ?

n ,要使等腰三角形 An Bn An ?1 为正三角形,必须且只 4
??? 13分

2 B nC n . 3
2
3 n n ? ,即 a ? 1 ? 12 3 4


当 n 为奇数时,有 2(1 ? a ) ?

? 当n ? 1时, a ? 1 ?

3 3 5 3 ; 当 n ? 3时, a ? 1 ? ; n ? 5时, a ? 1 ? , 当 n ? 7 时, . 12 4 12
??? 15 分

a ? 0 不合题意.
当 n 为偶数时,有 2a ?

2

3n 3 n ,a ? ,同理可求得 当n ? 2时 a ? . 12 6 3 4

?

当n ? 4时 a ?

3 3 ; 当n ? 6 时 a ? ;当 n ? 8 时, a ? 0 不合题意.??? 17分 3 2

综上所述,使等腰三角形 An Bn An ?1 中,有正三角形, a 的值为

a ? 1?

3 3 ; a ? 1? 12 4

;a ? 1?

5 3 3 3 ; a? ; a? 12 6 3

;a ?
2

3 ??? 18分 2
n *

6、 (2009 广州一模)已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 x -2 x+ bn=0 (n∈N ) 的两根,且 a1=1.
- 108 -

(1)求证:数列{ an-

1 n ×2 }是等比数列; 3
*

(2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和, 问是否存在常数 λ , 使得 bn-λ Sn>0 对任意 n∈N 都成立, 若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. (本题主要考查数列的通项公式、数列前 n 项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类 与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力) (1)证法 1:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x -2 x+ bn=0 (n∈N ) 的两根, ∴?
2 n *

?a n + a n +1 = 2 n ? b n = a n ? a n +1
由 an+an+1=2 , 得 a n + 1? ? 2
n

??2 分

1 3

n +1

1 n ? ?(a n? ? 2 ) , 故 数 列 3

1 {a n ? ? 2n } 3 2 1 是首项为 a1 ? ? ,公比为-1 的等比数列. 3 3
2 n

??4 分
*

证法 2:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x -2 x+ bn=0 (n∈N )的 两根,

?a n + a n +1 = 2 n ∴? ? b n = a n ? a n +1

??2 分

1 1 1 a n+1 ? ? 2n+1 2n ? a n ? ? 2n+1 ?(a n ? ? 2n ) 3 3 3 ∵ ? ? ? ?1 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3
, 故数列 {a n ? ? 2 } 是首项为 a1 ?
n

1 3

2 1 ? ,公比为-1 的等比 3 3

数列.

??4 分 (2) 解 : 由 (1) 得

1 1 a n ? ? 2n ? ? (?1) n 3 3

, 即

1 a n ? [2n ? (?1) n ] , 3 1 n n n+1 n+1 ∴ bn = a n ? a n+1 ? [2 ? (?1) ] ? [2 ? (?1) ] 9
- 109 -

1 ? [22n+1 ? (?2)n ? 1] 9
??6 分 ∴Sn=a1+ a2+ a3+?+ an= 1) +?+(-1) ]
2 n

1 2 3 n [(2+2 +2 +?+2 ) - [( - 1)+ ( - 3

1 (?1) n ? 1 ? [22n+1 ? 2 ? ] 3 2
??8 分 要使得 bn-λ Sn>0 对任意 n∈N 都成立, 即 [2
*



1 9

2n+1

? (?1) n ? 1 ? (?2) n ? 1] ? [22n+1 ? 2 ? ] ? 0 (*) 对任 3 2

意 n∈N*都成立. ① 当 n 为 正 奇 数 时 , 由 (*) 式 得

1 2 n + 1 ? 2 [ 2 ? ? 2 ? n1 ] ? ? [ , n + 11 ] 2 0 9 3 1 n+1 λ n+1 n 即 (2 ? 1)(2 ? 1) ? (2 ? 1) ? 0 , 9 3 1 n n+1 ∵2 -1>0,∴ λ < (2 ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 当 且 仅 当 n=1 时 , ( 2 ? 1有 最 小 值 1 , ) 3
∴λ <1. ① 当 n 为 ??10 分 正 奇 数 时 , 由 (*) 式 得

1 2 n + 1 ? 2 [ 2 ? ? 2 ? n1 ] ? ? [ , n + 11 ] 2 0 9 3 1 n+1 λ n+1 n 即 (2 ? 1)(2 ? 1) ? (2 ? 1) ? 0 , 9 3 1 n n+1 ∵2 -1>0,∴ λ < (2 ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 当 且 仅 当 n=1 时 , ( 2 ? 1有 最 小 值 1 , ) 3
∴λ <1. ② 当 n
+

??10 分 为 正 偶 数 时 ,
+


1

(*)





1 2 n [ 2 ? 9

?1 2 ?

?n 1 ]? 3

, ?[ 2 2 n

2 ]

0

- 110 -

1 n+1 2λ (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n ? 1) ? 0 , 9 3 1 n+1 n ∵2 -1>0,∴ λ < (2 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立. 6 1 n 1 当 且 仅 当 n=2 时 , ( 2 + ? 1 有 最 小 值 1.5 , ) 6
即 ∴λ <1.5. ??12 分
*

综上所述, 存在常数 λ , 使得 bn-λ Sn>0 对任意 n∈N 都成立, λ 的取值范围是(-∞,1). ? ?14 分 7、 (2009 宣威六中第一次月考)已知数列 ? an ? 满足 an ?1 ? ?an ? 2an n ? N
2

?

?

? ,且 0 ? a

1

?1

(1)用数学归纳法证明: 0 ? an ? 1 ; (2)若 bn ? lg ?1 ? an ? ,且 a1 ? 解:

?1? 9 ,求无穷数列 ? ? 所有项的和。 10 ? bn ?

- 111 -

8、 (2009 广东三校一模)a 2 , a 5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,
2

且 Tn ? 1?

1 bn ?n ? N ? ? 2

(1)求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式; (2)记 c n = a n bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 解:(1)由 a 2 ? a5 ? 12, a 2 a5 ? 27 .且 d ? 0 得 a 2 ? 3, a5 ? 9 2分

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? a n ? 2n ? 1?n ? N ? ? 3

4分

在 Tn ? 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2
b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2 ? bn ?1 3 2 2
? 2 n? N? . n 3
6分

两式相减得 bn ?

2?1? ? bn ? ? ? 3 ?3?

n ?1

?

?

8分

(2) cn ? ?2n ? 1? ?

2 4n ? 2 , ? 3n 3n

9分

5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ? 1 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , n ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?
? ? 1? 1 ? ? 1 2 ? 9 ?1 ? 3 n ?1 ? 2n ? 1? ?1 2 1 1 ? 2n ? 1 ? ? 1 ? ?? ? ? S n ? 2? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 ? =2 ? ? 1 3 3 n ?1 ? 3 3 ? 3 ?3 ?3 ? ?3 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

10 分

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4n ? 4 ? ? n ? n ?1 ? ? ? n ?1 , 3 3 ?3 3 3 ? 3

13 分

? Sn ? 2 ?

2n ? 2 3n

14 分

9、 (2009 江门一模)已知等差数列 ?a n ? 和正项等比数列 ?bn ? , a1 ? b1 ? ?1, a3 ? b3 ? 2 . ⑴求 a n 、 bn ; ⑵对 ?n ? N ,试比较 a n 、 bn 的大小; ⑶设 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,是否存在常数 p 、 c ,使 a n ? p ? log 2 ( S n ?c) 恒成立?若存
?

- 112 -

在,求 p 、 c 的值;若不存在,说明理由. 解 : ⑴ 由 a3 ? a1 ? (3 ? 1)d , 得 d ?

1 -------1 分 2

由 b3 ? b1 q

2

且 q?0 得

q ? 2 -------2 分
所以 a n ? a1 ? (n ? 1)d ?

n ?1 , bn ? b1q n?1 ? 2 2

n ?1 2

-------4 分

⑵显然 n ? 1, 3 时, a n ? bn ; n ? 2 时, a 2 ?

3 , b2 ? 2 , a 2 ? b2 -------5 分 2

n ? 3 时, 2(bn ? a n ) ? 2 n ?
2 2

(n ? 1) 2 n 2 ? 2n ? 1 ? (1 ? 1) n ? 2 2

0 1 2 3 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?

n 2 ? 2n ? 1 -------6 分 2

?

n ? 1 n(n ? 2) ?[ ? 1] ? 0 -------7 2 3

分 因为 a n 、 bn ? 0 ,所以 n ? 3 时, a n ? bn -------8 分 ⑶ Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? ( 2 ? 1)( 2 2 ? 1) -------9 分, 1? q
n

?1 ? p ? log 2 (1 ? c ) a n ? p ? log 2 ( S n ?c) 恒成立,则有 ? -------11 分,解得 ?2 ? p ? log 2 (1 ? 2 ? 2 ? c )

c ? 2 ? 1 , p ? log 2 (2 ? 2 ) -------12 分
?n ? N , p ? log 2 (S n ?c) ? log 2 (2 ? 2 ) ? log 2 [( 2 ? 1)(2 ? 1) ? ( 2 ? 1)]
? log 2 [( 2 ? 2 )( 2 ? 1) ? 2 ] ? log 2 ( 2 ? 2 ) ?
所以,当 p ? log 2 (2 ? 2 ) , c ?
n 2 n 2

?

n 2

n ?1 ? a n -------13 分 2

2 ? 1 时, a n ? p ? log 2 ( S n ?c) 恒成立-------14 分


10、 (2009 汕头一模)在等比数列{an}中,an>0 (n ? N ) ,公比 q ? (0,1),且 a1a5 + 2a3a5 +a
2 8

a =25,

a3 与 as 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn 当
2

S S1 S2 ? ? ? ? ? ? n 最大时,求 n 的值。 1 2 n
2

解: (1)因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, a3 + 2a3a5 + a5 =25
- 113 -

又 an>o,?a3+a5=5,??????????2 分 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以,a3a5=4 而 q ? (0,1) ,所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1, q ?

1 ,a1=16,所以, 2

?1? an ? 16 ? ? ? ?2?

n ?1

? 25? n ??????????6 分

(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1, 所以,{bn}是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列。。。。。9 分 。。。。

n(9 ? n) S n 9 ? n , ? 2 n 2 Sn S S 所以,当 n≤8 时, >0,当 n=9 时, n =0,n>9 时, n <0, n n n S S S 当 n=8 或 9 时, 1 ? 2 ? ? ? ? ? n 最大。 ??????????12 分 1 2 n 11、 2009 深圳一模文) ( 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , 1 ? 1 , 且对任意正整数 n ,点 ?a n ?1 , S n ? a
所以, Sn ? 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上. (Ⅰ) 求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使得数列 ?S n ? ? ? n ? 若不存在,则说明理由. (Ⅲ)求证:

? ?

? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值; 2n ?

??

1 n 2?k 1 ?? ? . 6 k ?1 (ak ? 1)( ak ?1 ? 1) 2

解:(Ⅰ)由题意可得:

2a n?1 ? S n ? 2 ? 0.

① ② ???????? 1 分

n ? 2 时, 2a n ? S n?1 ? 2 ? 0.
①─②得 2an?1 ? 2an ? an ? 0 ?

an?1 1 ? ?n ? 2?, an 2
???????? 3 分
n ?1

? a1 ? 1, 2a2 ? a1 ? 2 ? a2 ?

1 2

1 ?1? ? ?a n ?是首项为 1,公比为 的等比数列,? an ? ? ? . ?????? 4 分 2 ?2?

- 114 -

1 2n ? 2 ? 1 . (Ⅱ)解法一:? S n ? 1 2 n ?1 1? 2 1?
若 ?S n ? 则 S1 ? ? ?

?????? 5 分

? ?

? 为等差数列, 2n ?

??

?
2

, S 2 ? 2? ?

?
2
2

, S 3 ? 3? ?

?
23

成等差数列,

?????? 6 分

9? ? 3? 25? 3? 7 25? ? ? 3 9? ? ? S3 ? ? 2? ? ? ? , 2 ? S2 ? ? ? S1 ? ? ? 1? 4 ? 2 8 2 4 8 ? ?2 4 ?
得 ? ? 2. 又 ? ? 2 时, S n ? 2n ? ?????? 8 分

2 ? 2n ? 2 ,显然 ?2n ? 2?成等差数列, 2n
? ? ? 成等差数列. ?????? 9 分 2n ?

故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ?

??

1 2n ? 2 ? 1 . 解法二: ? S n ? 1 2 n ?1 1? 2 1?
? S n ? ?n ?
? ?

?????? 5 分

?
2
n

? 2?

1 2
n ?1

? ?n ?

?
2
n

? 2 ? ?n ? ?? ? 2?

1 . 2n

????? 7 分

欲使 ?S n ? ? ? n ?

? 成等差数列,只须 ? ? 2 ? 0 即 ? ? 2 便可. 2n ? ? ? ? 成等差数列. 2n ?

??

?????8 分

故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ? (Ⅲ)?

??

?????? 9 分

1 ? (a k ? 1)( a k ?1 ? 1)

1 ( 1 2 k ?1 1 ? 1)( k ? 1) 2

?

1 1 1 ( ? ) k 1 1 2 ?1 ?1 2k 2 k ?1

?? 10 分

n 1 2 ?k 1 ?? ? ?( ? ) 1 1 k ?1 ( a k ? 1)( a kt ?1 ? 1) k ?1 ?1 ?1 2k 2 k ?1 n

???? 11 分

?(

1 1 1 1 1 ? ) )? ( ? ) ?? ? ( 1 1 1 1 1 1?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 2 22 2 2t 2 k ?1

1

?

??

1 2k 1 1 ? k ? ? 1 1?1 2 ?1 2 ?1 k 2

???? 12 分

- 115 -

又函数 y ?

1 2x 在 x ? [1, ? ?) 上为增函数, ? x 1 2 ?1 ?1 2x
???? 13 分

21 2k ? 1 ? ? 1, 2 ? 1 2k ? 1

2 1 2k 1 1 1 n 2?k 1 ? . ??? 14 分 ? ? ? k ? ? 1? , ? ? 3 2 2 ?1 2 2 6 k ?1 (ak ? 1)( ak ?1 ? 1) 2

2009 年联考题 一、选择题 1.(北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)各项均不为零的等差数列 {a n } 中,若
2 an ? an ?1 ? an ?1 ? 0(n ? N? , n ? 2) ,则 S 2009 等于





A.0 答案 D

B.2

C.2009

D.4018

2. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试理) 若数列 {an } 是公比为 4 的等比数列,且

a1 = 2 ,则数列 {log 2 an } 是(
A. 公差为 2 的等差数列 C. 公比为 2 的等比数列 答案 A

) B. 公差为 lg 2 的等差数列 D. 公比为 lg 2 的等比数列

3. (2009 福州三中) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S 7 ? 14 , a3 ? a5 的值为 若 则 ( A.2 答案 B B.4 C.7 D.8



4.(2009 厦门一中文)在等差数列 ? an ? 中, a2 ? a8 ? 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 ( A.18 答案 A B 27 C 36 D 9



2 5.(2009 长沙一中期末)各项不为零的等差数列 {a n } 中, 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,则 a7 的值为 ...

( A. 0 B.4 C. 0或4 D. 2



- 116 -

答案 B 6.(2009 宜春)在等差数列 {a n } 中, a1 ? a 4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {a n } 的 前 9 项之和 S 9 等于 A.66 答案 B 7.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟)设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 B.99 C.144 D..297 ( )

S n , 若S 4 ? 8, S 8 ? 20, 则a11 ? a12 ? a13 ? a14 ?
A.18 答案:C. 二、填空题 B.17 C.16 D.15





8.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 , 且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 的值为 a 2 ? a 4 ? a10



答案

13 16
? n ? 1, n为奇数 则 a1 ? a100 ? ____ , ? n, n为偶数

9.(2009 福州八中)已知数列 an ? ?

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a99 ? a100 ? ____
答案 100. 5000; 10.(2009 宁乡一中第三次月考)11、等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? ? ? a9 ? 81 且

a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 171 ,则公差 d =
答案 10 11.(2009 南京一模)已知等比数列 ?a n ?的各项均为正数,若 a1 ? 3 ,前三项的和为 21 , 则 a 4 ? a5 ? a 6 ? 答案 168 12. 2009 上海九校联考) ( 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2 ? 1 , a8 ? 若 则
n

.

- 117 -

答案 128

三、解答题 13.(2009 龙岩一中)设正整数数列 {an } 满足: a1 ? 2, a2 ? 6 ,当 n ? 2 时,有
2 | an ? an ?1an ?1 |?

1 an ?1 . 2

(I) 求 a 3 、 a 4 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项; (Ⅲ) 记 Tn ?
* 12 22 32 n2 9 ? ? ? ? ? ,证明,对任意 n ? N , Tn ? . a1 a2 a3 an 4
2

解(Ⅰ) n ? 2 时, | a2 ? a1a3 |?

1 a1 ,由已知 a1 ? 2, a2 ? 6 ,得 | 36 ? 2a3 |? 1 , 2

因为 a3 为正整数,所以 a3 ? 18 ,同理 a 4 ? 54 ????????????2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想: an ? 2 ? 3 证明:① n ? 1, 2 时,命题成立; ②假设当 n ? k ? 1 与 n ? k 时成立,即 ak ? 2 ? 3
2
k ?1 n ?1

。????????????????3 分

, ak ?1 ? 2 ? 3

k ?2

。?????4 分

ak 2 1 1 ? ak ?1 |? ,???????????5 分 于是 | ak ? ak ?1ak ?1 |? ak ?1 ,整理得: | ak ?1 2 2
由归纳假设得: | 2 ? 3 ? ak ?1 |?
k

1 1 1 ? 2 ? 3k ? ? ak ?1 ? 2 ? 3k ? ,???????6 分 2 2 2
k

因为 ak ?1 为正整数,所以 ak ?1 ? 2 ? 3 ,即当 n ? k ? 1 时命题仍成立。
* 综上:由知①②知对于 ?n ? N ,有 an ? 2 ? 3
n ?1

成立.????????????7 分

(Ⅲ)证明:由 2Tn ? 1 ?

22 32 n2 ? 2 ? ? ? n ?1 3 3 3



2 12 22 (n ? 1) 2 n 2 ? n 得 Tn ? ? 2 ? ? ? 3 3 3 3n ?1 3
③式减④式得



4 3 5 2n ? 1 n 2 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3

⑤???????9 分

- 118 -

4 1 3 2n ? 3 2n ? 1 n 2 Tn ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ?1 9 3 3 3 3 3
⑤式减⑥式得



8 2 2 2 (n ? 1) 2 n 2 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? ? n ?1 ???????11 分 9 3 3 3 3n 3

1 1? n 1 1 1 (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2 n2 ? ?1 ? 2(1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? ? n?1 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? n?1 1 3 3 3 3n 3 3n 3 1? 3
? ?1 ? 3 ?
则 Tn ?

1 (n ? 1) 2 n 2 ? ? n ?1 3n ?1 3n 3

? 2?

2(n 2 ? 3n ? 6) ? 2 ????13 分 3n ?1

9 .????????????????????14 分 4 1 1 14. (2009 常德期末) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn , a1 ? 且 Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? , 数列 ?bn ? 4 2 119 ? 满足 b1 ? ? 且 3bn ? bn ?1 ? n (n ? 2且n ? N ) . 4
(1)求 ?a n ?的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (3)求 ?bn ? 前 n 项和的最小值. 解: (1)由 2Sn ? 2Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 得 2an ? 2an ?1 ? 1 , an ? an ?1 ? ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ?

1 ??2 分 2

1 1 ??????????????4 分 n? 2 4 1 1 (2)∵ 3bn ? bn ?1 ? n ,∴ bn ? bn ?1 ? n , 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ∴ bn ? an ? bn ?1 ? n ? n ? ? bn ?1 ? n ? ? (bn ?1 ? n ? ) ; 3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

1 1 1 3 bn?1 ? an?1 ? bn?1 ? (n ? 1) ? ? bn?1 ? n ? 2 4 2 4
∴由上面两式得

bn ? an 1 119 1 ? ,又 b1 ? a1 ? ? ? ? ?30 4 4 bn ?1 ? an ?1 3

1 为公比的等比数列.???????8 分 3 1 n ?1 1 n?1 1 1 1 n?1 (3)由(2)得 bn ? an ? ?30 ? ( ) ,∴ bn ? an ? 30 ? ( ) ? n ? ? 30 ? ( ) 3 3 2 4 3
∴数列 ?bn ? an ? 是以-30 为首项,

- 119 -

bn ? bn ?1 ?

1 1 1 1 1 1 n ? ? 30 ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ? 30 ? ( ) n ? 2 2 4 3 2 4 3

1 1 1 1 1 = ? 30 ? ( )n?2 (1 ? ) ? ? 20 ? ( ) n?2 ? 0 ,∴ ?bn ? 是递增数列 ???11 分 2 3 3 2 3
当 n=1 时, b1 ? ?

119 3 5 10 <0;当 n=2 时, b2 ? ? 10 <0;当 n=3 时, b3 ? ? <0;当 n=4 时, 4 4 4 3

b4 ?

7 10 ? >0,所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小. 4 9
1 10 1 (1 ? 3 ? 5) ? 30 ? 10 ? ? ?41 ??????????13 分 4 3 12

且 S3 ?

- 120 -


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