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2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:3.1.1 数系的扩充和复数的概念


第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念

16世纪意大利米兰学者卡当,第一 个把负数的平方根写到公式中,在 讨论是否可能把10分成两部分,使 它们的乘积等于40时,他把答案写 成了 40 ? 5 ? ?15 5 ? ?15 , 这样问题便得到了解决.
卡当

?

??

?

-15能作为 “数”吗? 它表示什么意义呢?

给出“虚数”这一名称的是
法国数学家笛卡尔(1596—

1650),他在《几何学》
(1637年发表)中使“虚的数”

与“实的数”相对应,从此,
虚数才流传开来. 笛卡尔 (R.Descartes,1596—1650)

x ? ?1, x ? ?
2

由它所创造的复变函数理论,成为解决电磁理 论,航空理论,原子能及核物理等尖端科学的数学工 具.

1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要 条件.(重点) 3.了解复数的代数表示法.(难点)

探究点1

数系的扩充

从社会生活来看为了满足生活和生产实践 的需要,数的概念在不断地发展. 从数学内部来看,数集是在按某种 “规 则”不断扩充的. 自然数是“数”出来的,其历史最早可以追溯 到五万年前.

负数是“欠”出来的. 它是由于借贷关系中量的 不同意义而产生的.我国 三国时期数学家刘徽(公 元250年前后)首先给出 了负数的定义、记法和加 减运算法则. 数集扩充到整数集
? ?正整数 ?自然数 ? 整数 ? ?零 ? ?负整数

刘徽(公元250年前后)

分数(有理数)是“分” 出来的.早在古希腊时期, 人类已经对有理数有了非 常清楚的认识,而且他们 认为有理数就是所有的数.

数集扩充到有理数集
? ? ?正整数 ? ?自然数 ? ?零 ?整数 ? 有理数 ? ? ?负整数 ? ?分数 ?小数 ? ?

边长为1的正方形的对角线长度为多少?


1

1

无理数是“推”出来 的.公元前六世纪,古希 腊毕达哥拉斯学派利用毕 达哥拉斯定理,发现了 “无理数”. “无理数” 的承认(公元前4世纪) 是数学发展史上的一个里 程碑.

毕达哥拉斯
(约公元前560——480年)

数集扩充到实数集
? ? ? ?正整数 ? ? ?自然数 ? ? ?零 ?整数 ? ?有理数 ? ? 实数 ? ?负整数 ? ? ?分数 ?小数 ? ? ? ?无理数 ?

实数集能否继

续扩充呢?
正数与负数, 有理数与无理数, 都是具有“实际意义的量”, 称之为“实数”,构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.

回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过 程 ,可以看到 ,数系的每一次扩充都与实际需 求密切相关 . 2 例如 ,为了解决 x - 2 = 0 这样的方程在有
理数集中无解 , 以及正方形对角线的度量等问 题 ,人们把有理数系扩充到了 实数系 .
数系扩充后,在实数系中规定的加法运算、 乘法运算,与原来 在 有理数系中规定的加法运 算、乘法运算协调一致 : 加法和乘法都满足交 换律和结合律,乘法对加法满足分配律.

探究点2 复数的概念

思考?

x ? ?1
2

引入一个新数:

i

满足

i ? i ? ?1

把这个新数i添加到实数集中去,得到一个 新数集,记作A,那么方程x2 +1 = 0在A中就有 解x = i了.

从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间 仍然能像实数系那样进行加法和乘法运算,并希 望加法和乘法都满足交换律、结合律, 以及乘法 对加法满足分配律.

把实数 a与新引入的数 i 相加,结果记作a +i; 把实数b与i相乘,结果记作bi; 把实数a与实数b和i 相乘的结果相加 ,结果 记作a + bi.
加法和乘法的运算律仍然成立 ,这些运算的结果 都可以写成 a + bi(a,b ∈ R)的形式 ,把这些数都添 加到数集 A 中去.

a +i可以看作是a +1i, bi可以看作是0 + bi, a可以看作是a + 0i, i可以看作是0 +1i.
这样的数都可以看作是 a + bi(a,b ∈ R) 的特殊形式,所以实数系经过扩充后 得到的新数集应该是C = ? a + bi|a,b ∈ R ? .

复数的概念

我们把集合 C = ? a + bi|a,b ∈ R ?中的数, 即形 如a + bi ? a,b ∈ R ?的数叫做复数(complex number), 其中i叫做虚数单位(imaginary unit).全体复数 所成的集合 C 叫做复数集(set of complex numbers).

虚数单位 i是瑞士数学家欧拉 ? Euler ? 最早 引用的 ,它取自 imaginary(想象的 ,假想的 )一词 的词头 .

复数通常用字母z表示,即z = a + bi ? a,b ∈ R ? , 这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a与b 分别叫做复数z的实部与虚部.

在复数集C = ?a + bi|a,b ∈ R?中任取两 个数a + bi,c + di ? a,b,c,d ∈ R ? , 我们规定 : a + bi与c + di相等的充要条件是a = c且b = d.

思考 复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系 ?

对于复数a ? bi,当且仅当b ? 0时, 它是实数;
当且仅当a ? b ? 0时, 它是实数0;
当b ? 0时,叫做虚数;

当a ? 0且b ? 0时,叫做纯虚数.

1 1 例如 ,3 + 2i, - 3i,- 3 - i,-0.2i 都是 2 2 1 它们的实部分别是 3, , ? 3 , 0, 2 1 虚部分别是 2, ? 3 , ? , ? 0.2, 2

虚数 ,

并且其中只有 - 0.2i 是 纯虚数 .

? C. 显然, 实数集R是复数集C的真子集, 即R ≠

这样,复数 z ? a ? bi 可以分类如下 :
? ?实数 ? b ? 0 ? , 复数 z ? ? ?虚数 ? b ? 0 ? ?当a ? 0时为纯虚数 ? . 复数集, 实数集, 虚数集, 纯虚数集之间的关系, 可用图 示表示.
虚数集 复数集 纯虚数集

实数集

例1 实数m取什么值时,复数z = m +1+ ? m -1? i是 (1)实数( ;2) 虚数( ;3) 纯虚数.
分析 因为 m ∈ R,所以 m + 1,m - 1 都是实数 .由复数 z = a + bi 是实数、虚数和纯 虚数的条件可以确定 m的取值 .

解 (1) 当m -1 = 0, 即m = 1 时,复数z是实数; (2)当m -1 ≠ 0, 即m ≠1 时,复数z是虚数;
(3)当m +1 = 0,且m -1 ≠ 0, 即m = -1 时,复数 z 是纯虚数 .

总结提升 最后还要指出的是 ,一般地说 ,两个复数只能说 相等或不相等,而不能比较大小.例如 1 + i与2 + 3i 不能比较大小.

例2 已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+
(3x+y)i,求实数x,y的值.

1.a=0是复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数的( A )

A.必要条件
C.充要条件

B.充分条件
D.非必要非充分条件

2.以3i-2的虚部为实部,以3i2+3i的实部为虚部
的复数是( B ) A.-2+3i C.-3+3i B.3-3i D.3+3i

3.下列n的取值中,使in =1(i是虚数单位)的
是( C )

A.n=2

B.n=3

C.n=4

D.n=5
B )

4.复数z=i+i2+i3+i4的值是(

A.-1

B.0

C.1

D.i

5.我们已知i是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一 个根,那么方程x2=-1的另一个根是________. -i -1 6.复数i2 (1+i)的实部是________.

7.已知(2 x ?1) ? i ? y ? (3 ? y)i,其中x, y ? R.求x与y.
解 根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?(3 ? y)

5 解得 x ? , y ? 4 2

1. 虚数单位i的引入,数系的扩充; 2. 复数有关概念: 复数的代数形式: 复数的实部、虚部

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)

复数的分类
复数相等

a ? bi

?a ? c ? c ? di ? ? ?b ? d

用心智的全部力量,来选择我们应遵循的 道路. ———笛卡尔


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