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函数的奇偶性课件(公开课中职班)[1]


函数的奇偶性
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复习
平面直角坐标系中的任意一点 P(a,b) 关于 X轴、 Y轴及原点对称的点的坐标各是什么? ? (1)点P( a, b)关于 x轴的对称点的坐标为P(a,-b) . 其坐标特征为:

横坐标不变,纵坐标变为相反数;

? (2)点P( a, b)关于 y轴的对称点的坐标为P( - a, b) , 其坐标特征为:纵坐标不变,横坐标变为相反数; ? (3)点P( a, b) 关于原点 对称点的坐标为P(-a,-b) , 其坐标特征为:横坐标变为相反数,纵坐标也变为相 反数.

函数的奇偶性
函数图 像关于y 轴对称

这样的函数我们称之为偶函数

函数的奇偶性
函数f(x)=x3的图像

y

函数图 像关于 原点对 称

O

x
这样的函数我们称之为奇函数

函数的奇偶性

偶函数定义:

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,

都有f(-x)=f(x)成立,则称函数f(x)为偶函数.

图象关于Y轴对称

奇函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,

都有f(-x)=-f(x)成立,则称函数f(x)为奇函数.
图象关于原点对称

函数的奇偶性
判断函数奇偶性的必要条件:定义域关于原点对称 判断函数奇偶性的方法:

(1) 求出定义域,如果定义域关于原点对称,
计算f(-x) ,然后根据定义判断函数的奇偶性. (2) 如果定义域没有关于原点对称,则函数肯定是 非奇非偶函数

例4、判断下列函数奇偶性.

( 1 )f ( x) ? x

3

解:( 1 )该函数定义域为( ? ?, ? ?) 且对于任意x ? ( ? ?, ? ?) , 都有 f (? x) ? (? x)3 ? ? x 3 ? ? f ( x)

该函数是奇函数

(2)f ( x) ? 2x ? 1
2

  (2)函数定义域为( ? ?, ? ?) 且对于任意x ? ( ? ?, ? ?) , 都有 f ( ? x ) ? 2( ? x ) 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 1 ? f ( x )

该函数是偶函数

(3)f ( x) ? x
(3)该函数定义域为 ?x | x ? 0? ,没有关于原点对称

该函数是非奇非偶函数

(4)f ( x) ? x ? 1

定义域不关于原点对称 的函数都是非奇非偶函 数

(4)该函数定义域为( ? ?, ? ?) 对于任意x ? ( ? ?, ? ?) , 取x ? 1, 则 f (? x) ? ( ? x) ? 1 ? ? x ? 1 ? f ( x) f ( ? x) ? ( ? x) ? 1 ? ?( x ? 1) ? ? f ( x )

该函数是非奇非偶函数

函数的奇偶性

练习:第52面

x 2 (3)f ( x) ? ?3 x ? 1   (4) f ( x) ? ?3 x ? 2

2.判断下列函数的奇偶性: 1 ?1? f ( x) ? x    (2)f ( x) ? 2  

解:( 1 )函数f ( x) ? x的定义域为(? ?, ? ?) 且对于任意x ? (? ?, ? ?) , 都有 f ( ? x) ? ? x ? ? x ? ? f ( x)

该函数是奇函数
1   ( 2)函数f ( x) ? 2 定义域为x ? 0, x 且对于定义域内的任意 x,都有 1 1 f (? x) ? ? ? f ( x) 2 2 ( ? x) x

该函数是偶函数

(3 )函数f ( x) ? ?3 x ? 1 的定义域为(? ?, ? ?) 对于任意x ? ( ? ?, ? ?) ,则 f (? x) ? ?( 3 ? x) ? 1 ? 3x ? 1 ? f ( x) f (? x) ? ?3(? x) ? 1 ? ?(?3 x ? 1) ? ? f ( x),

该函数是非奇非偶函数

(4)函数f ( x ) ? ?3 x 2 ? 2定义域为(? ?, ? ?) 对于任意x ? ( ? ?, ? ?) ,则
2 f ( ? x ) ? ?( 3 ? x) ? 2 ? ?3 x 2 ? 2 ? f ( x )

该函数是偶函数

课堂小结:
如果定义域关于原点对称,且对定义域内的任意一个x 偶函数

f(-x)=f(x)

图象关于y轴对称

奇函数

f(-x)=-f(x)

图象关于原点对称

函数的奇偶性

作业:第53面

A组题:1、2

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祝大家健康快乐!!


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