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2014年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)


2014 年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)



学(理科)

命题:东北育才双语学校 王海涛 沈阳市第 20 中学 李蕾蕾 沈阳市第 11 中学 孟媛媛 东北育才学校 侯雪晨 沈阳市第 120 中学 董贵臣 沈阳市第 4 中学 韩 娜 主审:沈阳市教育研究院 王孝宇 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两

部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡指定区域。 2. 第Ⅰ 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ 卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答,在本试题卷上作答无 效。 3. 考试结束后,考生将答题卡交回。

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.若复数 z ? (a ? 2a ? 3) ? (a ?1)i 为纯虚数( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为
2

A. ?3

B. ?3 或 1

C. 3 或 ?1

D.1

x 2.已知集合 A ? ?x | log2 x ? 0? , B ? x | 4 ? 2 ,则 A U B ?

?

?

1 C. (0,1) D. (0, ??) 2 3.已知实数 a ? 0 ,命题 p :函数 y ? log2 ( x2 ? a) 的定义域为 R;命题 q : x ? 0 是 x ? a ? 1 成立的必要
A. ( , ??) B. (0, ) 条件但不是充分条件,则 A. p ? q 为真命题 B. (?p) ? q 为真命题 C. p ? q 为假命题 D. p ? (?q) 为真命题

1 2

4.已知点 A(1, 4) , B(?1, 2) ,则与向量 AB 方向相反的单位向量的坐标是 A. ( , )

uuu r

1 1 2 2

B. (1,1)

C. (

2 2 , ) 2 2
频率 组距

D. ( ,

1 3 ) 2 2

5.某次数学测试中,一班全体学生的数学成绩的 频率分布直方图如图所示,则图中 x 的值为 A. 0.013 C. 0.015 B. 0.014 D. 0.016

0.030 0.020 0.018 x 0.012 0.006 70 80 90 100 110 120 130
成绩

高三数学(理科)试卷

第 1 页 (共 6 页)

6.执行右面的程序框图,若输出的结果是 60 ,则输入的 P 值是 A.

5 2

B. 1

C.

1 2

D.

1 12

开始 输入 P

7.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 a 2 b2
3 2 3 2

A , B 两点,左顶点 C 在以 AB 为直径的圆外,则离心率的范围是
A. (2, ??) B. (1, 2) C. ( , ??) D. (1, )

i ?1 P ? P?i

i ? i ?1

8.已知箱中共有 6 个球,其中红球、黄球、蓝球各 2 个,每次从 该箱中取 1 个球(每球取到的机会均等) ,取出后放回箱中,连续 取三次.设事件 A =“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不 相同” ,事件 B =“三次取到的球颜色都不相同” ,则 P(B | A) ? A.
i?5
否 输出 P 结束 是

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

2 n 9. 若对于任意 x ? R ,恒有 (1? x )n ? a0 ? a1 (x ? 2)? a 2 ( ,若 a2 ? 28 ,则直线 x ? 2) ? L ? an x ( ? 2)

x ? 0 , x ? 1 及 x 轴与曲线 y ? xn 围成的封闭图形的面积为

1 A. 7

1 B. 8

1 C. 9

y D. 1 1

10.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , | ? |?

?
2

)的部分图象如图,
O

2? 3? n? ) ? f ( ) ?L ? f ( ) ( n? N* ) 若 Sn ? f ( ) ? f ( ,则 S2014 ? 6 6 6 6
A. ?1 B. 1 C.

?

?
6

5? 12

x

-1

3 2

D. 0

11.已知 PC 为球 O 的直径, A , B 是球面上两点,且 AB ? 2 2 , ?APC ? 的体积为

?
4

, ?BPC ?

?
3

,若球 O

32? ,则棱锥 P ? ABC 的体积为 3
B.

A. 4 3

4 3 3

C.

2 2

D.

3 2 2
x 2

12.函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) , 对 ? x ? R, 都有 2 f ?( x) ? f ( x) 成立, 若 f (ln 4) ? 2 , 则不等式 f ( x) ? e 的解是 A. x ? 1 B. 0 ? x ? 1 C. x ? ln 4 D. 0 ? x ? ln 4

高三数学(理科)试卷

第 2 页 (共 6 页)

第Ⅱ卷 (共 90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上.) 13.一个几何体的三视图如图所示,其俯视图为扇形, 则该几何体的体积为 . 2

?y ? 2 ? 14.已知实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 0 ,若目标函数 ?x ? y ? m ?
z ? x ? y 的最大值为 4,则实数 m ? __________.
15.如图所示,要在山坡上 A 、 B 两点处测量与地面垂直 的塔楼 CD 的高. 如果从 A 、 B 两处测得塔顶的俯角分别 为 30 和 15 , AB 的距离是 30 米,斜坡 AD 与水平面成 A _米. 2

1
主视图

1
左视图

3

俯视图

45 角, A 、 B 、 D 三点共线,则塔楼 CD 的高度为
16.已知 a , b , c 均为正实数,且 2a ? b ? c ? 1 , 则 a ? ac ? ab ? bc 的最大值为________.
2

B

C

D

三、解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置.) 17.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 2Sn ? 3an ?1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

高三数学(理科)试卷

第 3 页 (共 6 页)

18.(本小题满分 12 分)在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, D ? 是棱 A?C ? 的中点,且 AA? ? 2 2 . (Ⅰ)试在棱 CC ? 上确定一点 M ,使 A?M ? 平面 AB ?D ? ; (Ⅱ)当点 M 在棱 CC ? 中点时,求直线 AB? 与平面 A?BM 所成角的大小.

A? D?
C?

B?

M A

B

C

19.(本小题满分 12 分)某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班 40 名 学生进行了一次幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如下(说明:图中幸福指数低于 70,说明孩子幸福 感弱;幸福指数不低于 70,说明孩子幸福感强). (Ⅰ)根据茎叶图中的数据完成 2 ? 2 列联表, 并判断能否有 95% 的把握认为孩子的幸福感强与 是否是留守儿童有关? 幸福感强 留守儿童 非留守儿童 合 计 (Ⅱ)从 15 个留守儿童中随机抽取 3 人进行家访,记 3 名学生中幸福感强的人数为 X ,写出 X 的分 布列及期望 E ( X ) . 参考公式: ? 2 ? 幸福感弱 合 计 留守儿童 非留守儿童 4 9 0 1 5 6 6 7 8 9 5 3 8 2 3 4 6 7 9 8 6 0 7 2 4 5 8 9 4 6 2 1 5 7 4 5 3 2 3 1 2 1 3 4 2 8 1 4

n(n11n22 ? n12 n21 ) 2 ; 附表: n1? n2? n?1n?2

P( ? 2 ? k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

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20.(本小题满分 12 分)已知动圆 C 过点 M (0, 3) ,且与圆 N : x2 ? ( y ? 3)2 ? 16 相内切. (Ⅰ)求圆心 C 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 A(1, 0) ,点 B 在抛物线 y ? x2 ? h ( h ? R)上,以点 B 为切点作这条抛物线的切线 l , 使直线 l 与(Ⅰ)中圆心 C 的轨迹相交于 E , F 两点. 若线段 AB 的中点与线段 EF 的中点横坐标相等, 求 h 的最小值.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

ax . x ?1

(Ⅰ)若函数 f ( x) 有极值,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 f ( x) 有两个极值点(记为 x1 和 x2 )时,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x ?1 ? [ f ( x) ? x ? 1] . x

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第 5 页 (共 6 页)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。在答题卡选答区域指定 .......... 位置答题,并用 ....... 2B . .铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号 ..................................... 一致 。 .. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

Rt?ABC 的外接圆为⊙ O , ?ABC ? 90 , AP 为⊙ O 的切线, BP 交 AC 于点 E ,交⊙ O 于点 D ,
若 BE ? DP ? 1 , DE ? 2 ,求 BC 长. A D O E B 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的圆心的 极坐标为 ( 2, C P

?
4

) ,半径 r ? 2 ,点 P 的极坐标为 (2, ? ) ,过 P 作直线 l 交圆 C 于 A , B 两点.

(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求证: | PA | ? | PB | 是定值,并求这个定值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 4 | ?t , t ?R,且关于 x 的不等式 f ( x ? 2) ? 2 的解集为 [?1,5] . (Ⅰ)求 t 值; (Ⅱ) a , b , c 均为正实数,且 a ? b ? c ? t ,求证:

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

高三数学(理科)试卷

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2014 年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)

数学(理科)参考答案与评分参考
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题 号 参考答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 C 7 B 8 B 9 C 10 D 11 B 12 C

1.由复数的定义可知 ?

? a ?1 ? 0 ,解得 a ? ?3 . 故选 A 2 ? a ? 2a ? 3 ? 0
1 . 于是 AU B ? ? 0, ??? . 故选 D 2

x 2.由 log2 ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ;由 4 x ? 2 ,得 x ?

3.p 假,q 真. 选 B 4.由 AB ? (?2, ?2) ,故选 C 5.由概率和等于 1,可得 x ? 0.014 . 故选 B 6.由程序框图可知 p ? p0 ?1? 2 ? 3? 4 ? 5 ? 60 . 故选 C 7. 由 已 知 得 | AB |?

2b2 b2 r ? | AF | ? ,于是半径 . 因 为 左 顶 点 C 在 以 AB 为 直 径 的 圆 外 , 所 以 a a
b2 ,解得 1 ? e ? 2 . 故选 B a

a?c ? | C F |? | AF ,即 |

2 3 8.由题意可知,事件 A 包含的基本事件数为 A3 ? 2 ? 2 ? 6 ? 144 ;事件 B 包含的基本事件数是 A3 ? 23 ? 48 .

故选 B 9.原等式可化为 [( x ? 2) ?1]n ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ?L ? an ( x ? 2)n
n?2 于是 a2 ? Cn ? (?1)n?2 ? 28 ,所以 n ? 8 ,于是 S ?

?

1

0

x8dx . 故选 C
6? ? f ( ) ? 0,且 T ? ? ,所以 6

10. 由图象可知 f ( x) ? sin(2x ?

?

? 2? 3? ),所以 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 6 6 6 6

? 2? 3? f ( ) ? f ( ) ? f ( )? 6 6 6

2014? ?f( )? 0 . 故选 D 6
高三数学(理科)试卷 第 7 页 (共 6 页)

11.取 PC 中点 O ,连接 AO,BO,由球的体积可知球半径为 2,于是 AP ? AB ? AC ? 2 2 , PC ? 4 ,

BC ? 2 ,PB ? 2 3 , 故有 AO ? PC ,AO ? OB , 所以 AO ? 平面PBC , 所以 VP ? ABC ? VA? PBC ?
故选 B 12. 2 f ?( x) ? f ( x) 可化为 f ?( x) ?
x 2

4 3 . 3

1 f ( x) f ( x) f ( x) ? 0 , 于是有 ( x )? ? 0 .令 g ( x ) ? , 则有 g ( x) 在 R 上单 x 2 2 2 e e

调递增. f ( x) ? e 可化为 g ( x) ? 1 ,注意到 f (ln 4) ? 2 ,所以 g (ln 4) ? 1 ,故 x ? ln 4 . 选 C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

4? 9

14. 0

15. 15 2

16.

1 4
1 部分,其中圆锥的高为 2,底面半径为 2,由圆锥体积公式可 6

13.由三视图可知,该几何体为一个圆锥的 知该几何体体积为

4? . 9

14.由题意可知最优解为 ?

?x ? 2 ,于是 m ? 0 . ?y ? 2

15.因为 ?A ? ?ACB ? 15 ,所以 AB ? BC ? 15 米,在 ?BCD 中,利用正弦定理易得, CD ? 15 2 米. 16. a2 ? ac ? ab ? bc ? (a ? b)(a ? c) ? ( 三、解答题:本大题共 70 分. 17.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, 2S1 ? 3a1 ?1,又 S1 ? a1 ∴ 2a1 ? 3a1 ? 1 ,即 a1 ? 1 由 2S n ? 3a n ? 1 ① 得 2Sn?1 ? 3an?1 ?1 ② ????????2 分

a?b?a?c 2 1 ) ? . 2 4

② - ① 得, 2(Sn?1 ? Sn ) ? 3an?1 ? 3an ,即 2an?1 ? 3an?1 ? 3an ∴ an?1 ? 3an 故 {an } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列 ∴ an ? 3n?1 (Ⅱ)∵ bn ? n ? 3n?1 ∴ Tn ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? 又 3Tn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ????????6 分 ????????4 分

? (n ?1) ? 3n?2 ? n ? 3n?1 ? (n ?1) ? 3n?1 ? n ? 3n

????????7 分

上述两式相减,得 ?2Tn ? 1 ? 31 ? 32 ?

? 3n?1 ? n ? 3

n

????????10 分

高三数学(理科)试卷

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?
?

n 1 ? 3n ? n ?3 1? 3

????????11 分

1 ? 2n n 1 ?3 ? 2 2 2n ? 1 n 1 ?3 ? 4 4
????????12 分

∴ Tn ?

18.解: (Ⅰ)取 AC 边中点为 O ∵底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,∴ OB ? AC 连接 OD ? ,∵ D? 是边 A ?C ? 的中点 ∴ OD ? ? AC , OD ? ? OB 所以可以建立以 O 为坐标原点, OB 为 x 轴, OC 为 y 轴,
OD ? 为 z 轴如图所示的坐标系

A?

z

D?
C?

B?

M A O

????????2 分 B x

则有 O(0,0,0) , A(0,?1,0) , B( 3 ,0,0) , C (0,1,0) ,

B ?( 3,0,2 2 ) , A?(0,?1,2 2 ) , D?(0,0,2 2 ) , C ?(0,1,2 2 )

C y

设 M (0,1, t ) ,则 A?M ? (0, 2, t ? 2 2) , AD? ? (0,1, 2 2) , AB? ? ( 3,1, 2 2) 若 A?M ? 平面AB ?D ? ,则有 A?M ? AD? , A?M ? AB? ∴?

????4 分

? ? A?M ? AD? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0 ? ? A?M ? AB? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0
3 2 时,A?M ? 平面AB ?D ? . 2

可得 t ?

3 2 2

即当 CM ?

????????6 分

(Ⅱ) 当点 M 在棱 CC ? 中点时: M (0,1, 2 )
? ∴ BM ? (? 3,1, 2 ) , A?M ? (0,2,? 2 ) ,设平面 A?BM 的一个法向量 n ? ( x, y, z )

∴?

? ? BM ? n ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0 ? ? A?M ? n ? 0 ? 2 y ? 2 z ? 0

令 z ? 2 ,得 y ? 1 , x ? 3

? ∴ n ? ( 3,1, 2 )
设直线 AB? 与平面 A?BM 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? n, AB? ?| ? 所以直线 AB? 与平面 A?BM 所成角 ? ? arcsin
2 2 3 2 2 3

????????9 分

????????12 分

高三数学(理科)试卷

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19.解: (Ⅰ) 幸福感强 留守儿童 非留守儿童 合计 6 18 24 幸福感弱 9 7 16 合计 15 25 40 ???????3 分

?K2 ?

40 ? (6 ? 7 ? 9 ?18) 2 ? 4 ? 3.841 15 ? 25 ? 24 ?16

???????5 分 ???????6 分 ???????7 分

? 有 95% 的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关.
(Ⅱ) X 可能取值为: 0 ,1 , 2 , 3
3 1 C9 C92 ? C6 84 12 216 ; P( X ? 1) ? ; ? P( X ? 0) ? 3 ? ? ? 3 455 C15 455 65 C15 1 2 3 C9 ? C6 C6 135 27 20 4 ; ? ? P ( X ? 3 ) ? ? ? . 3 3 455 91 C15 C15 455 91

P( X ? 2) ?

???????9 分

? X 的分布列为:

X
P

0 12 65

1 216 455

2 27 91

3 4 91
???????10 分

? E( X ) ? 0 ?

12 216 27 4 546 6 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? ? 65 455 91 91 455 5

???????12 分

20.解: (Ⅰ)依题意,圆 C 半径可表示为 | CM | ,圆 C 半径还可表示为 4? | CN | ∴ | CM |? 4? | CN | ,即 | CM | ?| CN | ?4 又∵ | MN |? 2 3 ? 4 ∴圆心 C 的轨迹是以 (0, ? 3) 为焦点的椭圆,其中 2a ? 4 ,c ? 3 ∴b ?1 ∴圆心 C 的轨迹方程为 ???????4 分 ???????2 分

y2 ? x2 ? 1 4
2

???????5 分

(Ⅱ)设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , B(t , t ? h) 由题意知

x1 ? x2 1 ? t ? 2 2
2

????①

???????6 分 ???????7 分

又∵直线 l 的斜率为 2t ∴直线 l : y ? 2tx ? t ? h
高三数学(理科)试卷 第 10 页 (共 6 页)

代入椭圆方程得: 4 x 2 ? (2tx ? t 2 ? h) 2 ? 4 ? 0 整理得 4(1 ? t 2 ) x 2 ? 4t (t 2 ? h) x ? (t 2 ? h) 2 ? 4 ? 0
4 2 2 由题意知 ?1 ? 16 ? ? ?t ? 2 ? h ? 2 ? t ? h ? 4 ? ??0

???????8 分

x1 ? x2 t (t 2 ? h) ? 2 2(1 ? t 2 )
代入①中,得 t 2 ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 ????②

???????9 分

? ? 2 ? (1 ? h) 2 ? 4 ? 0 ? h ? 1 或 h ? ?3
2 当 h ? ?3 时,有 h ? 2 ? 0 , 4 ? h ? 0 ,故不等式 ?1 ? 0 不成立

???????10 分

当 h ? 1 时,其中当 h ? 1 时,代入方程②,得 t ? ?1 将 h ? 1 , t ? ?1 代入不等式 ?1 ? 0 成立, 所以, h 的最小值为 1 . 21. 解: (Ⅰ)由已知得 x ? 0 ,且有 f ?( x) ? ???????12 分

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
2

???????2 分

2 在方程 x ? (2 ? a) x ? 1 ? 0 中, ? ? a ? 4a

①当 ? ? 0 ,即 0 ? a ? 4 时, f ?( x) ? 0 恒成立 此时 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,∴函数 f ( x) 无极值;
2 ②当 ? ? 0 ,即 a ? 4 时,方程 x ? (2 ? a) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根:

???????4 分

x1 ?

(a ? 2) ? a 2 ? 4a (a ? 2) ? a 2 ? 4a , x2 ? 2 2
2

且∵ (a ? 2)2 ? a ? 4a ,∴ 0 ? x1 ? x2 ∵当 x ? (0, x1 ) 或 x ? ( x2 , ??) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0 ∴函数 f ( x ) 在 (

(a ? 2) ? a 2 ? 4a (a ? 2) ? a 2 ? 4a , ) 上单调递减 2 2

在 (0,

(a ? 2) ? a 2 ? 4a (a ? 2) ? a 2 ? 4a )和( , ??) 上单调递增. ∴函数 f ( x) 存在极值 2 2
???????6 分

综上得:当函数 f ( x) 存在极值时,实数 a 的取值范围是 a ? 4 (Ⅱ)∵ x1 , x2 是 f ( x) 的两个极值点,故满足方程 f ?( x) ? 0 即 x1 , x2 是 x ? (2 ? a) x ? 1 ? 0 的两个解,∴ x1 x2 ? 1
2

???????7 分

高三数学(理科)试卷

第 11 页 (共 6 页)

∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln x1 ?

ax1 ax2 ? ln x2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 a(2 x1 x2 ? x1 ? x2 ) ? ?a x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1
???????8 分

? ln( x1 x2 ) ?
而在 f ( x) ? ln x ?

ax x ?1 中,?a ? ? [ f ( x) ? ln x] x ?1 x x ?1 x ?1 ? [ f ( x) ? ln x] ? ? [ f ( x) ? x ? 1] x x

欲证原不等式成立,只需证明

∵ x ? 0 ,只需证明 f ( x) ? ln x ? f ( x) ? x ? 1 成立 即证 ln x ? x ? 1 ? 0 成立 令 g ( x) ? ln x ? x ? 1, 则 g ?( x) ? ???????9 分

1 1? x ?1 ? x x

???????10 分

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 因此 g ( x)max ? g (1) ? 0 ,故 g ( x) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 成立 故原不等式得证. 22.解:由 PA2 ? PD ? PB ? 4 ∴ PA ? 2 ∴ AE ? 5 ???3 分 A D
5 3

???????12 分

在 Rt?APE 中, AP ? 2 , PE ? 3 ∴ cos ?AEP ?
AE 5 ? EP 3

P

∴ cos ?BEC ? cos ?AEP ? 又由 AE ? EC ? BE ? ED

O ???5 分 E

∴ EC ?

2 5

???7 分

B

C

在 ?BCE 中, BC 2 ? BE 2 ? EC 2 ? 2BE ? EC ? cos ?BEC ?

7 15
???????10 分

∴ BC ?

105 15

23.解: (Ⅰ)在直角坐标平面中,圆 C 的圆心直角坐标为 ( 2 cos
2 2 2 2

?

, 2 sin ) ,即 (1,1) 4 4

?

???3 分 ?????4 分

圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 , 即 x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 . (Ⅱ)在直角坐标平面中,点 P 的直角坐标为 (?2, 0) 直线 l 的参数方程为 ?

???????5 分 ???????6 分

? x ? ?2 ? t cos ? ( t 为参数) ? y ? t sin ?
高三数学(理科)试卷 第 12 页 (共 6 页)

将其代入圆 C 的直角坐标方程 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 中 得 t 2 ? (6cos? ? 2sin ? )t ? 8 ? 0(*) ∵直线 l 交圆 C 于 A, B 两点 ∴关于 t 的方程(*)有两个互异的根 t1 , t 2 ∴ | PA | ? | PB |?| t1 ? t2 |? 8 为定值. 24.解: (Ⅰ)由 f ( x ? 2) ? 2 ,得 | x ? 2 | ?t ? 2 ∴当 t ? 2 ? 0 时,得 ?t ? x ? t ? 4 又∵ f ( x ? 2) ? 2 的解集为 [?1,5] ∴ ?t ? ?1 且 t ? 4 ? 5 ∴t ?1 (Ⅱ)∵ a , b , c 均为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ???????5 分 ???????3 分 ???????8 分 ???????10 分 ???????7 分

a 2 b2 c 2 a2 b2 c2 ? ? ? (a ? b ? c) ? ( ? b) ? ( ? c) ? ( ? a) ∴ b c a b c a

???????7 分

?2

a2 b2 c2 ?b ? 2 ?c ? 2 ?a b c a

???????9 分

? 2a ? 2b ? 2c


a 2 b2 c2 ? ? ?1 b c a

???????10 分

高三数学(理科)试卷

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