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牛顿第二定律的应1


牛顿第二定律的应用 陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室 邢彦君 牛顿第二定律反映了物体的加速度与所受合力间的关系, 运用牛顿第二定律分析求解物 理问题的方法,是物理学的重要方法。

1.定性分析问题

问题多属物体在变力作用下的运动问题, 分析求解的关键是确定物体所受诸外力中各力 的变化情况, 然后分析确定质点所受诸外力的合力的变化情况, 在运

用牛顿第二定律分析确 定质点加速度的变化情况, 最后依据加速度方向与速度方向的关系确定质点的速度或与速度 关联的物理量如何变化。

例 1.如图 1(甲)所示,质量不计的弹簧竖直固定在水平面上,t=0 时刻,将一金属 小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放, 小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点, 然后又被弹 起离开弹簧,上升到一定高度后再下落,如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器,测 出这一过程弹簧弹力 F 随时间 t 变化的图象如图(乙)所示,则

A.t1 时刻小球速率最大

B.t2 时刻小球速率最大

C.t2-t3 这段时间内,小球的速率先增加后减小

D.t2-t3 这段时间内,小球的速率一直增大

解析:由图象可知,t1 时刻,小球刚接触弹簧,此后,至小球经过平衡位置,弹簧对小 球向上的弹力小于向下的重力,这两个力的合力向下,小球继续加速下降,速率继续增加。 小球过了平衡位置后,向上的弹力大于向下的重力,两者合力向上,小球减速下降,因此, 小球过平衡位置时速率最大。图象中的 t2 时刻,弹力最大,弹簧被压至最短,小球恰好落 至最低点,速率为零。A、B 错;t2-t3 这段时间内,小球由最低点向上运动到弹簧恢复原长, 过平衡位置前是向上的弹力大于向下的重力,两者的合力向上,小球加速上升,过平衡位置 后,向上的弹力小于向下的重力,两者合力向下,小球减速上升。因此,速率先增加后减小。 C 对 D 错。本题选 C。

点评:对于物体落在竖直弹簧上的运动,平衡位置是物体速率增加与减小的临界位置。

例 2.如图 2 所示,一足够长的木板静止在光滑水平面上,一物块静止在木板上,木板 和物块间有摩擦。 现用水平力向右拉木板, 当物块相对木板滑动了一段距离但仍有相对运动 时,撤掉拉力,此后木板和物块相对于水平面的运动情况为

A.物块先向左运动,再向右运动

B.物块向右运动,速度逐渐增大,直到做匀速运动

C.木板向右运动,速度逐渐变小,直到做匀速运动

D.木板和物块的速度都逐渐变小,直到为 零

解析:依题意可知,撤去水平拉力前,物块相对木板向后运动,受木板向前的滑动摩擦 力作用相对地面向前匀加速运动, 木板在拉力与滑动摩擦力的共同作用下加速前进。 撤去木 板上的水平拉力时, 两物体仍有相对运动且相对运动方向未变, 因此它们之间的滑动摩擦力 大小及方向未变,这个摩擦力将使物块继续加速,木板开始减速,直到两者速度相等,此后 摩擦力消失,两物体以同一速度匀速直线运动。本题选 BC。

点评:滑动摩擦力的方向总与受力者相对于施力者运动方向相反。

2.正交分解问题

若物体所受外力在两个相互垂直的方向, 可运用平行四边形定则将加速度向这两个方向 分解,然后在这两个方向分别对物体运用牛顿第二定律分析求解。

例 3.电梯与水平方向的夹角为θ ,质量为 m 的木箱放在以加速度 a 向上运行的电梯的 水平平台上,如图 3 所示。求平台对木箱的支持力及摩擦力。

解析:木箱所受的外力有重 力与支持力在竖直方向,静摩擦 分解为水平方向与竖直方向的两 箱分别运用牛顿第二定律有: 支持力大小为 ,方向水平向右。 ,

力、支持力、静摩擦力,其中重 力在水平方向。将木箱的加速度 个分加速度,在这两个方向对木 。解得,平台对木箱的

,方向竖直向上;平台对木箱的静摩擦力大小为

点评:接触面上的弹力总是垂直于接触面,而摩擦力总是沿接触面。

3.瞬时问题

物体的加速度是由它所受的合力与它的质量共同决定的, 物体的质量一般是不变的, 因 此,当物体所受外力变化(大小、方向之一变化,或两者同时变化。)时,加速度将随之变 化。

例 4.如图 4 所示,质量为 m 的小球用水平轻弹簧系住,并用倾角为 30 的光滑木板 AB 托住,小球恰好处于静止状态。当木板 AB 被突然向下撤离的瞬间,小球的加速度为

o

A.0

B.大小为 g,方向竖直向下

C.大小为

,方向垂直木板向下

D.大小为

,方向水平向右

解析:木板未撤时,小球受力如图 5 所示。小球处于静止状态,对小球运用共点力平衡 条件有: , 。解得,弹簧对小球的水平拉力为:

。撤去木板瞬间,木板对小球的支持力 N 消失,重力仍然存在,由于弹簧的形 变量不可能在该时刻就改变,所以弹簧的弹力仍然存在,且大小及方向未发生变化。所以,

小球此刻所受外力的合力大小为:

,方向与木板未撤时 N 的

方向相反,即垂直木板向下。由牛顿第二定律可知,此刻小球的加速度大小为:

,方向垂直木板向下。本题选 C。

点评:物体间的摩擦力可随物体间的动摩擦因数、压力、相对运动与静止情况的变化 而突变,弹簧的弹力却不能突变。

4.整体与隔离问题

对于连接体、叠加体等组合体运动问题,若运动中各物体的加速度始终相同,可将组合 体视为整体运动牛顿第二定律分析求解, 若问题涉及各物体间的作用力, 可隔离出与该力有 关的某个物体运用牛顿第二定律分析求解。

例 5.如图 6 所示,质量均为 m 的物体 A、B 叠放在倾角为θ 的斜面上,它们一起沿斜 面加速下滑,下滑中 A、B 两物体始终相对静止。已知物体 A 与斜面的动摩擦因数为μ ,求 物体 A 对物体 B 的摩擦力。

解析:由于下滑中,A、B 两物体总是相对静止的,因此,它们具有相同的加速度。以 A、 B 整体为研究对象,由于在垂直斜面方向的加速度等于零,在垂直斜面方向,由共点力平衡 条件有: 滑动摩擦定律有: ;在斜面方向由牛顿第二定律有: 。解得: 。 ,由

以物体 B 为研究对象,在斜面方向运用牛顿第二定律有: 解得: 。

,代入

点评:静摩擦力的大小的计算,一般是依据物体所处运动状态,选取相应力学规律分 析求解。

5.临界与最值问题

两相对静止的叠加体中两物体沿接触面开始离开 (相对滑动) 的条件是它们间的静摩擦 力达到最大静摩擦力; 沿垂直接触面方向开始离开的条件是他们之间压力为零。 这两种情况 下,物体的加速度或某些力的取值,将是物体保持相对静止的最大值。

例 6. 如图 7 所示, 物体 A 和 B 叠放在光滑的水平面上, A、 B 的质量分别为 mA=2kg、 mB=6kg, 为了保持 A 与 B 相对静止在水平面上做加速运动,作用在 B 上的水平拉力 F 不能超过 4N。 如果将此水平拉力作用在物体 A 上,则

A.A、B 仍相对静止一起加速运动;

B.A、B 将发生相对运动;

C.A 做匀速运动,B 做加速运动;

D.A、B 一起做匀速运动。

解析:在 A、B 相对静止的情况下,作用在 B 上的水平拉力越大,A、B 的加速度越大。 使 A 产生加速度的合力是它两之间的静摩擦力, 这个力随它们运动加速度的不同而不同, 但 有一个最大值。依题意,当 F=4N 时,A、B 间的静摩擦力达到最大值,设 A 和 B 之间最大静 摩擦力为 f,当水平拉力 F 作用在 B 上时,对 A、B 整体及 A 分别运用牛顿第二定律有: , 。代入已知数据解得:f=1N。

当水平拉力作用在 A 上时,设 A、B 不发生相对运动,一起运动的最大加速度和拉力的 最大值分别为 am 和 Fm,此时 A、B 间的静摩擦力达到最大值,由于 A、B 间的接触面粗糙状 况及压力未变化,所以,它们间的最大静摩擦力仍为 f=1N。对 A、B 整体及 B 分别运用牛顿

第二定律有:



。代入已知数据解得:

。由于作

用于 A 的水平拉力 4N 大于 A、B 一起匀加速运动的最大拉力

,所以,A、B 不能保持相

对静止, 此时它们间的摩擦力变为滑动摩擦力, A、 B 以不同的加速度匀加速运动。 本题选 B。

点评:叠加体中两物体沿切向离开的临界条件是两者间的静摩擦力达到最大值。

例 7.将质量为 m 的小球 A(可视为质点)用轻绳拴在质量为 M 倾角为θ 的楔形木块上, 如图 8 所示。已知 B 的倾斜面是光滑的,底面与水平面之间的动摩擦因数为μ 。

(1)若对 B 施加向右的水平拉力,使 B 向右运动,而 A 不离开 B 的斜面,这个拉力不 得超过过少?

(2)若对 B 施以向左的水平推力,使 B 向左运动,而 A 不致在 B 上移动,这个推力不 得超过多少?

解析:(1)若施加的向右水平拉力逐渐增大,A、B 的加速度也逐渐增大,当增大到使 与斜面平行的轻绳与 A 的重力的弹力不足以对 A 产生与此加速度对应的合力时, A 将离开斜 面,使轻绳弹力的方向更接近水平,从而使它与 A 的重力的合力增大。当小球 A 开始离开斜 面时 A、B 间的弹力为零,此时 A 的受力情况如图 7-a 所示。对 A 运用牛顿第二定律有: , ;对 A、B 整体运用牛顿第二定律有: ,解式得: 得超过: ,所以,水平拉力不

(2)当向左的水平推力太大时,B 的加速度太大,A 将沿斜面上移,上移的临界条件是 绳子的弹力为零,此时 A 的受力情况如图 7-b 所示。对 A 运用牛顿第二定律有: , 。对 A、B 整体运用牛顿第二定律有: ,解得: 过: 。 ,故水平推力不得超

点评:叠加体运动中,两物体沿法向离开的条件是这件的弹力为零。

6.图象问题

涉及牛顿第二定律的图象类问题,一种是运用图象表示力、速度、加速度随时间的变化 情况,这类问题的分析求解,关键在于正确解读图象,从图象获取有用信息。另一种是用图 象表示问题的结果, 这类问题的分析求解, 关键是建立纵轴物理量与横轴物理量的函数关系 式。

例 8. 质量为 2kg 的物体静止在足够大的水平地面上, 物体与地面间的动摩擦因数为 0.2, 最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。从 t=0 时刻开始,物体受到方向不变、大小呈周 期性变化的水平拉力 F 的作用, F 随时间 t 的变化规律如图 9 所示。 重力加速度 g 取 10m/s?, 则物体在 t=0 至 t=12s 这段时间的位移大小为

A.18m

B.54m

C.72m

D.198m

解析:由题意可知,水平地面对物体的最大静摩擦力、滑动摩擦力为:

N。

由 F-t 图象可知 0-3s,物体处于静止状态,对应位移 s1=0;3-6s,物体由静止开始运动,

则: 动有:





。代入数据解得:s2=9m;同理,对 6-9s 的运 。代入数据解得:s3=18m;同理,对 9-12s

,解得:a3=0,则

的运动有:





。代入数据解得:s4=27m。

则物体在 t=0 至 t=12s 这段时间的位移大小为:s=s1+s2+s3+s4=54m。本题选 B。

点评:注意运动过程的正确划分。

例 9.如图 10 所示,在光滑水平面上有一质量为 m1 的足够长的木板,其上叠放一质量 为 m2 的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随 时间 t 增大的水平力 F=kt(k 是常数),木板和木块加速度的大小分别为 a1 和 a2,下列反 映 a1 和 a2 变化的图线中正确的是

解析: 由于 F 由零开始随时间正比增大, 当它还未增大到木块与木板间的最大静摩擦力

之前,两者一起运动,加速度相同,为:

,两物体的 a-t 图象重合,为过原

点的直线。当 F 增大到超过最大静摩擦力之后,两物体开始相对运动,加速度不等,设滑动

摩擦力为 f,则 m2 的加速度为:

,a-t 图象的斜率变大,与 a 轴

的负半轴有交点;m1 的加速度为:

,a-t 图象是与 t 轴平行的直线。本题选 A。

点评:注意两物体相对运动的条件。

7.超重或失重问题

当物体具有向上的加速度时, 对它的悬挂者的拉力或支持者的压力将大于它的重力, 这 叫超重; 当物体具有向下的加速度时, 对它的悬挂者的拉力或支持者的压力将小于它的重力, 这叫失重; 如果物体具有的向下加速度等于重力加速度, 对它的悬挂者的拉力或支持者的压 力将等于零,这叫完全失重。

失重或超重只是一种等效的说法,并不表示物体的重力变大或变小。

例 10.某人在地面上用弹簧秤称得其体重为 490N,他将弹簧秤移至电梯内称其体重, to 至 t3 时间段内弹簧秤的示数如图 11 所示,电梯运行的 v-t 图可能是(取电梯向上运动的 方向为正)

解析:在电梯运行中,人和电梯相对静止,人的运动情况与电梯相同,人运动的 v-t 图象就是电梯运动的 v-t 图象。以人为研究对象,由图 11 可知,在 t0-t1 过程中秤的示数小 于人的实际体重,人“失重”,人随电梯向上减速或向下加速运动;在 t2-t3 过程中秤的示 数大于人的体重,人“超重”,人随电梯向上加速或向下减速运动。所以 BC 错误。本题选 AD。

点评:超重、失重取决于加速度是否等于零及加速度是否在竖直方向,不取决于速度 的大小及方向。


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