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2014高考数学必考点解题方法秘籍 导数求根 理


2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:导数求根
用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数 曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关,解题时,还需要用图象帮 助思考,而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.

【例 1】已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若函数

f ? x? ?

/>1 4 1 3 x ? ax ? a 2 x 2 ? a 4 ? a ? 0 ? 4 3

y ? f ? x? y ? f ? x?

的单调区间; 的图象与直线 y ? 1 恰有两个交点,求 a 的取值范围. ,

【分析及解】 (Ⅰ)令 得

f ? ? x ? ? x 3 ? x 2 ? 2a 2 x ? x ? x ? 2a ?? x ? a ? ? 0

x1 ? ?2a,x2 ? 0,x3 ? a .
f ?? x?


在 a ? 0 的已知条件下,

f ? x?

随 x 的变化情况列表如下:

x

? ??,? 2a ?
?


?2a 0
极小值

0? ? ?2a,
?


0 0
极大值

? 0,a ?
?


a

? a,? ? ?
?


f ?? x?

0
极小值

f ? x?
所以

f ? x?

的递增区间为

? ?2a, 0 ? 与 ? a, ?? ? , f ? x ? 的递减区间为 ? ?? , ?2a ? 与 ? 0,a ? .
的图象与直线 y ? 1 的交点的情况,就要考虑函数

(Ⅱ)要研究函数

y ? f ? x?

y ? f ? x?

的极

大值和极小值相对于 y ? 1 的位置.

由 ( Ⅰ ) 得 到

5 f ? x ?极小值 ? f ? ?2 a ? ? ? a4 3 ,


f ? x ?极小值 ? f ? a ? ?

7 4 a 12 ,

f ? x ?极大值 ? f ? 0 ? ? a 4

y

y -2 a
y=1

a O

y=1 x

-2a O a x

-1-

由图可知,要使

f ? x?

的图象与直线 y ? 1 恰有两个交点,只需

5 7 ? a4 ? 1 ? a4 12 ; (1) 两个极小值一个大于 1 且另一个小于 1 ,即 3
4

(2) 极大值小于 1 ,即 a ? 1 ,即
4

a?

12 7 或0 ? a ?1.
2

【例 2】已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x ? 10 x 的一个极值点. (Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围.

f ?( x) ?
【分析及解】 (Ⅰ)因为

a ? 2 x ? 10 1? x ,

f ?(3) ?
所以

a ? 6 ? 10 ? 0 4 .因此 a ? 16 .

当 a ? 16 时, 由此可知 , 当

f ?( x) ?

2 ? x 2 ? 4 x ? 3? 2 ? x ? 3?? x ? 1? 16 ? 2 x ? 10 ? ? 1? x x ?1 x ?1 ,

x ? ?1,3?

x ? ? 3, ?? ? 时 , f ( x) 单调递减 , 当 时 , f ( x) 单调递增 , 所以 , 当

2 a ? 16 时, x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x ? 10 x 的一个极值点.

于是, a ? 16 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f ( x) ? 16 ln(1 ? x) ? x 2 ? 10 x , x ? (?1, ? ?) ,
f ?( x) ? 2 ? x ? 3?? x ? 1? x ?1 .

, ? (3, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , 当 x ? (?11) 3) 时, f ?( x) ? 0 , 当 x ? (1, ,,, (3 ? ?) , f ( x) 的单调减区间是 (1, 3) . 所以 f ( x) 的单调增区间是 (?11)
(Ⅲ)y ? b 与
y ? f ? x?

的图象有 3 个交点; 等价于

f ? x? ? b

有 3 个实数根; 即

f ? x? ? b ? 0

-2-

有 3 个实数根;此时,函数 令

f ? x? ? b

的图象与 x 轴有 3 个不同交点, ,

? ? x ? ? f ? x ? ? b ? 16ln ?1 ? x ? ? x 2 ? 10 x ? b
??? x? ?

则 令

2 ? x ? 1?? x ? 3? 16 ? 2 x ? 10 ? ? x ? ?1? , 1? x 1? x
,解得 x ? 1 或 x ? 3 ,

??? x? ? 0

??? x?



? ? x?

随 x 的变化情况列表如下:

x

1? ? ?1,
?


1
0 极大值

3? ?1,

3
0 极小值

? 3,? ? ?
?


??? x?

?


? ? x?

? ?1?

为极大值,

? ? 3?

为极小值.
y y=?(x) (1, 16ln2-9-b) 3 O 1 (3, 32ln2-21-b) x

由表可得 为使

y ? ? ? x?

的示意图:

y ? ? ? x?

图象与 x 轴有 3 个不同交点,必须

y ? ? ? x?

的极

? ?? ?1? ? 0 , ? ?? ? 3? ? 0 ,可 化 为 大值大于零,极小值小于零.即 ?

?16 ln 2 ? 9 ? b ? 0 , ?b ? 16 ln 2 ? 9 , ? ? ?32 ln 2 ? 21 ? b ? 0 , 解得 ?b ? 32 ln 2 ? 21 ,
∴ 32 ln 2 ? 21 ? b ? 16 ln 2 ? 9 . 【例 3】设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 1, g ( x ) ? ax ? 2 x ? 1, 其中实数 a ? 0 .
3 2 2 2

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x ) 的图象只有一个公共点且 g ( x) 存在最小值时,记 g ( x) 的 最小值为 h(a ) ,求 h(a ) 的值域; (Ⅲ)若 f ( x) 与 g ( x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数,求 a 的取值范围.

a f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3( x ? )( x ? a) 3 【分析及解】 (Ⅰ)? ,又 a ? 0 ,

-3-

? 当

x ? ?a或x ?

a a ?a ? x ? ? 3 时, f ( x) ? 0 ;当 3 时, f ?( x) ? 0 ,

a a ( , ??) ( ? a, ) f ( x ) ( ?? , ? a ) 3 内是减函数. ? 在 和 3 内是增函数,在
(Ⅱ)由题意知 x ? ax ? a x ? 1 ? ax ? 2 x ? 1 ,
3 2 2 2

即 x[ x ? (a ? 2)] ? 0 恰有一根(含重根) .
2 2

因为 , 一定有一根 x ? 0 , 所以 , x ? (a ? 2) ? 0 没有实数根或有两个相等的实数根 , 因此有
2 2

a 2 ? 2 ? 0 ,即 ? 2 ? a ? 2 .又 a ? 0 ,? a ? [? 2, 0) ? (0, 2] .
当 a ? 0 时, g ( x) 才存在最小值,? a ? (0, 2] .?

1 1 g ( x) ? a( x ? ) 2 ? a ? a a,

1 h(a ) ? a ? , a ? (0, 2] a 所以, .

于是 h(a ) 的值域为

(??,1 ?

2 ] 2 .

?a ? ?1 ? , ?? ? , ?? ? ? ? ? 内是增函数, g ( x) 在 ? a ? 内是增函 (Ⅲ)当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, ? a ) 和 ? 3

? ?a ? 0 ? a ? ?a ? 3 ? 1 ? ?a ? a 数.由题意得 ? ,解得 a ? 1 ;
a? 1? ? ? ??, ? ??, ? ? ? 3 ? 和 (?a, ??) 内是增函数, g ( x) 在 ? a ? 内是增函数.由题 当 a ? 0 时, f ( x) 在 ?

? ?a ? 0 ? ? ?a ? 2 ? ? ? ?a ? 2 ? 意得 ?

a 3 1 a ,解得 a ? ?3 ;

综上可知,实数 a 的取值范围为 (??, ?3] ? [1, ??) . 【例 4】已知函数

f ? x ? ? x 3 ? 3ax ? 1, g ? x ? ? f ? x ? ? ax ? 5

,其中

f ' ? x?

是的导函数.

-4-

(Ⅰ)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有
2

g ? x? ? 0

,求实数 x 的取值范围;

(Ⅱ)设 a ? ? m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 一个公共点 【分析及解】 (Ⅰ)由题意 令

y ? f ? x?

的图象与直线 y ? 3 只有

g ? x ? ? 3x 2 ? ax ? 3a ? 5
, ?1 ? a ? 1 ,

.

h ? x ? ? ? 3 ? x ? a ? 3x 2 ? 5 g ? x? ? 0

对 ?1 ? a ? 1 ,恒有

,即

h ?a? ? 0

.

? ? h ?1? ? 0, ? ?h ? ?1? ? 0. ∴?

?3 x 2 ? x ? 2 ? 0, 2 ? 2 ? ? x ?1 3 x ? x ? 8 ? 0. 即? 解得 3 .

? 2 ? x ? ? ? ,1? ? 3 ? 时,对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 故
(Ⅱ)

f ' ? x ? ? 3x 2 ? 3m 2 f ? x ? ? x3 ? 1
的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点

①当 m ? 0 时,

②当 m ? 0 时,令 则

? ? x ? ? f ? x ? ? 3 ? x 3 ? 3m 2 x ? 4,
.

? ? ? x ? ? 3x 2 ? 3m 2

列表:

x

? ??, m ?
?


?m

?? m , m ?
?


m

? m , ?? ?
?


??? x?
? ? x?
所以,

0
极大

0
极小

? ? x ? min ? ? ? m ? ? ?2m 2 m ? 4 ? ?4
f ? x?
的值域是 R ,且在 时函数

.

又因为

? m , ?? ? 上单调递增.
的图象与 x 轴只有一

所以 , 当

x? m

y ? ? ? x?

个公共点. 当

x? m

时,恒有

? ? x ?max ? ? ? ? m ?

,

此时,

y ? ? ? x?

的图象与 x 轴不能再有公共点 , 必须

y ? ? ? x?

得极大值小于零 , 即

? ?? m ? ? 0

,

-5-

? ? ? m ? ? 2m 2 m ? 4 ? 2 m 3 ? 4 ? 0
解得

,

m ? ? 3 2, 0 ? 0, 3 2

?

? ?

?. ?

? 3 2, 3 2 m 综上, 的取值范围是

?

? ?1, 4? 上的 【例 5】已知 f ( x) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且 f ( x) 在区间
最大值是 12。 (I)求 f ( x) 的解析式;

(II)是否存在自然数 m, 使得方程

f ( x) ?

37 ?0 x 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不等的实

数根?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 【分析及解】 (I)因为 f ( x) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 所以可设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0).

5 ? 25 ? f ? x ? ? a ? x 2 ? 5 x ? ? a ? x ? ? ? a, x ? ? ?1, 4? 2? 4 ? 由 ,
? 5? ?5 ? ?1, ? ? ,4 ? 2 ? 上,函数 f ( x) 是减函数,在区间 ? 2 ? ? 上, 函数 f ( x) 是增函数. 因为在区间 ?

2

? ?1, 4? 上的最大值是 f (?1) ? 6a. 所以, f ( x) 在区间
由已知,得 6a ? 12, a ? 2. 所以, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2 x( x ? 5) ? 2 x ? 10 x( x ? R ).
2

f ( x) ?
(II)方程
3

37 ?0 3 2 x 等价于方程 2 x ? 10 x ? 37 ? 0.
2 2

设 h( x) ? 2 x ? 10 x ? 37, 则 h '( x) ? 6 x ? 20 x ? 2 x(3 x ? 10).

? 10 ? x ? ? 0, ? ? 3 ? 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 ? 10 ? x ? ? , ?? ? ? 3 ? 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 当 1 ? 10 ? h(3) ? 1 ? 0, h ? ? ? ? ? 0, h(4) ? 5 ? 0, 27 ? 3? 因为
-6-

? 10 ? ? 10 ? ? 3, ? , ? , 4 ? ? 内分别有唯一的实数根,而在区间 (0,3), (4, ??) 所以方程 h( x) ? 0 在区间 ? 3 ? ? 3
内没有实数根, 所以存在唯一的自然数 m ? 3, 使得方程 的实数根。 【例 6】已知函数 f ( x) ? ? x ? 8 x, g ( x) ? 6 ln x ? m.
2

f ( x) ?

37 ?0 x 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不同

?t , t ? 1? 上的最大值 h(t ); (I)求 f ( x) 在区间
(II)是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x ) 的图象有且只有三个不同的交 点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 【分析及解】 (I) f ( x) ? ? x ? 8 x ? ?( x ? 4) ? 16.
2 2

?t , t ? 1? 上单调递增, 当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x) 在
h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1) 2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7;
当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时, h(t ) ? f (4) ? 16;

?t , t ? 1? 上单调递减, h(t ) ? f (t ) ? ?t ? 8t. 当 t ? 4 时, f ( x) 在
2

综上,

??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? h(t ) ? ?16,      3 ? t ? 4, ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?

( II ) 函数 y ? f ( x) 的 图象 与 y ? g ( x ) 的图 象有 且只有 三个 不同的 交点 ,即函 数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
因为 ? ( x) ? x ? 8 x ? 6 ln x ? m,
2

? ?( x) ? 2 x ? 8 ?
所以,

6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x

? 当 x ? (0,1) 时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; ? 当 x ? (1,3) 时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; ? 当 x ? (3, ??) 时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数;

-7-

? 当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? ( x) ? 0.
于是,

? ( x) max ? ? (1) ? m ? 7, ? ( x) min ? ? (3) ? m ? 6 ln 3 ? 15.

? 当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0.
因此,要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须

? ?? ( x)极大 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)极小 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0,

即 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3.

所以存在实数 m , 使得函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x ) 的图象有且只有三个不同的交点,m 的 取值范围为 (7,15 ? 6 ln 3). 【练习题】 1.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a .
3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点. 2.研究三次方程

f ? x ? ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ? 0

有且只有一个实数根的条件.

3、已知函数 f ( x) ? x ? x .
3

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (Ⅱ)设 a ? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ? a ? b ? f (a ) .

? 【分析及解】 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的导数; f ( x) ? 3 x ? 1 .
2

曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为:

y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,


y ? (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 .

(Ⅱ)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使

b ? (3t 2 ? 1)a ? 2t 3 .
于是,若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程
-8-

2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0
有三个相异的实数根. 记 则

g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b , g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at
? 6t (t ? a ) .

? 当 t 变化时, g (t ),g (t ) 变化情况如下表:

t
g ?(t )
g (t )

(??, 0)

0 0 极大值

(0,a)

a
0 极小值

(a, ? ?)
由 g (t ) 的 单 调

?


?


?


性,当极大值

a ? b ? 0 或 极小
值 b ? f (a) ? 0

时,方程 g (t ) ? 0 最多有一个实数根;

当 a ? b ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得

t ? 0,t ?

3a 2 ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数根;

当 b ? f (a ) ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 根.

a t ? ? ,t ? a 2 ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数

综上,如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根,则

?a ? b ? 0, ? ?b ? f (a ) ? 0.


?a ? b ? f (a ) .

【练习题参考答案】

1 x ? ? , x ?1 ? 3 1.(I) f ( x) ? 3 x ? 2 x ? 1 ,若 f '( x) ? 0 ,则 .
2

当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 变化情况如下表:

-9-

x
f '( x)

1? ? ? ??, ? ? 3? ?
+

?
0

1 3

? 1 ? ? ? ,1? ? 3 ?


1

?1, ?? ?
+

0 极小值

f ( x)

?

极大值

?

?

∴ f ( x) 的极大值是

1 5 f (? ) ? ?a 3 27 ,极小值是 f (1) ? a ? 1

3 2 2 (II)函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a ? ( x ? 1) ( x ? 1) ? a ? 1

由此可知,取足够大的正数时,有 f ( x) >0,取足够小的负数时有 f ( x) <0,所以曲线 y = f ( x) 与 x 轴至少有一个交点 结合 f ( x) 的单调性可知:

? ? 1? 5 ? a ? 0. ? f max ? x ? ? f ? ? ? ? . ? 3 ? 27 ? ? f ? f (1) ? a ? 1 ? 0. ? min

解得 a ? 1 .



? ? 1? 5 ? a ? 0. ? f max ? x ? ? f ? ? ? ? . ? 3 ? 27 ? ? f ? f (1) ? a ? 1 ? 0. ? min

a??
解得

5 27 .

5 ? ? a ? ? ??, ? ? ? ?1, ?? ? 27 ? ? ∴当 时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。
2. 三次方程 (1) 函数

f ? x? ? 0

有且只有一个实数根,有下列两种情况:

f ? x?
2

在 x ? R 上是单调的,这相当于
2

f ? ? x ? ? 3ax 2 ? 2bx ? c

恒大于零,或恒小于

零,即 ? ? 4b ? 12ac ? 0 ,即 b ? 3ac . (2) 函数

f ? x?

在 x ? R 上不是单调的,设

f ? ? x ? ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0

有两个根为

x1 , x2 (此

? ? f ? x1 ? ? 0, ? 2 ? f ? x2 ? ? 0. 或 ? ? 4 b ? 12 ac ? 0 时 ) ,这时,它们对应的函数值是极大或极小值 , 需满足 ? ? ? f ? x1 ? ? 0, ? ? ? f ? x2 ? ? 0. 即 f ? x1 ? f ? x2 ? ? 0 .

- 10 -

2 ? ? b ? 3ac, ? 2 ? f ? x1 ? f ? x2 ? ? 0 . b ? 3 ac 因此,三次方程有且只有一个实数根的条件是: 或?

- 11 -


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