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微积分第二册数学练习题d 文档


1.在球 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 z ? 0 内部的点有() . ?1 1 1? A. ?0,0,2? B. ?0,0,?2? C. ? , , ? D. ?1,1,0 ? ?2 2 2? 1 2.函数 z ? 的定义域是() . 4 ? x2 ? y2
z ? arcsin x2 ? y2 ? x 2 ? y 2 ? 16 的定义域是 9
<

br />3.

.

4.极限

sin ?xy ? ? () . ? x , y ??? 2, 0 ? y lim

5.若函数 f ( x, y ) 在区域 D 内具有二阶偏导数,则结论()正确. A.必有

?2 f ?2 f ? ?x?y ?y?x

B. f ( x, y ) 在 D 内必可微 D.以上三个结论都不对 )

C. f ( x, y ) 在 D 内必连续 6. 设 z ? sin x 2y 3 , 则 dz ? ( 5.交换积分次序 ? dy ?
0 2 2y y2

f ? x, y ? dx =()

7.设区域 D : ? 2 ? x ? 2,?2 ? y ? 2 ,则二重积分 ?? xydxdy ? () .
D

8.设区域 D : 2 ? x ? y ? 5 ,则二重积分 ?? dxdy ? () .
2 2

D

9.下列积分不为零的是() . A C

?
?

?
??

sin 2 xdx
(e x ? e? x )dx

B D

?
?

?
??

2 x2 sin xdx
e x dx

?
??

?
??

?z ? x 2 ? y 2 ?1 10.空间曲线 ? 在 xOy 面上的投影方程为( z ? 2 ?
11.点 ?1,?1,1? 在曲面()上. A. x 2 ? y 2 ? 4 z ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 2 12.函数 z ? B. x 2 ? y 2 ? z D. z ? ln x 2 ? y 2 的定义域是() .

)

?

?

1 x2 ? y2 ? 4

13.对函数 f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) ,下列结论成立的是() . A.若连续则偏导数存在 B.若两个偏导数存在则必连续

C. 两个偏导数或都存在,或都不存在 D.两个偏导数存在但不一定连续 15.交换积分次序 ? dy ? f ? x, y ? dx =
0 0 1 y

16.设区域 D : ? 1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1 ,则二重积分 ?? xydxdy ?
D

lim
17.

3sin( x 2 ? y 2 ) x ?0 x2 ? y 2 y ?0
y?

的值为

18.由曲线

1 x 与直线 y ? x , x ? 2 所围成图形的面积为 (

)

19.在下列方程中,不表示柱面的方程是() A. x 2 ? y ? 0 B. x 2 ? z 2 ? 1 C. 2 x ? 2 y ? z ? 0
2 2

D. x ? y ? 0 ).

2 2 20.设函数 z ? f ( x , y ) 可微,且 f ( x ? y, x ? y) ? x ? y ? 2 x ,则 dz ? (

21.下列广义积分中,发散的是( A. ? 3
0 1

) C. ?
?? 1

dx x

B. ? 3
0

1

dx

dx

x

2

x

5

D. ?

?? 1

dx x

?2z ? 2 2 2 22.设函数 z ? f ( xy, x ? y ) ,且 f 具有二阶连续偏导数,则 ? y (

).

23.

?

1 dx ? ?1 x 3
1

24. ?

x2 dx ? __________. 1 ? x6

25.设 f ( x, y ) 是连续函数,则交换二次积分

?

π π 2

dx ?

1

sin x

f ( x , y )dy

的积分次序后为

? y2 ? x ? 26.曲线 ? z ? 0 绕 x 轴旋转一周所得曲面方程为_________________.
27. f ( x ) 是区间[a,b ]上的连续函数,则由曲线 y ? f ( x ) 与直线 x ? a , x ? b ,
y ? 0 所围成的封闭图形的面积为 (

).

28.设函数 z ? f ( x, y) 有

?2 f ? 2 ,且 f ( x,0) ? 1 , f ? y( x,0) ? x ,则 f ( x, y ) =() ?y 2
).

29.二元函数 f ( x, y ) 在点 (0,0) 处可微的一个充分条件是(

A.

( x , y )?(0,0)

lim [ f ( x , y ) ? f (0, 0)] ? 0

B. lim
x ?0

f ( x , 0) ? f (0, 0) f (0, y ) ? f (0, 0) ? 0 ,且 lim ?0 y ?0 x y

C.

( x , y )?(0,0)

lim

f ( x , y ) ? f (0, 0) x2 ? y2

?0

D. lim[ f x ( x , 0) ? f x (0, 0)] ? 0 ,且 lim[ f y (0, y ) ? f y (0, 0)] ? 0
x ?0

y ?0

30.设函数 z ? f (ax ? by) ,且 f 可微,则( A. b
?z ?z ?a ?x ?y

). D.
?z ?z ?? ?x ?y

B.

?z ?z ? ?x ?y

C. a

?z ?z ?b ?x ?y

x2 y 2 ? ? 2z 4 31.双曲抛物面 3 与 xoy 平面的交线是 (


x2

32.设 f ( x, y ) 是连续函数,则交换二次积分 ? dx ?
0

1

0

f ( x, y)dy ? ? dx ?
1

2

2? x

0

f ( x, y)dy

的积分次序后为 33.极限

2 ? xy ? 4 ?. ? x , y ???0, 0 ? xy lim

35.设函数 z ? x 2 y ? y 2 ,则 dz =____ 36. ? 37.
?? 0

x 2 e? x dx ?
2 1

?

1

_____________(已知 ?
2 2

?? ??

e ? x dx ? ?
2

)

? 比较大小

ln xdx , ? ?ln x ? dx
1

2 38.由曲线 y ? x ? 1 ,直线 x ? 2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周

所得的旋转体的体积为. 39.已知 ? f ( x ) dx ? x 3 ? C ,则 ? xf (1 ? x 2 ) dx ? ()
1 ? xy ? ( x , y ) ? ( 0 ,1 ) x 2 ? y 2 40. . lim

41.设 z ? e xy ,



? 2z ?x 2

?
x ?3 y ?4

___________________.

?2z ? 2 2 42.设二元函数 z ? sin(x ? y ) ,则 ?x?y .

43. lim
x ?0

? t cost dt
2 0

x

4x2

? ()
x2 y2 ( x ? y ) 5 d? ? ? 2 ? 1} ?? 2 a b ,则 D .

44.设积分区域

D ? {( x , y ) |

2 45.由曲线 y ? x ? 2 x ,直线 x ? 1 , x ? 3 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转

一周所得的旋转体的体积为.
sinxy ? xy cos x ? x 2 y 2 lim ? x 46. ( x , y ) ? ( 0,1) .

?z 47.设二元函数 z ? (2 x ? y ) ,则 ?x
y

(0,1)

?

.

y f ( x ? y, ) ? x 2 ? y 2 x 48.已知 ,则 f ( x, y ) ? .

49.极限

? x , y ???0, 0 ?

lim

xy xy ? 1 ? 1

?.

50.已知 f ( x, y) ? x ? ( x ? arctany) arctany ,则 fx?(2, 0) ? . 51.设函数 z ? e x 52. ?
?2 ?1
2

? y2

,则 dz =.

x dx ? . x?3

2 2 2 2 53.由曲面 z ? 4 ? x ? y 和 z ? 0 及柱面 x ? y ? 4 所围的体积是(

).

f ( x )dx ? ? xf ( x )dx 0 54.设积分区域 D ? {( x, y) x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0} ,若 ?0 ,


1

1

?? f ( x )dxdy ?
D

55.设 2 sin(x ? 2 y ? 3z ) ? x ? 2 y ? 3z ,则

?z ?z ? ? ?x ?y

2 56.求函数 f ( x, y) ? x y(4 ? x ? y) 在直线 x ? y ? 6 , x 轴和 y 轴所围成的闭区域

D 上的最大值和最小值.
57. z ? arcsin
x2 ? y2 ? x 2 ? y 2 ? 4 的定义域是 9
2 2

58.设积分区域 D ? {( x, y) | x ? y ? 2 y} ,计算二重积分 59. ? | x ? 1| dx ? __________.
0 3

??
D

x 2 ? y 2 d xd y

.

2 2 2 60.求函数 f ( x , y, z ) ? z ? 2 在约束条件 4 x ? 2 y ? z ? 1 下的最大值和最小值.

61.已知 z ? z ( x, y ) 由方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2z ? 0 所确定,求
D ? {( x , y ) 1 ? x 2 ? y 2 ? 4}

?z ? 2 z , . ?x ?x 2

62.设

,计算二重积分

??
D

sin( π x 2 ? y 2 ) x2 ? y2

dxdy

.

63 由曲线 y ? x 2 ,直线 y ? t 2 (0<t<1) 、 x ? 0 、 x ? 1 围成的平面图形(阴影部 分)如图 1) 求其面积 A

?2z 64.. 设 z ? x y ? x y ? 3xy , 求二阶偏导数 2 、 ?x
3 2 2 3

?2z ?2z ?2z 、 2及 . ?x?y ?y ?y ?x
65.求由抛物线 y ? x2 和 x ? y 2 所围成的图形 D 之面积, 然后再求出 D 绕 x 轴旋转 所生成图形的体积。 66. 求函数 f ?x, y ? ? 4?x ? y ? ? x 2 ? y 2 的极值.
2 67. ?? x yd? ,其中 D 是由两条抛物线 y ? x 和 y ? x 所围成的闭区域.

D

68. 利用极坐标计算二重积分 ?? ( x 2 ? y 2 )d? ,其中 D : x 2 ? y 2 ? a 2 .
D

69. 设函数 z ? e u sin v ,而 u ? xy , v ? x ? y ,求
2 2 70.求下列函数的极值 f ( x, y) ? (6x ? x )(4 y ? y )

?z ?z 及 . ?x ?y

71.计算定积分 ? 72.

2 0

? x2 x ? 1 . f ( x)dx ,其中 f ( x) ? ? ? x ?1 x ? 1

?

3

0

arctan xdx 21. 设 方 程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 z ? 0 确 定 了 一 个 二 元 隐 函 数
?z ?z x ? y ? ? . ?x ?y 2 ? z

z ? z ?x, y ? ,证明:

73.求抛物线 y ? x 2 与直线 y ? 4 所围成的图形的面积.

? 74.求不定积分 e

x

1 dx. ? e ?x

75.设 z ? x 3 y ? x 2 y 2 ? 3xy3 ,求二阶偏导数

?2z ?2z ?2z ?2z 、 、 及 . ?x 2 ?x?y ?y 2 ?y ?x

76. 求解微分方程

dy y2 . ? dx xy ? x 2

77. 求函数 f ?x, y ? ? 4?x ? y ? ? x 2 ? y 2 的极值. 78.利用极坐标计算二重积分 ?? ( x 2 ? y 2 )d? ,其中 D : x 2 ? y 2 ? a 2 .
D

79.计算 ?

a

0

a 2 ? x 2 dx (a ? 0) 。

x ?z ?z 80.设函数 z ? arctan ,而 x ? u ? v , y ? u ? v ,求 及 . ?u ?v y

81.求全微分 z ? 82.计算 ? ln xdx
1 5

y x2 ? y2

83.计算定积分 ?

2 0

? x2 x ? 1 f ( x)dx ,其中 f ( x) ? ? ? x ?1 x ? 1


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