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湖南省常德市澧县一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


湖南省常德市澧县一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP=() A. 内随机地取出一个数 a,则恰好使 1 是关于 x 的不等式 2x +ax﹣a <0 的一个解的概 率大小为. 12. (5 分)某程序框图如图所示,若输入的 n=10,则输出的结果是.
2 2

13. (5 分)如图所示,底面直径为 12cm 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其 截口是一个椭 圆,则这个椭圆的离心率为.

14. (5 分)给出以下四个命题,所有真命题的序号为. ①从总体中抽取样本(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记 = 回归直线 y=bx+a 必过点( , ) ; ②将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 个单位,得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象; , = ,则

③已知数列{an},那么“对任意的 n∈N ,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上”是“{an}为等差数 列”的充分不必要条件; ④命题“若|x|≥2,则 x≥2 或 x≤﹣2”的否命题是“若|x|≥2,则﹣2<x<2”. 15. (5 分) 我们把形如 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”

*

字,故生动地称为“囧函数”.若当 a=1,b=1 时的囧函数与函数 y=lg|x|的交点个数为 n 个,则 n=.

三.解答题(本大题有 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4.从袋 中随机抽取一个球,将其编号记为 a,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球,将其编 2 2 号记为 b,求关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0 有实根的概率. 17. (12 分)已知 c>0 且 c≠1,设 p:指数函数 y=(2c﹣1) 在 R 上为增函数,q:不等式 x+ 2 (x﹣2c) >2 的解集为 R.若 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,求 c 的取值范围. 18. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的值域. .
x

19. (13 分) 如图, 四边形 ABCD 为正方形, 四边形 BDEF 为矩形, AB=2BF, DE⊥平面 ABCD. (1)求证:CF∥平面 ADE; (2)求二面角 C﹣EF﹣B 的余弦值.

20. (13 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a5+a13=34,S3=9. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式; (2)设数列{bn}的通项公式为 ,问:是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm(m≥3,

m∈N)成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

21. (13 分)如图,F 是椭圆

的左焦点,A,B 分别是椭圆的两个顶

点,椭圆的离心率为 ,点 C 在 x 轴上,BC⊥BF,B,C,F 三点确定的圆 M 恰好与直线 相切 (1)求椭圆的方程; (2)过点 A 的直线 l2 与圆 M 交于 P,Q 两点,且 ,求直线 l2 的方程.

湖南省常德市澧县一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP=() A. 考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是 4×4 种结果,满足条件的事件是这 两位同学参加同一个兴趣小组有 4 种结果,根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件数是 4×4=16 种结果, 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组, 由于共有四个小组,则有 4 种结果, 根据古典概型概率公式得到 P= ,

故选:B. 点评: 本题考查古典概型概率公式,是一个基础题,题目使用列举法来得到试验发生包含 的事件数和满足条件的事件数,出现这种问题一定是一个必得分题目.

6. (5 分)“a≠1 或 b≠2”是“a+b≠3”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要

考点: 充要条件. 专题: 阅读型. 分析: 由题意得:命题若 a≠1 或 b≠2 则 a+b≠3 是假命题;命题若 a+b≠3 则≠1 或 b≠2 是真命 题;可得答案. 解答: 解:由题意得 ∵命题若 a≠1 或 b≠2 则 a+b≠3 与命题若 a+b=3 则 a=1 且 b=2 互为逆否命题 ∴判断命题若 a≠1 或 b≠2 则 a+b≠3 的真假只要判 断命题若 a+b=3 则 a=1 且 b=2 互为逆否命题 的真假即可 因为命题若 a+b=3 则 a=1 且 b=2 显然是假命题 所以命题若 a≠1 或 b≠2 则 a+b≠3 是假命题 ∴a≠1 或 b≠2 推不出 a+b≠3 所以 a≠1 或 b≠2 推不出 a+b≠3 同理若 a=1 且 b=2 则 a+b=3 是真命题 ∴命题若 a+b≠3 则 a≠1 或 b≠2 是真命题 ∴a+b≠3?a≠1 或 b≠2 “a≠1 或 b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件. 故选 B. 点评: 判断充要条件时可以先判断某些命题的真假,当命题的真假不易判断时可以先判断 原命题的逆否命题的真假(原命题与逆否命题的真假相同) . 7. (5 分)设 p:“x,y,z 中至少有一个等于 1”?“(x﹣1) (y﹣1) (z﹣1)=0”;q:“ ﹣2|+(z﹣3) =0”?“(x﹣1) (y﹣2) (z﹣3)=0”,那么 p,q 的真假是() A.p 真 q 真 B. p 真 q 假 C. p 假 q 真 D.p 假 q 假 考点: 命题的真假判断与应用. 分析: 由 x,y,z 中至少有一个等于 1?(x﹣1) (y﹣1) (z ﹣1)=0 且(x﹣1) (y﹣1) (z ﹣1)=0?x,y,z 中至少有一个等于 1 得到 p 真,由 ﹣2) (z﹣3)=0 但(x﹣1) (y﹣2) (z﹣3)=0 推不出 +|y﹣2|+(z﹣3) =0?(x﹣1) (y +|y﹣2|+(z﹣3) =0 说明 q 假.
2 2 2

+|y

解答: 解:若 x,y,z 中至少有一个等于 1,则(x﹣1) (y﹣1) (z﹣1)=0, 反之,若(x﹣1) (y﹣1) (z﹣1)=0,则 x﹣1=0 或 y﹣1=0 或 z﹣1=0,即 x=1 或 y=1 或 z=1, 也就是 x,y,z 中至少有一个等于 1, ∴命题 p:“x,y,z 中至少有一个等于 1”?“(x﹣1) (y﹣1) (z﹣1)=0”为真命题; 若 +|y﹣2|+(z﹣3) =0,则 x﹣1=0 且 y﹣2=0 且 z﹣3=0,
2

∴(x﹣1) (y﹣2) (z﹣3)=0.

若(x﹣1) (y﹣2) (z﹣3)=0,则 x﹣1=0 或 y﹣2=0 或 z﹣3=0,但不一定有 (z﹣3) =0, ∴命题 q:“
2

+|y﹣2|+

+|y﹣2|+( z﹣3) =0”?“(x﹣1) (y﹣2) (z﹣3)=0”为假命题.

2

故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查学生的逻辑思维能力,是中档题.
2

8. (5 分)已知 x>0,y>0,且 A.m≥4 或 m≤﹣2

,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围() C.﹣4<m<2 D.﹣2<m<4

B.m≥2 或 m≤﹣4

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 先把 x+2y 转会为(x+2y) (
2 2

)展开后利用基本不等式求得其最小值,然后根据

x+2y>m +2m 求得 m +2m<8,进而求得 m 的范围. 解答: 解:∵ ∴x+2y=(x+2y) (
2

)=4+

+ ≥4+2

=8

∵x+2y>m +2m 恒成立, 2 ∴m +2m<8,求得﹣4<m<2 故选 C 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.考查了学生分析问题和解决问题 的能力. 9. (5 分)已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logm(ab)<1,则 m 的取值范围是() A.m>1 B.1<m<8 C.m>8 D.0<m<1 或 m>8 考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 2 2 分析: 由已知可得 b=2a,b =a b,联立可求 a,b,代入已知不等式即可求解 m 的范围 解答: 解:∵a,b,a+b 成等差数列, ∴2b=2a+b,即 b=2a.① ∵a,b,ab 成等比数列, 2 2 2 ∴b =a b,即 b=a (a≠0,b≠0) .② 由①②得 a=2,b=4. 8 ∵0<logm <1, ∴m>1. 8 8 m ∵logm <1,即 logm <logm ∴m>8 故选 C

点评: 本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解,属于知识的简单 应用.

10. (5 分)设 m>1,在约束条件

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取

值范围为() A.(1, )

B. (

,+∞) C.(1,3)

D.(3,+∞)

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据 m>1,我们可以判断直线 y=mx 的倾斜角位于区间( , )上,由此我们不

难判断出满足约束条件

的平面区域的形状,再根据目标函数 Z=X+my 对应的直线与

直线 y=mx 垂直,且在直线 y=mx 与直线 x+y=1 交点处取得最大值,由此构造出关于 m 的不 等式组,解不等式组即可求出 m 的取值范围. 解答: 解:∵m>1 故直线 y=mx 与直线 x+y=1 交于 点, 点,取得最大值

目标函数 Z=X+my 对应的直线与直线 y=mx 垂直,且在 其关系如下图所示: 即 ,

解得 1﹣ <m< 又∵m>1 解得 m∈(1, ) 故选:A.

点评: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中根据平面直线方程判断出目标函数 Z=X+my 对应的直线与直线 y=mx 垂直,且在 关于 m 的不等式组是解答本题的关键. 二.填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)在区间内随机地取出一个数 a,则恰好使 1 是关于 x 的不等式 2x +ax﹣a <0 的一 个解的概率大小为 0.7. 考点: 几何概型. 专题: 常规题型;计算题. 分析: 本题是几何概型问题, 欲求 1 是关于 x 的不等式 2x +ax﹣a <0 的一个解的概率大小, 2 2 先由 1 是关于 x 的不等式 2x +ax﹣a <0 的一个解,求出其关于 a 的不等关系,再根据几何概 型概率公式结合区间的长度的方法易求解. 解答: 解:本题是几何概型问题,测度为长度. 2 2 2 2 由恰好使 1 是关于 x 的不等式 2x +ax﹣a <0 得:2×1 +a×1﹣a <0?a<﹣1 或 a>2. 2 2 ∴“恰好使 1 是关于 x 的不等式 2x +ax﹣a <0 的一个解的概率”事件对应的区域长度为 7. 则恰好使 1 是关于 x 的不等式 2x +ax﹣a <0 的一个解的概率是 故答案为:0.7.
2 2 2 2 2 2

点取得最大值,并由此构造出



点评: 本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、区间及方程的根的概念等基础知识, 考查化归与转化思想.属于基础题. 12. (5 分)某程序框图如图所示,若输入的 n=10,则输出的结果是 5.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用条件结构和循环结构的嵌套计算并 输出 S﹣T 值,模拟程序的运行过程可得答案. 解答: 解:当 n=10 时,满足进行循环的条件,执行完循环体中各语句后,S=10,n=9,T=9, n=8; 当 n=8 时,满足进行循环的条件,执行完循环体中各语句后,S=10+8,n=7,T=9+7,n=6; 当 n=6 时, 满足进行循环的条件, 执行完循环体中各语句后, S=10+8+6, n=5, T=9+7+5, n=4; 当 n=4 时,满足进行循环的条件,执行完循环体中各语句后,S=10+8+6+4,n=3,T=9+7+5+3, n=2; 当 n=2 时,满足进行循环的条件,执行完循环体中各语句后,S=10+8+6+4+2,n=1, T=9+7+5+3+1,n=0; 当 n=0 时,不满足进行循环的条件, 此时 S﹣T=(10+8+6+4+2)﹣(9+7+5+3+1)=5 故答案为:5 点评: 本题考查的知识点是程序框图,在写程序运行结果时,模拟程序运行结果是最常用 的方法,一定要熟练掌握. 13. (5 分)如图所示,底面直径为 12cm 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其截口是一个椭 圆,则这个椭圆的离心率为 .

考点: 专题: 分析: 心率. 解答:

椭圆的简单性质;平面与圆柱面的截线. 计算题. 利用已知条件,求出题意的长半轴,短半轴,然后求出半焦距,即可求出题意的离 解:因为底面直径为 12cm 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其截口是一个椭圆, = ,

则这个椭圆的短半轴为:6,长半轴为: ∵a =b +c ,∴c=
2 2 2

, = .

∴椭圆的离心率为:e= 故答案为: .

点评: 本题考查椭圆离心率的求法,注意椭圆的几何量与双曲线的几何量(a,b,c)关系 的正确应用,考查计算能力. 14. (5 分)给出以下四个命题,所有真命题的序号为①③.

①从总体中抽取样本(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记 = 回归直线 y=bx+a 必过点( , ) ; ②将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 个单位,得到函数 y=sin(2x﹣
*

, =

,则

)的图象;

③已知数列{an},那么“对任意的 n∈N ,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上”是“{an}为等差数 列”的充分不必要条件; ④命题“若|x|≥2,则 x≥2 或 x≤﹣2”的否命题是“若|x|≥2,则﹣2<x<2”. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 本题①根据回归直线的特征判断命题是否正确;②根据函数图象平移前后解析式的 联系,判断命题是否正确;③等差数列的通项特征,得到对应 的点的位置关系,从而判断命 题是否正确;④命题否定的规律,得到原命题的否命题,从而判断命题是否正确. 解答: 解:①从总体中抽取样本(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) , 若记 = , = ,则回归直线 y=bx+a 必过点( , ) .

根据参数 b 的算法可知,命题①正确; ②将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 得到函数 y=cos 2(x﹣ 故命题②是假命题; ③若{an}为等差数列, 记首项为 a1,公差为 d,an=a1+(n﹣1)d=dn+(a1﹣d) , ∴点 Pn(n,an)在直线 y=dx+(a1﹣d)上. 若 d≠2 时,点 Pn(n,an)就一定不在直线 y=2x+1 上; * 若对任意的 n∈N ,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上, 则有 an=2n+1,an+1﹣an=2,“{an}为等差数列; ∴命题③正确; ④命题“若|x|≥2,则 x≥2 或 x≤﹣2”的否命题是: “若 x<2,则﹣2<x<2”, 故命题④是错误的. 综上,正确的命题有:①③. 故答案为:①③. 点评: 本题考查了命题真假的判断,还考查了抽样统计、三角函数图象变换、数列通项、 充要条件、命题的否定等知识,本题难度不大,属于基础题. 15. (5 分) 我们把形如 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧” 个单位, ) ,

)=cos(2x﹣

字,故生动地称为“囧函数”.若当 a=1,b=1 时的囧函数与函数 y=lg|x|的交点个数为 n 个,则 n=4.

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 求出当 a=1,b=1 时的囧函数的表达式,画出囧函数的图象,再在同一个坐标系中画 出函数 y=lg|x|的图象,利用图象的交点个数,推出 n 即可. 解答: 解 :由题意 当 a=b=1 时, 则 ,画出这个函数的图象,如图绿色的曲线,再画出函数 y=lg|x|的图象(黑色的曲 ,此函数是偶函数,

线) , 由图可知当 a=1,b=1 时的囧函数与函数 y=lg|x|的交点个数为 4 个, 故答案为:4.

点评: 本题考查根的存在性及根的个数判断,函数的图象的应用,函数的基本性质的应用, 考查数形结合思想. 三.解答题(本大题有 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4.从袋 中随机抽取一个球,将其编号记为 a,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球,将其编 2 2 号记为 b,求关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0 有实根的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是一个古典概型,由分步计数原理知基本事件共 12 个,当 a>0,b>0 时,方程 2 2 x +2ax+b =0 有实根的充要条件为 a≥b,满足条件的事件中包含 6 个基本事件,由古典概型公 式得到结果. 2 2 解答: 解:设事件 A 为“方程 x +2ax+b =0 有实根”. 2 2 当 a>0,b>0 时,方程 x +2ax+b =0 有实根的充要条件为 a≥b. 基本事件共 12 个: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) ,其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.

事件 A 中包含 6 个基本事件: (2,1) , (3,1) , (3,2) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , 事件 A 发生的概率为 p(A)= .

点评: 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总 情况数之比. 17. (12 分)已知 c>0 且 c≠1,设 p:指数函数 y=(2c﹣1) 在 R 上为增函数,q:不等式 x+ 2 (x﹣2c) >2 的解集为 R.若 p∧q 为假命题,p∨q 为真 命题,求 c 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 当 p 为真命题时,c>1;当 q 为真命题时,c> .由 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题, 知 p 真 q 假,或 p 假 q 真.由此能求出实数 c 的取值范围. 解答: 解:当 p 为真命题时, ∵函数 y=(2c﹣1) 在 R 上为增函数,∴2c﹣1>1, ∴当 p 为真命题时,c>1; 当 q 为真命题时, 2 ∵不等式 x+(x﹣2c) >2 的解集为 R, 2 2 ∴当 x∈R 时,x ﹣(4c﹣1)x+(4c ﹣2)>0 恒成立, 2 2 ∴△=(4c﹣1) ﹣4××(4c ﹣2)<0, ∴﹣8c+9<0, ∴当 q 为真命题时,c> . ∵p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,∴p 真 q 假,或 p 假 q 真. ①当 p 真 q 假时, ,解得 1<c≤ .
x x

②当 p 假 q 真时,

,解得 c∈?.

综上所述,实数 c 的取值范围是(1, ]. 点评: 本题考查实数的取值范围的求法, 解题时要认真审题, 仔细解答, 解题的关键是由 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,得到 p 真 q 假,或 p 假 q 真. 18. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的值域. .

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的对称性.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数 f(x)展开再整理,可将函数化简 为 y=Asin(wx+ρ)的形式,根据 T= 求出 x 的值即可得到对称轴方程. (2)先根据 x 的范围求出 2x﹣ 进而得到函数 f(x)在区间 解答: 解: (1)∵ = = = ∴周期 T= 由 ∴函数图象的对称轴方程为 sin2x+(sinx﹣cosx) (sinx+cosx) = 的范围,再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值, 上的值域. 可求出最小正周期,令 ,

(2)∵ 因为 递减, 所以当 又∵ 所以函数 f( x)在区间

,∴ 在区间

, 上单调递增,在区间 上单调

时,f(x)取最大值 1, ,当 上的值域为 时,f(x)取最小值 . ,

点评: 本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式,以及正弦函数的基本性质﹣﹣最 小正周期、对称性、和单调性.考查对基础知识的掌握情况. 19. (13 分) 如图, 四边形 ABCD 为正方形, 四边形 BDEF 为矩形, AB=2BF, DE⊥平面 ABCD. (1)求证:CF∥平面 ADE; (2)求二面角 C﹣EF﹣B 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用平面 BCF 中,有两条相交直线 BC 和 BF 平行于两一个平面中的两条相交 直线 AD 和 DE,得到平面 BCF∥平面 ADE. (2) 连接 AC, 与 BD 交于 M, 取 EF 的中点 N, 连接 MN, CN, 则 CM⊥平面 EFBD, ∠CNM 是二面角 C﹣EF﹣B 的平面角,即可得出结论. 解答: (1) 证明: ∵四边形 ABCD 为正方形, 四边形 BDEF 为矩形, ∴BC∥AD, BF∥DE, 这样,平面 BCF 中,有两条相交直线 BC,BF 平行于两一个平面中的两条相交直线 AD,DE, 故有平面 BCF∥平面 ADE, ∴CF∥平面 ADE. (2)解:设 BF=1,则 AB=2,AC=2 ,连接 AC,与 BD 交于 M,取 EF 的中点 N,连接 MN,CN, 则 CM⊥平面 EFBD, ∴∠CNM 是二面角 C﹣EF﹣B 的平面角,

∵MN=1,CM= ∴CN= , ∴cos∠CNM= =



, .

即二面角 C﹣EF﹣B 的余弦值为

点评: 本题考查证明线面平行、面面平行的判定定理,考查二面角 C﹣EF﹣B 的余弦值, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 20. (13 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a5+a13=34,S3=9. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式;

(2)设数列{bn}的通项公式为

,问:是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm(m≥3,

m∈N)成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 等差数列的性质. 专题: 综合题;探究型. 分析: (1)设出等差数列的公差为 d,根据等差数列的性质及通项公式化简 a5+a13=34, S3= 9,即可求出首项和公差,分别写出通项公式及前 n 项和的公式即可; (2)把(1)求得的通项公式 an 代入 得到数列{bn}的通项公式,因为 b1,b2,bm

成等差数列,所以 2b2=b1+bm,利用求出的通项公式化简,解出 m,因为 m 与 t 都为正整数, 所以得到此时 t 和 m 的值即可. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d.由已知得



解得
2



故 an=2n﹣1,Sn=n (2)由(1)知 即 移项得: 整理得

.要使 b1,b2,bm 成等差数列,必须 2b2=b1+bm, , (8 分) . = , ﹣ = ,

因为 m,t 为正整数,所以 t 只能取 2,3,5. 当 t=2 时,m=7;当 t=3 时,m=5;当 t=5 时,m=4. 故存在正整数 t,使得 b1,b2,bm 成等差数列. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前 n 项和的公式化简求值,是 一道中档题.

21. (13 分)如图,F 是椭圆

的左焦点,A,B 分别是椭圆的两个顶

点,椭圆的离心率为 ,点 C 在 x 轴上,BC⊥BF,B,C,F 三点确定的圆 M 恰好与直线 相切 (1)求椭圆的方程; (2)过点 A 的直线 l2 与圆 M 交于 P,Q 两点,且 ,求直线 l2 的方程.

考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 综合题;转化思想. 分析: (1)因为椭圆的离心率为 ,所以 ,所以 ,故 方程为 (2)因为 ,由此入手能得到所求的椭圆方程. ,所以∠PMQ=120°.所以 M , ,所以 BC 得

到直线 l2 的距离等于 1. 依题意, 直线 l2 的斜率存在, 设直线 l2: y=k (x+2) , 所以 由此能得到所求的直线 l2 的方程. 解答: 解: (1)因为椭圆的离心率为 ,所以 所以 A(﹣2c,0) , 所以 BC 得方程为 (4 分) ,圆心 M(c,0) ,即 ,故 (2 分) ,

令 y=0,得 x=3c,即 C(3c,0) ,所以圆 M 的半径为 因为圆 M 恰好与直线 所以 =2c,∴c=1,∴a=2,b= 相切,

故所求的椭圆方程为 (2)因为

(8 分) ,

所以∠PMQ=120°.所以 M 到直线 l2 的距离等于 1(11 分) 依题意,直线 l2 的斜率存在,设直线 l2:y=k(x+2) ,即 kx﹣y+2k=0 所以 ,解得 ,

故所求的直线 l2 的方程为

(15 分)

点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用.


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