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第十七届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答


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数学通报          2 0 1 4年 第5 3卷 第5期

第十七届北京高中数学知识 应用竞赛决赛试题及解答
竞赛时间 : 2 0 1 4年3月3 0 日 8: 3 0~1 1: 0 0
一、 我 们 知 道, A 4、 B 5复印纸是彼此相似的 它们的长宽 比 是槡 我们称这样的长 长方形 , 2∶

1, 方形为槡 对于一张正方形的纸 , 仅使用折 2长方形 . 步骤 叠的方式就可以 将 它 折 成槡 2长 方 形 的 形 状 . 如下 : 第一 步   折 叠 正 方 形 A 使其对角线 B C D, B D 为折痕 ; 第二步   掀 起 ∠C, 折叠 后将 B 折痕为 C 与B D 重合 , 点 C 关于 BH 的对称点 BH , 为G ; 第三步   折 叠 出 过 点 G 的折痕 E 使E F, F∥AD.
图1

第二步   过点 B 将点 C 折到 E 折痕为 F 上, 点 C 关于 B B G, G 的对称点为 H ; 第三步   延长 BH 交 AD 于点 M , 折叠出过 使 MN ∥A 点 M 的折痕 MN , B. 则四边形 A BNM 为槡 3长方形 . 证明 : 显见 △B CH 是 正 三 角 形 , HF 是 这 个 三角形的高 . 故 HF =槡 3 B F. 又 △B 所以 MN =槡 FH ∽△BNM , 3 BN . 二、 用一个边长 为 4 0 厘 米 的 正 方 形 包 装 纸, 包住一个体积 最 大 的 正 四 棱 锥 , 求这个正四棱锥 ) 精确到 1. 的底面边长和体积 ( 0 . 解   由对称性 考 虑 , 正四棱锥的底面中心应 能包出最大体积 该与正方形包 装 纸 的 中 心 重 合 , ( ) 正四棱锥的可能情形只有两种 : 正四棱锥的底 1 ( ) 边和正方形的对角线平行 , 正四棱锥的底边和 2 正方形的底边平行 . 设正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 2 侧面的斜高 x, 为 h.

如图 1 所示 . 则长方形 B C F E 为槡 2长方形 . ( ) 请对上面得到的结论给出证明 . 1 ( ) 请在正方形纸上折叠出槡 并叙述 2 3长方形 . 折叠的步骤和证明 . ) 解  ( 过点 G 作 B 与B 1 C 边的垂线 , C 相交 ) 于点 M ( 图2 由 折 纸 的 第 三 步 可 知, 折痕 E . F∥ 从而 四 边 形 BMG 且有 B C, E 构 成 一 个 正 方 形, 由折纸的第二步可知 B B G∶B E=槡 2∶1. G= 因此长方 形 B B C. C F E 的长宽比为B C ∶B E= 从而它是个槡 B G∶B E=槡 2∶1. 2长方形 . ( ) 折叠槡 如图 3. 2 3长方形 ,

  
情形 1 图 情形 2 图

( ) 对情景 1 1 解法 1  根据图示 , 可见 2 h+2 x=4 0 2,   槡 得  h= 2 0 2-x,   槡
2 2 1 4 x 2 2   2 x  h -x = 8 0 0-4 0槡 2 x 槡 槡 ( ) 3 3

V=
  
图2 图3 =


4 3

4 4 x 8 0 0-4 0 2 x)   槡 3槡 (


( ) 1


第一步   将 正 方 形 A B C D 的两对边A B 与 折痕为 E C D 重合对折 , F;

( ( ( ( ( 1 0 2 x) 1 0 2 x) 1 0 2 x) 1 0 2 x) 8 0 0-4 0 2 x)           槡 槡 槡 槡 槡 ( ( 1 0 2) )   槡 槡

2 0 1 4年 第5 3 卷   第 5 期           数学通报 1 2 1 0 4·5   槡 = ( 3 1 0 2)   槡 3 ( ) 1 5 8. 8 c m . ≈2 : 等号成立条件 ≤ 4 3

4 3

( )( 槡

8 0 0 5

5  







即 x=8 1 0 2 x=8 0 0-4 0 2 x, 2≈1 1. 3.       槡 槡 槡 ) 解法 2  对 ( 式 中的 x 求导数 : 令V 1 ′=
2 ( x -4 0 2) 燄   槡 4熿 x槡 8 0 0-4 0 2 x+ 2   槡 =0 3 2 8 0 0-4 0 2 x燅     槡 槡 燀 2 2 , 解得 8 即 x=8 0 0 x-4 0 2 x =1 0 2 x 2, x=0       槡 槡 槡

请你尝 试 确 定 表 示 日 期 的 两 个 方 块 上 的 数 字, 把你的方案填到下面的表格中 , 并说明理由 .
六个面上的数字 方块 1 方块 2

( 不合题意舍去 ) . ( ) 对情景 2 2 解法 1  根据图示 , 可见 2 h+2 x=4 0, h=2 0 用平均不等式求最大值 : -x,
2 1 x 4 2 2 2   V= ( 2 x) h -x = 4 0 0-4 0 x 槡 槡 3 3

解   方案不唯一 , 只要符合下面两个原则 : 两个方块上都有数字 0, 1. 1, 2; 即 其 余 数 字 是 3, 2 . 9和6 通 用 ( 4, 5, 6, 7, 8 ) 或 3, 4, 5, 7, 8, 9 . 这些数字一共填满两个方块的 1 与每 2 个面 , ( ) 2 1 个方块上 6 个数字的位置关系无关 . 例如 :
六个面上的数字 方块 1   方块 2   0   0   1   1   2   2   3   6   4   7   5 8

= = 4 3

4 4   x 4 0 0-4 0 x) 槡 ( 3

( ( ( ( ( 1 0 x) 1 0 x) 1 0 x) 1 0 x) 4 0 0-4 0 x) ( ) (10 ) 槡


  1 4 0 05 5 6 5 4·2   槡 4 = ( ) 5 3 1 0 3 ( ) 6 3. 2 c m . ≈7 等号成立条件 :

4 ≤ 3

( )( 槡



四、 小王到某一个车站等公交车 . 该公交站有 两路车 A、 B 两路公共车都 可 以 把 他 带 到 目 的 地 . 先前曾同时到达了这个 车 站 , 其中 A 路车之后每 二十分钟再来 一 趟 , B 路车之后每十二分钟再来 一趟 . 如果不考虑公交车晚点的情况 , 小王随机地 到达该站后 , 他等车的时间的均值是多少 ? 解   不考虑汽 车 晚 点 的 情 况 , 如果这两路汽 后面到达该站的时刻如 车在t = 0 时同时 到 达 . 下表 :
时刻t 2 0 4 6 0 8 0   0   1   2   2   3   4   4   6 A 到达 B 到达 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

即 x=8, 1 0 x=4 0 0-4 0 x, 4·2 5 6 5   槡 3 ( ) 所以   V最 大 值 = 6 3. 2 c m . ≈7 3 ) 解法 2  对 ( 式 中的 x 求导数 , 令 2

V ′=

) x( -4 0 4 2 x  4 0 0-4 0 x+ 槡 =0 3 2 4 0 0-4 0 x)   槡 (







2 2 , 解得 4 即 x=8, 不合题 0 0 x-4 0 x =1 0 x x=0(

意舍去 ) . 对情景 2, 最大正四棱锥的边长约为8 c m,
3 体积为 7 6 3. 2 c m .

综合情景 1 和情景 2, 可 见, 最大体积的正四 棱锥的边长约为 1 1. 3 c m ,体积为 2 1 5 8. 8 c m. 3 ( , 注: 给出边长为 1 体积为 也算 1 c m 2 1 5 8 c m


可见 , 经过一个 小 时 , 两 路 车 又 同 时 到 达, 即 变化周期为一 个 小 时 , 所以等候均值只需考虑一 个小时即可 . ( 各时间区段的时长如下表 : 分钟 )
时段 时段长 ( ( ( ( ( 0, 1 2)( 1 2, 2 0) 2 0, 2 4) 2 4, 3 6) 3 6, 4 0) 4 0, 4 8) 1 2   8   4   1 2   4   8  

) 正确 . 三、 下图是一 个 将 三 个 方 块 放 在 塑 料 支 架 上 拼成的三棱柱 形 日 历 . 其中左侧两个方块的每个 面上各写着一 个 数 字 , 用这两个方块上数字可以 …, 拼出每月的日期 0 右侧方块上写 1, 0 2, 3 0, 3 1; 着 1 月至 1 2月.

如果小王在 时 间 区 段 ( 随 机 到 达 的 话, 0, 1 2) 由于在这 1 因 此, 他的 2分 钟 他 是 等 可 能 到 达 的,

4 4

数学通报          2 0 1 4年 第5 3卷 第5期 ( ) 请使用数学的 语 言 给 出 “ 道 路 车 流 量” 和 1 “ 车流速度 ” 的含义 . ( ) 表1记 录 的 是 在 一 个 路 段 上 不 同 时 间 段 2 通过的车 辆 数 ( 以 小 车 计 算, 大车已经折算成小 , 请由此估算 该 路 段 在 1 车) 6∶4 0—1 7∶0 0时的 车流量 . ( ) 怎样收集观测数据才能确定车流速度 ? 3 ) 解  ( 道 路 车 流 量: 单位时间通过的车辆 1 数, 记作q, 车流 速 度 : 单 位 时 间 车 流 经 过 的 距 离, 记 作 v, ( ) 表 1 中共有 1 记T 第i 2 2 个时段的数据 , i: ( ) , : , : 时段长 秒 n i 第i 时段通过的车辆数 t i 第i 时 / , 段平均 车 头 时 距 , 即t 秒) 按专业公式 n i =T i i( / 道路车流量q 辆/小时 ) 有: 6 0 0 t . i=3 i( 据此可 经 计 算 得 : 1 6 5, 2 8 6, q q q 1 =1 2 =1 3= 1 2 7 7, 1 6 1, 1 0 0, 1 2 5, 3 0 9, q q q q q 4 =1 5 =1 6 =1 7 =1 8 , , , =1 1 3 1, =1 2 8 6 =1 2 2 6 =1 0 2 9 q q q q 9 1 0 1 1 1 2 =1 3 2 6. 该路段 在 1 6: 4 0—1 7: 0 0的车流量可由上述 车流量的平均值 ( 平均车流量 ) 表示 , 经计算得 , 该 路段 在 1 6: 4 0—1 7: 0 0时的车流量为1 2 0 2 辆/ 小时 . ( ) 按前面车流速度的定义 , 不易直接观测出 3 所需数据 , 再考 虑 车 流 量 的 定 义, 便得到“ 车流量 , 于是可以考虑获得一定 = 车流速度 × 车流密度 ” , 单位距离 路长内的车辆数 从 而 得 到 车 流 密 度ρ: 内的车辆数 ( 辆/公里 ) 下面给出计算车流密度和 . 车流量所需数据的收集方法 . 车辆数 1 °   在过街天桥 上 拍 这 段 路 的 照 片 , 便在其中 ; ) , 记录在这段路上该时间段( 或 2 ° 2   根据 ( 其中若干小段时间 ) 内通过的车辆 .

平均等待时间是 6 分钟 . 同理 , 在另外 6 个时间区 段上都是随机 到 达 的 话 , 他的平均等待时间就分 别是 4 分 钟 , 2 分 钟, 6 分 钟, 2 分 钟, 4 分 钟, 6 分钟 . 现在 , 把这几 个 平 均 等 候 时 间 做 一 下 加 权 平 即 均, 小王的平均等候时间 1 2 8 4 1 2 4 =6× +4× +2× +6× +2× + 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 1 2 8 ( 分钟 ) 9 3 . 4× +6× =4. 6 0 6 0 “ 五、 新华网北京 2 首都 0 1 1年4月1 7 日 电: 实行缓堵综合措施后 , 出现了早 、 晚高峰主干路网 车速提高 的 效果. 监 测 显 示, 今年1季 流量下 降 、 度比去年 4 季度交通运行情况有所改善 . 其中 , 早 高峰 主 干 路 网 流 量 下 降 6. 9 4% ,速 度 上 升 ( 这里的 “ 流量 ” 即为道路车流量 , 速度即 5 . 4 6% ” . ) 为“ 车流速度 ”
表1 时间段 1 6∶4 2∶4 9—1 6∶4 3∶2 3   1 6∶4 3∶3 7—1 6∶4 3∶5 1   1 6∶4 3∶5 5—1 6∶4 4∶2 6   6∶4 6∶2 2 1 6∶4 5∶5 1—1   1 6∶4 8∶0 1—1 6∶4 8∶3 7   9∶4 8 1 6∶4 9∶3 2—6∶4   1 6∶5 1∶5 9—1 6∶5 2∶1 0   6∶5 4∶1 0 1 6∶5 2∶0 0—1   1 6∶5 2∶3 4—1 6∶5 2∶4 8   1 6∶5 4∶1 7—1 6∶5 5∶0 4   1 6∶5 5∶1 0—1 6∶5 5∶2 4   1 6∶5 6∶0 6—1 6∶5 9∶2 5   车辆数 1 1 5 1 1 1 0 1 1 5 4 2 2 5 1 6 4 7

( 上接第 4 1 页) 与低的衔接 . 教学贵在简单 、 贵在有效 ! 事实上 , 教学设计 不断有效的过 程 , 其实就是不断去删繁就简的过 程. 因为往往最深刻的东西就是最简单的东西 . 教学即研究 , 研究才能教得更好 , 研究才能教 — — 与同行们共勉 . 得更有意思 —
参考文献 有效教学 [ 上海 : 华东师大出版社 , 1  崔允漷 . M] . 2 0 1 0, 8 我亲历的数学 教 育 ( 南 京: 江苏教 1 9 3 8-2 0 0 8)[ M] . 2  张奠宙 . 育出版社 , 2 0 0 9, 1 1 ]. 黄 荣 金, 易 凌 峰, 顾 泠 沅. 变式教学研究[ 数学教 3  鲍 建 生 , J 学, 2 0 0 3, 1


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