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2013广州二模文科数学试题及答案


广州市 2013 届普通高中毕业班综合测试(二)
数学(文科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签 字笔 将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应

位置上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再作答。 漏涂、 错涂、 多涂的,答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 命题“ ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ”的否定是 A ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 C ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 B ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 D ?x ? R, x 2 ? 4 x ? 5 ? 0

2. 如果函数 f(x)=ln(-2x+ a)的定义域为(-∞,1),则实数 a 的值为 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

3. 对于任意向量 a、B、C,下列命题中正确的是 A. |a.b| = |a| |b| C. (a.b)c =a (b-c) B. |a+b|=|a|+丨 b 丨 D. a.a =|a|2

4. 直线 y=kx +1 与圆(x+1)2+y2=0 相交于 A,B 两点,则|AB|的值为

A.2

B.1

C.

1 2

D.与 k 有关的数值

5. 若 1-i(i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x2+2px +q=0(p、q∈R)的一个解,则 p+q= A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

6. 执行如图 l 所示的程序框图,输出的 S 值为 A. 225 B. 196 C. 169 D. 144

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=” ) 7. 若函数 y ? cos?x(? ? N *)的一个对称中心是( A. 2 8. B. 3 C. 6

? ,0),则ω 的最小值为 6
D. 9

一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平 行于圆锥底面的平面将此

圆锥截成体积之比为 l:7 的上、下两部分,则截面的面积为

1 ? 4 9 ? C 4
A.

B.

?

B 4?

9. 已知 0<a<1,0<x≤y < 1,且 logax.logay=1,那么 xy 的取 值范围为 A. (0,a2] B. (0,a] C. (0, ]

1 a

D. (0,

1 ] a2

10.某校高三(1)班 50 个学生选择选修模块课程,他们在 A、B、C 三个模块中进行选择, R 至少需要选择 l 个模块,具体模块选择的情况如下表:

则三个模块都选择的学生人数是 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

(—)必做题(11~13 题) 11.如图 3,一个等腰直角三角形的直角边长为 2,分别以三个顶点为 圆心,l 为半径在三角形内作圆弧,三段圆弧与斜边围成区域 M (图中白 色部分).若在此三角形内随机取一点 P,则点 P 落在区 域 M 内的概率为 12.已知 a 为锐角,且 cos( a ?

?
4

)?

3 ,则 sina= . 5

13. 数列{an}的项是由 l 或 2 构成, 且首项为 1, 在第 k 个 l 和第 k+ 1 个 l 之间有 2k-1 个 2,即数列{an} 为:1, 2,1, 2,2,2,1,2,2,2,2,2, 1, ?,记数列 {an}的前 n 项和 为 Sn,则 S20=________; S2013 =_____ (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题) 在Δ BC 中,D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE= 则

1 BD,延长 AE 交 BC 于点 F, 3

BF 的值为_______. FC
15.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 已知点 A(1,

? 2 ),点 P 是曲线 ? sin θ =4cosθ 上任意一点, 设点 P 到直 线 2

? cosθ + 1 = 0 的距离为 d,则丨 PA 丨+ d 的最小值为_______.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 某校高三学生体检后, 为了解高三学生的视力情况, 该校从高三六个班的 300 名学生中 以 班为单位(每班学生 50 人) ,每班按随机抽样抽取了 8 名学生的视力数据.其中高三 (1)班抽取的 8 名学生的视力数据与人数见下表:

(1) 用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值; (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3、4.4, 4.5、4.6、4.8.若从这六个 班 中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对 值不小于 0.2 的概率.

17. (本小题满分 12 分) 某单位有 A、B、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 0,使得发射点到 三个 工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB=80m, BC=10M, CA=50m.假定 A、B、 C、O 四点在同一平面上. (1) 求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离

18(本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱锥 P-ABC 中, ?PAB = ?PAC = ?ACB =90 .
0

(1) 求证:平面 PBC 丄平面 PAC (2)已知 PA=1,AB=2,当三棱锥 P-ABC 的体积 最大时,求 BC 的长.

19. (本小题满分 14 分) 在等差数列{an}中,a1 +a2 =5, a3 =7,记数列 { (1) 求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 m、n,且 1<m<n,使得 S1、Snt Sn 成等比数列?若存在,求出所有符合条 件的 m,n 值;若不存在,请说明理由

1 } 的前 n 项和为 Sn. a n a n ?1

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=x2 -2alnx ( a ? R且a ? 0) ). (1) 若 f(x)在定义域上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2) 求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值.

21. (本小题满分 14 分) 经过点 F (0,1)且与直线 y= -1 相切的动圆的圆心轨迹为 M 点 A、D 在轨迹 M 上, 且关于 y 轴对称,过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的 切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B、 C. (1) 求轨迹 M 的方程; (2) 证明: ?BAD ? ?CAD ; (3) 若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 | AD | ,且Δ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2


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