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2015届高考调研文科3-1


高考调研

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第 1 课时

变化率与导数

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2015?考纲下载
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光 滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义,理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式(c,xm(m 为有理数),n i s x ,c o s x,ex, ax,lnx,o g l
ax

的导数),掌握两个函数和、差、积、商的求导法

则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.

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请注意!

本章中导数的概念,求导运算、函数的单调性、极值和最值 是重点知识,其基础是求导运算,而熟练记忆基本导数公式和函 数的求导法则又是正确进行导数运算的基础, 复习中要引起重视.

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1.导 数 的 概 念 1 ( ) f(x)在 x=x0 处 的 导 数 就 是 记 作 : 或 f′(x0), f(x)在 x=x0 处的 瞬时变化率 ,

f?x0+Δx?-f?x0? 即 f′(x0)= lim . Δx Δx→0 2 ( ) 当 把 上 式 中 的 简 称 导 数 , 即 x0 看 做 变 量 x时 ,f′(x)即为 f(x)的 导函数 ,

f?x+Δx?-f?x? y′=f′(x)= lim . Δx Δx→0
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2.导 数 的 几 何 意 义 函 数 f(x)在 x=x0 处 的 导 数 就 是

曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))

处的切线的斜率 , 即 曲 线
率 k=f′(x0), 切 线 方 程 为

y=f(x)在 点 P(x0,f(x0))处 的 切 线 的 斜

y-y0=f′(x0)(x-x0) .

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3.基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 1 ( ) C′= 0 (C 为 常 数 ); n i s 3 ( ) 5 ( ) o g l 7 ( ) x)′= cosx ; c 4 o ( ) s
x

2 ( )

xn)′= nxn-1 (n∈Q*); x)′= -sinx ; )′= ex ; 1 x)′= x .

ax)′= axlna ; e 6 ( ) 1 n l 8 ( ) ax)′= xlna ;

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4.两 个 函 数 的 四 则 运 算 的 导 数 若 u(x)、v(x)的 导 数 都 存 在 , 则 1 ( ) 3 ( ) u± v)′= u′±v′ ; 2 ( ) u· v)′= u′v+uv′ ; u′v-uv′ u (v≠0); 4 2 cu′ (c 为 ) ′= ( ) cu ) ′= 常 数 ). v v

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1.( 课 本 习 题 改 编

)某 汽 车 的 路 程 函 数 是

1 2 s(t)=2t -2gt (g=
3

10 m/s2),则当 t=2 s 时,汽车的加速度是( A.14 m/s2 C.10 m/s2
答案 A

)

B.4 m/s2 D.-4 m/s2

解析 由题意知,汽车的速度函数为 v(t)=s′(t)=6t2-gt, 则 v′(t)=12t-g, 故 当 t=2 s 时 , 汽 车 的 加 速 度 是 -10=1 m 4 s /
2

v′2 ( ) =12×2

.
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2.计算: (1)(x4-3x3+1)′=________. 1 (2)(lnx )′=________. (3)(xex)′=______. (4)(sinx· cosx)′=______.

答案 (1)4x -9x

3

2

1 (2)-x (3)ex+xex (4)cos2x

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3.曲线 y=xex+2x+1 在点(0, 1 ) 处的切线方程为________. 答案 y=3x+1

解析

y′=ex+xex+2, 斜 率

k=e0+0+2=3, 所 以 ,

y-1

=3x,即 y=3x+1.

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4. 设 正 弦 函 数

π y=n i s x 在 x=0 和 x=2附近的平均变化率为 ( )

k1,k2,则 k1,k2 的 大 小 关 系 为 A.k1>k2 C.k1=k2
答案 A

B.k1<k2 D.不确定

解析 ∵y=n i s x,∴y′=n i s ( k1=c o 0 s

x)′=c o s x.

π =1,k2=c o s 2=0,∴k1>k2.

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5.2 ( 0 1 3 ·

江西)若曲线 y=xα+1(α∈R)在点2 1 ( ) ,

处 的 切 线 经

过坐标原点,则 α=________.
答案 2

解析 由题意 y′=αxα-1,在点2 1 ) ( ,

处的切线的斜率为 k=

2-0 α,又切线过坐标原点,所以 α= =2. 1-0

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1 例1 1 ( ) 用 导 数 的 定 义 求 函 数 f(x)= 在 x=1 处的导数. x 1 -1 1+Δx Δy f?1+Δx?-f?1? 【 解 析 】 = Δx= Δx Δx
1- 1+Δx 1-?1+Δx? = = 1+ΔxΔx Δx 1+Δx?1+ 1+Δx? -Δx -1 = = , Δx? 1+Δx+1+Δx? 1+Δx+1+Δx Δy ∴f′1 ( ) = lim Δx= lim Δx→0 Δx→0
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-1 1 = - 2. 1+Δx+1+Δx
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2 ( ) 设 f(x)=x3-8x, f?2+Δx?-f?2? 则 li m =_ _ _ _ _ _ Δ x Δx→0 f?x?-f?2? li m =_ _ _ _ _ _ x-2 x→2 f?2-k?-f?2? li m =_ _ _ _ _ _ . 2 k → k 0 ; ;

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【 解 析 】

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f′(x)=3x2-8,f′2 ( ) =4 .

f?2+Δx?-f?2? lim =f′2 ( ) =4 . Δ x Δx→0 f?x?-f?2? f[2+?x-2?]-f?2? lim = lim =f′2 ( ) =4 . x-2 x-2 x→2 x-2→0 f?2-k?-f?2? f?2-k?-f?2? 1 lim = - 2 lim 2 k -k→0 -k k→0 1 = - 2f′2 ( ) = -2 .
【答案】 4 4 -2

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探 究 1 1 ( ) 利 用 导 数 定 义 求 函 数 的 导 数 时 , 先 算 函 数 的 增 量 Δ y, 再 算 比 值 Δy f?x+Δx?-f?x? , 再 求 Δ x= Δx Δy y′=li m Δx. Δx→0 Δx, 也 可

2 ( ) 导 数定 义 中 ,

x 在 x0 处 增 量 是 相 对 的 , 可 以 是

以 是 2 Δ x等 , 作 题 要 将 分 子 分 母 中 增 量 统 一 为 一 种 . 3 ( ) 导 数 定 义 f?x0+Δx?-f?x0? li m =f′(x0), 也 即 Δ x → Δx 0

f?x?-f?x0? li m =f′(x0). x →x 0 x - x 0

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思考题 1 1 ( ) 求函数 y= x2+1在 x0 到 x0+Δx 之间的平均 变化率.

【解析】 ∵Δy= ?x0+Δx?2+1- x2 0+1 ?x0+Δx?2+1-x2 0-1 = ?x0+Δx?2+1+ x2 0+1 2x0Δx+?Δx?2 = , 2 2 ?x0+Δx? +1+ x0+1 2x0+Δx Δy ∴Δx= . 2 2 ?x0+Δx? +1+ x0+1
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f?a+3h?-f?a-h? 2 ( ) 已知 f′(a)=3,则lim =________. h h→0
【解析】 [f?a+3h?-f?a?]-[f?a-h?-f?a?] 原式=lim h h→0

=3f′(a)+f′(a)=4f′(a)=12.

【答案】

12

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例2

求 下 列 函 数 的 导 数 :

1 ( ) y=(3x3-4x)(2x+1); x x 2 ( ) y=x n i s 2c o s 2;
2

3 ( ) y=3xex-2x+e; lnx 4 ( ) y= 2 . x +1

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【 解 析 】

1 ( ) 方 法 一 :

y=(3x3-4x)(2x+1)

=6x4+3x3-8x2-4x,∴y′=2 4 x3+9x2-16x-4 . 方 法 二 : y′=(3x3-4x)′ 2 (· x+1)+(3x3-4x)(2x+1 )′ x+1 ) +(3x3-4x 2 · )

=(9x2-2 4 ( )

=2 4 x3+9x2-1 6 x-4 .

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1 2 2 ( ) y′=xn i s x+2x c o s x. 3 ( ) y′=(3xex)′-(2x)′+e′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xn e 3 l· =n 3 l (
x

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+3xex-2xn 2 l
x

+3 ( e ) 1 · )

-2xn 2 l.

?lnx?′?x2+1?-lnx· ?x2+1?′ 4 ( ) y′= ?x2+1?2 1 2 ?x +1?-lnx· 2x x2+1-2x2 n l· x x· = = . ?x2+1?2 x?x2+1?2
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探究 2 1 ( ) 熟 记 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 法 则 是 导 数 运 算的前提. 2 ( ) 公 式 不 仅 要 会 正 用 , 而 且 要 求 会 逆 用 !

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思 考 题 2 1 ( ) 求 下 列 各 函 数 的 导 数 :

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x+x5+n i s x ①y= ; x2 1 ②y=(1- x)(1+ ); x x ③y= -n i s 2(1-2 c o s ④y=a n t x; 2 ( ) 等 比 数 列 A.26 C.212
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2x

4); f(x)=x(x-a1 (· ) x-

{an}中 , a1=2,a8=4, 函 数 ) B.29 D.215
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a2)· ?· (x-a8), 则 f′0 ( ) 等 于(

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②y′=3x2+1 2 x+1 . 1 1 ③y′=(2n i s x)′=2n i s ( n i s n i s x ④y′=(c o s x)′=
2

1 x)′=2c o s x. x+c o s c o s 2x
2

x 1 =c o s 2x.

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2 ( ) f′(x) = (x - a1)(x - a2)· ?· (x - a8) + x ( [· x - a1)(x - a2)· ?· (x -a8)]′, ∴f′0 ( ) =a1a2· ?· a8. ∵{an}为 等 比 数 列 , a1=2,a8=4,

∴f′0 ( ) =a1a2· ?· a8=(a1a8)4=84=212.
【答案】 1 ( ) 略 2 C ( )

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例3

1 3 4 已知曲线 y=3x +3.

(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程.

【解析】 1 ( ) ∵y′=x2, ∴在点 P4 2 ( , )处的切线的斜率 k=y′|x=2=22=4. 处 的 切 线 方 程 为 y-4=4(x-2),即 4x-y

∴曲线在点 P4 2 ) ( , -4=0.

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2 ( ) 设 曲 线 1 3 4 y=3x +3与 过 点 P4 2 ) ( ,

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的 切 线 相 切 于 点

1 3 A(x0,3x0

4 +3), 则 切 线 的 斜 率 ∴切 线 方 程 为 即 3 1 3 4 y-(3x0+3)=x2 0(x-x0), 3

2 3 4 2 y=x0· x- x0+ . 在 切 线 上 , 2 3 4 2 ∴4=2x0- x0+ , 3 3 x0 = - 1 或 x0=2 .

∵点 P4 2 ) ( ,

2 即 x3 - 3 x 解 得 0 0+4=0,

故 所 求 切 线 方 程 为

4x-y-4=0 或 x-y+2=0 .
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3 ( ) 设 切 点 为

(x0,y0). 故 切 线

的 斜 率 为

k =x 2 0=1, .

解 得 x0=± 1, 故 切 点 为 故 所 求 切 线 方 程 为

5 (1,3),(-1 ) ,

5 y-3=x-1 或 y-1=x+1 .

即 3x-3y+2=0 或 x-y+2=0 .
【答案】 1 4 ( ) 3 ( ) x-y-4=0 2 4 ( ) x-y-4=0 或 x-y+2=0

x-3y+2=0 或 x-y+2=0

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探究 3 1 ( ) 在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求 曲线在点 P 处的切线方程和求曲线过点 P 的切线方程,在点 P 处的切线,一定是以点 P 为 切 点 , 过 点 不在曲线上,点 P 不一定是切点. P的 切 线 , 不 论 点 P在

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2 ( ) 求 过 点

P的 曲 线 的 切 线 方 程 的 步 骤 为 : P′(x1,f(x1)); P′(x1 , f(x1)) 的 切 线 方 程 为 y - f ( x1 ) =

第 一 步 , 设 出 切 点 坐 标 第 二 步 , 写 出 过 f′(x1)(x-x1); 第 三 步 , 将 点 第 四 步 , 将

P的 坐 标 (x0,y0)代 入 切 线 方 程 , 求 出 x1 的 值 代 入 方 程

x1 ;

y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可 得 过

点 P(x0,y0)的 切 线 方 程 .

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思考题 3 求过点(1,-1)的曲线 y=x3-2x 的切线方程.
【解析】 设 P(x0, y0)为 切 点 , 则 切 线 的 斜 率 为 -2. 故切线方程为 y-y0=(3x2 ( ) x-x0). 0-2
2 即 y-(x3 - 2 x ) = (3 x ( ) x-x0). 0 0 0-2

f′(x0)=3x2 0

又知切线过点(1,-1),代入上述方程,
2 得-1-(x3 - 2 x ) = (3 x 2 ( ) 0 0 0-1

-x0).

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1 解得 x0=1 或 x0=-2. 5 故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=-4(x-1). 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
【答案】 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0

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1.求 f(x)在 x=x0 处 的 导 数 1 ( ) 定 义 法 :

f′(x0), 有 两 种 方 法 :

f?x0+Δx?-f?x0? f′(x0)=li m . Δx Δx→0 f(x)在(a,b)内 的 导 函 数 f′(x),

2 ( ) 利 用 导 函 数 求 值 , 即 先 求 再 求 f′(x0).

2. 求 复 合 函 数 的 导 数 时 , 应 选 好 中 间 变 量 , 将 复 合 函 数 分 解 为 几 个 基 本 函 数 , 然 后 从 外 层 到 内 层 依 次 求 导 .

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3.若 f(x)在 x=x0 处 存 在 导 数 , 则 x0 处的切线斜率.

f′(x)即 为 曲 线

f(x)在点

4. 求 曲 线 的 切 线 方 程 时 , 若 不 知 切 点 , 应 先 设 切 点 , 列 等 式求切点.

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3 1.有一机器人的运动方程为 s=t + t (t 是 时 间 ,
2

s 是位移),

则该机器人在时刻 t=2 时的瞬时速度为________.

13 答案 4
3 3 解析 ∵s(t)=t + t ,∴s′(t)=2t-t2.
2

3 13 ∴机器人在时刻 t=2 时的瞬时速度为 s′2 ( ) =4-4= 4 .

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2.2 ( 0 1 3 ·

广东)若曲线 y=ax2-lnx 在点(1,a)处的切线平行

于 x 轴,则 a=________.

1 答案 2
1 解析 因为 y′=2ax-x,依题意得 y′|x=1=2a-1=0,所 1 以 a=2.

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3.f(x)与 g(x)是 定 义 在

R上 的 两 个 可 导 函 数 , 若 )

f(x),g(x)

满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足( A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0 C.f(x)-g(x)为 常 数 函 数 D.f(x)+g(x)为 常 数 函 数
答案 C

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4. 2 ( 0 1 4 · -3 ) x的 导 函 数 为 点 处 的 切 线 方 程 为 A.y=3x+1 C.y= - 3x + 1
答案 B

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青 岛 一 中 模 拟

)设 a 为 实 数 , 函 数

f(x)=x3+a x 2+(a y=f(x)在 原

f′(x),且 f′(x)是 偶 函 数 , 则 曲 线 ( ) B.y= - 3x D.y=3x-3

解析 函数的导函数为 f′(x)=3x2+2ax+(a-3),若 f′(x) 为 偶 函 数 , 则 a=0,∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3,∴f′0 ( )

=-3.∴在原点处的切线方程为 y=-3x,选 B.
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5.2 ( 0 1 4 ·

金 华 十 校 模 拟

)设 函 数

y=xn i s x+c o s x 的 图 像 上 在 k=g(x0)的

点(x0,y0)处 的 切 线 的 斜 率 为 图 像 大 致 为 ( )

k, 若 k=g(x0), 则 函 数

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答案

A

解析 y′=xc o s x,k=g(x0)=x0c o s x0 , 由 于 它 是 奇 函 数 , 排 π 除 B,C;当 0<x<4,k>0,排除 D,答案为 A.

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6.若函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图像过点 P(0,1), 且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,求 y=f(x)的解析式.

5 4 9 2 答案 f(x)=2x -2x +1
解 析 ∵f(x)的 图 像 过 点 P1 0 ) ( , ,∴e=1 .

又∵f(x)为 偶 函 数 ,

∴f(-x)=f(x).

故a x 4+b x 3+cx2+d x +e=a x 4-b x 3+cx2-dx+e. ∴b=0,d=0 . ∴f(x)=ax4+cx2+1 .
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∵函 数 f(x)在 x=1 处 的 切 线 方 程 为 ∴可 得 切 点 为 (1, -1 ). ①

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y=x-2,

∴a+c+1= -1 .

∵f′1 ( ) =(4a x 3+2cx)|x=1=4a+2c, ∴4a+2c=1 . 5 9 由① ② 得 a=2,c= - 2. ∴函 数 y=f(x)的 解 析 式 为 5 4 9 2 f(x)=2x -2x +1 . ②

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