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山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试 数学文


山东省实验中学 2015 届高三第一次模拟考试

数学(文)试题
说明: 试题分为第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分。 试题答案请用 2B 铅笔或 0. 5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。

第I卷

(共 50 分)

r />一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题只有一个选项符合题意) 1.i 为虚数单位,若 ( 3 ? i) z ? 3 ? i, 则 | z |? A.1 2.已知集合 A. (-2,3) C. B. D. B. 2 C. 3 ,则 为 D.2

3.命题: “若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 A.若 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x1>1 D.若 4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出 的函数是 A. B. C. D.

5.某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.30 B.40 C.24 D.72

6.已知 x,y 满足 A.5 C.6

的最小值为 B.-5 D.-6

·1 ·

7.函数 奇函数,则函数 f(x)的图象 A.关于点 C.关于点 8.已知双曲线 对称 对称

的最小正周期是π ,若其图象向右平移 个单位后得到的函数为

B.关于直线 D.关于直线

对称 对称

,则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是

9.已知

的各项排列成如下的三角形状:

10.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.则 ①函数 f(x)=(x-1)3 是单函数: ②函数 是单函数

③若 f(x)为单函数, ④若函数 f(x)在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f(x)一定是单函数 以上命题正确的是 A.①④ B.②③ C.①③ D.①③④

第 II 卷(非选择题,共 1 00 分)
二、填空题(本题包括 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.已知 a、b∈R+2a+b=2,则

的最小值为



12.己知 P 是面积为 S 三角形 ABC 内部 点,则三角形 PBC 的面积大于 13.已知正方形 ABCD 边长为 2,E 为 CD 中点,F 为 AD 中点,则
·2 ·

S 的概率是 3



14.己知点 A(-2.1)和圆 C: (x- 2)2+(y- 2)2=1,一条光线从 A 点出发射到工轴上后沿圆的切 线方向反射,则这条光线从 A 点到切点所经过的路程是 。

15.已知函数,f(x)是定义在 R 上的奇函数,它的图象关于直线 x=1 对称,且 若函数 在区间[-10,10]上有 10 个零点(互不相同) 。则实数 a 的取值范围是



。 三、解答题(共 6 个大题,75 分) 16. (本小题满分 l 2 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边长分别是 a, b, c, 且满足(2b-c)cosA-acosC=0. (I)求角 A 的大小:

(Ⅱ)若

,△ABC 的面积

,试判断△ABC 的形状,并说明理由.

17. (本小题满分 12 分)已知高二某班学生语文与数学的学业永平测试成绩抽样统计如下表,若抽 取学生 n 人,成绩分为 A(优秀) 、B(良好) 、C(及格)三个等级,设工,夕分别表示语文成 绩与数学成绩,例如:表中语文成绩为 B 等级的共有 20+18+4-42 人.已知 x 与 y 均为 B 等级的 概率是 0.18. (1)求抽取的学生人数; (2)设该样本中,语文成绩优秀率是 30%,求 a,b 的值; (3)已知 ,求语文成绩为 A 等级的总人数比语文

成绩为 C 等级的总人数少的概率。 18. (本小题满分 12 分) 如图在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且

,设 E、F 分别为 PC,BD 的中点。 (1)求证:EF//平面 PAD; (2)求证:面 PAB⊥平面 PDC。

19. (本小题满分 1 2 分)己知数列

是各项均为正数的等差数列,其中 a1=1,且 a2,a4,a6+2 构

成等比数列:数列{bn}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn+bn=1. (1)求数列 (II)如果 的通项公式; ,设数列 的前胛项和为 Tn,是否存在正整数 n,使得 Tn>Sn 成立,若存

在,求出 n 的最小值,若不存在,说明理由. 20. (本小题满分 l3 分)己知函数 f(x)=ex—x—1
·3 ·

(I)求函数 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程: (II)若方程 f(x)=a,在[-2,ln 2]上有唯一零点,求实数 a 的取值范围; (III)对任意 恒成立,求实数 t 的取值范闱.

21. (本小题满分 1 4 分)已知椭圆

的一个焦点与抛物线 y2=

x 的焦点 F 重

合,且椭圆短轴的两个端点与 F 构成正三角形. (I)求椭圆的方程: (II)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆交于不同两点 P、Q,试问在 x 轴上是否存在定点 E(m, 0) ,使 恒为定值?若存在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明理由。

·4 ·

山东省实验中学 2012 级高三第一次模拟考试

数学(文)参考答案与评分标准
1-10: ACDDB 11. 4 12. DDCDC 14. 2 6 15. [ ?

(2015.4)

4 13.0 9

1 1 , ] 10 10

16.解: (Ⅰ )(方法一)∵ (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0, ∴ (2sin B ? sin C ) cos A ? sin A cos C ? 0. ∴ 2sin B cos A ? sin( A ? C ) , (4 分)

1 ? , ∴ A ? . ?????? (6 分) 2 3 (方法二)∵ (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0,
∴ 2sin B cos A ? sin B, ∴ cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c2 ∴ (2b ? c) ?a ? 0 ,?????? (2 分) 2bc 2ab ∴ 2ab3 ? 2abc 2 ? 2a 3b ? 2acb 2 ? 0 ,即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ? 0 . ??????(4 分) 1 ? ∴ cos A ? .又 0 ? A ? ? ,∴ A ? .?????? (6 分) 2 3 3 3 1 3 3 (Ⅱ )∵ S△ABC ? ,∴ bc sin A ? ,∴ bc ? 3 .??????(8 分) 4 2 4 b 2 ? c 2 ? ( 3) 2 ∵ cos A ? ,∴ b ? c ? 2 3 . 2bc ∴ b ? c ? 3 . ??????(10 分) ? 又 A ? ,∴△ ABC 是等边三角形. ??????(12 分) 3
17.解: (1)由题意可知,

18 ? 0.18 ,得 n ? 100 ,故抽取的学生人数是 100. .....................2 分 n
·5 ·

(2)由(1)知, n ? 100 ,

7?9?a ? 0.3, 故a ? 14 ..................3 分 100

7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100, b ? 17. ........................4 分
(3)设“语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少”为事件 A,由(2)知,

a ? b ? 31, 且 a ? 10, b ? 8 ,满足条件的 (a, b) 有, (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) ,
( 15,16 ) , ( 16,15 ) , ( 17,14 ) , ( 18,13 ) , ( 19,12 ) , ( 20,11 ) , (21,10) ( 22,9 ) , ( 23,8 ) , 共 14 种...........................................................................................................................8 分 其中 b ? 11 ? a ? 16 的有 3 种................................................................................10 分

4 ............................................................................. 12 分 13 18.(Ⅰ)证明: ABCD 为平行四边形,连结 AC BD ? F , F 为 AC 中点, . . . . . . . . . . . . . . . ...2 分 E 为 PC 中点∴在 ?CPA 中 EF // PA . 且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分
所以 P ( A) ? ∴ EF // 平面PAD . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 平面 PAD 面 ABCD ? AD

(Ⅱ)证明:因为面 PAD ? 面 ABCD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD ,所以 CD ? 平面 PAD ∴ CD ? PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分
又 PA ? PD ? 且 ?PAD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2

即 PA ? PD . . . . . . . . . . . . . . .9 分 2 CD PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 ABCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分. PA ? 面 PDC , . 又 PA ? 面 PAB 所以面 PAB ? 面 PDC . . . . . . .12 分

?

19.(1)设数列 {an } 的公差为 d ,依条件有 a4 2 ? a2 (a6 ? 2) , 即 (a1 ? 3d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 5d ? 2) ,解得 d ? ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1) ? n 由 2 S n ? bn ? 1 ,得 S n ?

1 (舍)或 d ? 1 , 2

...........................................................................2 分

1 (1 ? bn ) , 2 1 当 n ? 1 时, 2 S1 ? b1 ? 1 ,解得 b1 ? ,...........................................................................3 分 3 1 1 1 1 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? (1 ? bn ) ? (1 ? bn ?1 ) ? ? bn ? bn ?1 , 2 2 2 2
·6 ·

1 bn ?1 ,................................................................4 分 3 1 1 所以数列 {bn } 是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3 1 故 bn ? n . ................................................................5 分 3 n (2)由(1)知, cn ? an bn ? n ,..................................................... 6 分 3 1 1 1 1 所以 Tn ? 1? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? n ? n ① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 ② Tn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 1 n 1 3 2n ? 3 1 得 Tn ? ? ? n ? ? n ? ? ? n . .............. 9 分 4 4 3 2 3 4 4 3 1 1 (1 ? n ) 3 ? 1 ? 1 ............ ........... 10 分 又 Sn ? 3 1 2 2 ? 3n 1? 3
所以 bn ?

所以 Tn ? S n ?

1 2n ? 1 1 ? ? n, 4 4 3

当 n ? 1 时, T1 ? S1 ,

1 2n ? 1 1 ? ? n ? 0 ,所以 Tn ? S n , 4 4 3 故所求的正整数 n 存在,其最小值是 2. . ...........
当 n ? 2 时,
/ x

12 分

20..解: (1) f ( x) ? e ? 1 .???????????????????1 分

f / (1) ? e ? 1, f (1) ? e ? 2 , y ? (e ? 2) ? (e ? 1)(x ? 1) .
3 化简得所求切线的方程为 y ? (e ? 1) x ? 1.????????????? 分 (2) f / ( x) ? e x ? 1 , 当 x ? (?2,0) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 5 当 x ? (0, ln 2) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.???????????? 分

f ( ?2) ?

1 ? 1 , f (ln 2) ? 1 ? ln 2 .??????????????????6 分 e2
·7 ·

因为 f (?2) ? f (ln 2) . 函数 f ( x) ? a ,在 [?2, ln 2] 上有唯一零点,等价于,

f (ln 2) ? a ? f (?2) 或 a ? f (0) ,即 1 ? ln 2 ? a ? 1 ?
所以实数 a 的取值范围是 1 ? ln 2 ? a ? 1 ?

1 或a ? 0. e2

1 或 a ? 0 .??????????8 分 e2

(3)令 g ( x) ? f ( x) ? (t ? 1) x ? e x ? 1 ? tx ,则 g / ( x) ? e x ? t . 因为 x ? 0 , e ? 1.??????????????????????9 分
x
/ (i)当 t ? 1 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在区间 [0,??) 上是增函数,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 .

即 f ( x) ? (t ? 1) x 恒成立.??????????????????????11 分
x (ii)当 t ? 1 时, e ? t ? 0, x ? ln t ,

当 x ? (0, ln t ) 时, g / ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 12 当 x ? (0, ln t ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,此时不满足题设条件.??????? 分 13 综上所述:实数 t 的取值范围是 t ? 1 .?????????????????? 分

21.解: (Ⅰ )由题意知抛物线的焦点 F ( 3,0)

? c ? 3 ……………………………………………………………………………1 分
又 椭圆的短轴的两个端点与 F 构成正三角形

?b ? 1
? 椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ……………………………………………………4 分 4
17 3 3 ), Q(1, ? ) 由 E ( , 0) 可得 8 2 2

(Ⅱ )当直线 l 的斜率不存在时, P(1,

9 3 9 3 PE ? ( , ? ) QE ? ( , ) 8 2 8 2
? PE ? QE ? 81 3 33 ? ? ……………………………6 分 64 4 64
·8 ·

当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则 l 的方程为: y ? k ( x ? 1)

x2 ? y2 ? 1 4 y ? k( x ? 1)

(4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0
P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )
? x1 ? x2 ? 8k 2 4k 2 ? 1 x1 x2 ? 4k 2 ? 4 ………………………………………8 分 4k 2 ? 1

则 PE ? (m ? x1, ? y1 )

QE ? (m ? x2 , ? y2 )

? PE ? QE ? (m ? x1 )(m ? x2 ) ? y1 y2

? m2 ? m( x1 ? x2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? m2 ? m( x1 ? x2 ) ? x1x2 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)
? m2 ? m
2 8k 2 4k 2 ? 4 8k 2 2 4k ? 4 ? ? k ( ? ? 1) 4k 2 ? 1 4 k 2 ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

(4m2 ? 8m ? 1)k 2 ? (m2 ? 4) ? ……………………………………10 分 4k 2 ? 1

1 1 (4m2 ? 8m ? 1)(k 2 ? ) ? (m2 ? 4) ? (4m2 ? 8m ? 1) 4 4 ? 4k 2 ? 1 17 2m ? 1 4 ? (4m2 ? 8m ? 1) ? 4 4k 2 ? 1 17 17 33 ? 0 即 m ? 时 PE ? QE 为定值 …………………………13 分 当 2m ? 4 8 64 17 33 综上所述当 E ( , 0) 时, PE ? QE 为定值 ……………………………………14 分 8 64
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·9 ·


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